《初中数学总复习资料》专题08 一元二次方程-2018年中考数学考点总动员系列（解析版）.doc

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1、2018年中考数学备考之黄金考点聚焦考点八：一元二次方程 聚焦考点温习理解一、一元二次方程及有关概念1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2. 一般形式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数，a0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数.3. 一元二次方程必须具备三个条件：(1)必须是整式方程；(2)必须只含有1个未知数；(3)所含未知数的最高次数是2.【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程.4. 一元二次方

2、程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.二、一元二次方程的解法：解一元二次方程的基本思想转化，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法.三、一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2bxc0(a0)：(1)b24ac0方程有两个不相等的实数根；(2)b24ac0方程有两个的实数根；(3)b24ac0方程没有实数根四、一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2bxc0(a0)的两根分别为x1，x2，则有x1x2，x1x2五、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一

3、元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步.2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率等量关系:A.增长率×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a(1+m)n=b;当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有a(1-m)n=b.(2)利润等量关系:A.利润售价-成本；B.利润率利润成本×100%.(3)面积问题名师点睛典例分类考点典例一、解一元二次方程【例1】（2017江苏省句容市初中崇明片合作共同体月考）解下列方程：（有指定方法必须用指定方法）

4、（1）（配方法）； （2）（公式法）（3） （4）【答案】（1）x1=1，x2=；（2）x1=, x2=；（3）x1=3，x2=；（4）x1=-5，x2=4.【解析】试题分析：（1）利用配方法进行求解即可；（2）利用公式法进行求解即可；（3）利用因式分解法进行求解即可；（4）整理到一般式后再利用因式分解法进行求解即可.试题解析：（1）， ， ， ，x1=1，x2=；（3），（x-3）(x-3+4x)=0，x-3=0或5x-3=0，x1=3，x2=；（4），整理得：x2+x-20=0，（x+5）（x-4）=0，x+5=0或x-4=0 ，x1=-5，x2=4.考点：解一元二次方程.【点睛】一元二次

5、方程有四种解法:因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法.（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解;（4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解.【举一反三】1. （2017天津市宁河区联考）方程2x（x-3）=7（3-x）的根是（ ）A. x=3 B. x= C. x1=3，x2= D. x1=3，x2=-【答案】D【解析】2x（x-3）=7（3-x），2x(x-3)+7(x-3)=

6、0，（x-3）(2x+7)=0，x1=3，x2=，故选D.考点：解一元二次方程.2. （2017山东德州第15题）方程3x(x-1)=2(x-1)的根是 【答案】x1=1，x2=-.考点:解一元二次方程-因式分解法.考点典例二、配方法【例2】用配方法把代数式3x2x22化为a(xm)2n的形式，并说明不论x取何值，这个代数式的值总是负数并求出当x取何值时，这个代数式的值最大学科网【答案】证明见解析；，-.【解析】试题分析：先利用配方法得到3x-2x2-2=-2（x-）2-，再根据非负数的性质得到-2（x-）2-0，即不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，易得当x=时，这个代数式的值最大试

7、题解析：3x-2x2-2=-2x2+3x-2=-2（x2-x）-2=-2（x2-x+-）-2=-2（x-）2-，（x-）20，-2（x-）20，-2（x-）2-0，不论x取何值，3x-2x2-2的值总是负数，且当x=时，这个代数式的值最大，最大值为-考点：配方法的应用；非负数的性质：偶次方【点睛】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法在配方前，先将二次项系数2提出来，使括号中的二次项系数化为1，然后通过配方分离出一个完全平方式(2)注意与方程的配方的区别【举一反三】（2017山东省临沂市郯城县五校联考）用配方法解下列方程，配方

8、正确的是（）A. 2y24y4=0可化为（y1）2=4 B. x22x9=0可化为（x1）2=8C. x2+8x9=0可化为（x+4）2=16 D. x24x=0可化为（x2）2=4【答案】D.考点：解一元二次方程.考点典例三、一元二次方程根的判别式【例3】（2017贵州遵义第9题）关于x的一元二次方程x2+3x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（）AmBm<Cm Dm<【答案】B.【解析】试题分析：根据题意得=324m0，解得m故选B考点：根的判别式【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的根的判别式=b2-4ac当0，方程有两个不

9、相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根【举一反三】1. （2017湖南常德第3题）一元二次方程的根的情况为（）A没有实数根B只有一个实数根C两个相等的实数根 D两个不相等的实数根来源:Z§xx§k.Com【答案】D【解析】试题分析：=（4）24×3×1=40，方程有两个不相等的实数根故选D考点：根的判别式2.（2017江苏省镇江市质量调研）已知关于x的方程没有实数解，则实数m的取值范围是_【答案】.【解析】试题分析：关于x的方程没有实数解，=（-1）2-4×1×（-m）< 0，即1+4m< 0，

10、解得故答案为：考点：根的判别式.考点典例四、一元二次方程根与系数的关系【例4】（2017青海西宁第15题）若是一元二次方程的两个根，则的值是 【答案】15【解析】试题分析：x1，x2是一元二次方程x2+3x5=0的两个根，x1+x2=3，x1x2=5，x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）=5×（3）=15.考点： 根与系数的关系【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2=【举一反三】1.（2017内蒙古呼和浩特第5题）关于的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则的值为（ ）ABCD或 【答案

11、】B来源:学&科&网考点：根与系数的关系2. （2017年江苏省南京市玄武区中考数学二模）若方程x212x+5=0的两根分别为a，b，则a2b+ab2的值为_【答案】60【解析】试题分析：根据题意得a+b=12，ab=5，所以a2b+ab2=ab（a+b）=5×12=60考点：一元二次方程的根；根与系数的关系.考点典例五、一元二次方程的应用【例5】（2017辽宁营口大石桥中考数学模拟）为治理大气污染，保护人民健康某市积极行动，调整产业结构，压减钢铁生产总量，2013年某市钢铁生产量为9700万吨，计划到2015年钢铁生产量设定为5000万吨，设该市每年钢铁生产量平均降

12、低率为x，依题意，下面所列方程正确的是（）A. 9700（12x）=5000 B. 5000（1+x）2=9700C. 5000（12x）=9700 D. 9700（1x）2=5000【答案】D【解析】分析：本题考查的是一元二次方程的应用中的平均降低率.解析：设该市每年钢铁生产量平均降低率为x，根据题意得 ，9700（1x）2=5000.故选D.考点：一元二次方程的应用.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据“2015年钢铁生产量=2013年钢铁生产量×（1+年平均增长率）2”得出方程是解题关键【举一反三】1. （2017四川宜宾第14题）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的

13、50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 学+科网【答案】50（1x）2=32【解析】试题解析：由题意可得，50（1x）2=32考点：由实际问题抽象出一元二次方程2.（2017广东省中山市教研基地学校学业水平考试）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分（1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？（2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？【答案】（1）该市举办方应邀请6支球队参赛；（2）该市举办方应邀请6支球队

14、参赛，该球队的总积分为16分。【解析】设该市举办方应邀请支球队参赛依题意得， 解方程得， （2）16 答：该市举办方应邀请6支球队参赛，该球队的总积分为16分。考点：一元二次方程的应用.课时作业能力提升1. （2017山东烟台第10题）若是方程的两个根，且，则的值为（ ）A或2 B1或 C. D1【答案】D【解析】试题解析：x1，x2是方程x22mx+m2m1=0的两个根，x1+x2=2m，x1x2=m2m1x1+x2=1x1x2，2m=1（m2m1），即m2+m2=（m+2）（m1）=0，解得：m1=2，m2=1方程x22mx+m2m1=0有实数根，=（2m）24（m2m1）=4m+40，解

15、得：m1m=1故选D考点：根与系数的关系2. （2017天津市红桥区九年级数学 中考预测）y=x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0根的情况为（ ）A. 没有实数根 B. 有一个实数根C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根【答案】A【解析】y=x+1是关于x的一次函数, ， . 方程没有实数根；故选A.3. a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（ ）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C无实数根D有一根为0【答案】B.【解析】试题分析：由（a-c）2>a2+c2得出2，因此4，所以方程有

16、两个不相等的实数根，故答案选.考点：根的判别式.4. （2017湖北咸宁第6题）已知为常数，点在第二象限，则关于的方程根的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D无法判断【答案】B试题分析：已知点P（a，c）在第二象限，可得a0，c0，所以ac0，即可判定=b24ac0，所以方程有两个不相等的实数根故选B考点：根的判别式；点的坐标5. （2017浙江嘉兴第8题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）ABCD 来源:Z.xx.k.Com【答案】B【解析】试题解析：x2+2x-1=0，x2+2x-1=0，（x+1）2=2故选B考点：解一元二次方程-配方法6（20

17、17届四川省眉山市华兴联谊学校初中中考适应性考试）设， 是方程的两个实数根，则 ( ) .A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019【答案】C【解析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2017，再计算x31=x21+2017x1=2018x1 2017，则原式可化简2018（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解.解：x1是方程x2 x 2017=0的两实数根，x21=x1+2017，x31=x21+2017x1=x1+2017+2017x1=2018x1+2017，原式=2018x1+2017+2018x2-2017=2018（x1+x2），x1，x2是方程

18、x2-x-2016=0的两实数根，x1+x2=1，原式=2018.故答案为：2018.考点：一元二次方程的解；根与系数的关系7. （2017贵州六盘水第12题）三角形的两边的夹角为且满足方程，则第三边长的长是( )来源:Z#xx#k.ComA.B.C.D.【答案】试题分析：解方程可a= ，如图所示，在RtACD中，CD=×cos60°=，BD=2-=，AD=×sin60°=，所以,故选A.考点：一元二次方程；勾股定理.8. （2017黑龙江齐齐哈尔第6题）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）A B或 C D 【答案】C考点：根的判别式9. （2

19、017辽宁大连第13题）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 【答案】c1.【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出结论关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，=224c=44c0，解得：c1故答案为c1考点：根的判别式.10. （2017湖南张家界第12题）已知一元二次方程的两根是m，n，则= 【答案】17【解析】试题分析：m，n是一元二次方程的两个根，m+n=3，mn=4，则=9+8=17故答案为：17考点：根与系数的关系11.（2017安徽省淮南市潘集区九年级上学期第一次联考）方程x2+3x+1=0的解是x1=_,

20、x2=_【答案】 【解析】a=1，b=3，c=1，=b24ac=9-4=50，方程有两个不相等的实数根，x=x1= ，x2=.考点：解一元二次方程12.（2017苏科版南京栖霞区期末模拟）如果8=0，则的值是_【答案】4或2【解析】 ， ，所以： 或，故答案为：4或-2.考点：解一元二次方程.13.（2018届江苏省灌云县西片九年级上学期第二次月考）已知关于x的方程 x22x+k=0.（1）若原方程有实数根，求k的取值范围？（2）选取一个你喜欢的非零整数值作为k的值，使原方程有实数根，并解方程【答案】（1）k1；（2）答案不唯一.考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系.14. （2017

21、湖北孝感第21题） 已知关于 的一元二次方程 有两个实数根 . （1）求的取值范围；（2）若满足 ，求的值.【答案】（1）m5；（2）4.【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=204m0，解之即可得出结论；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6、x1x2=m+4，分x20和x20可找出3x1=x2+2或3x1=x2+2，联立或求出x1、x2的值，进而可求出m的值试题解析：（1）关于x的一元二次方程x26x+m+4=0有两个实数根x1，x2，=（6）24（m+4）=204m0，解得：m5，m的取值范围为m5（2）关于x的一元二次方程x26x+m+4=0有两个实数根x1

22、，x2，x1+x2=6，x1x2=m+43x1=|x2|+2，当x20时，有3x1=x2+2，来源:学&科&网Z&X&X&K联立解得：x1=2，x2=4，8=m+4，m=4；当x20时，有3x1=x2+2，联立解得：x1=2，x2=8（不合题意，舍去）符合条件的m的值为4考点：1.根与系数的关系；2.根的判别式.15. （2017山东烟台第21题）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动.现需要购进100个某品牌的足球供学生使用.经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元.学科！网（1）求201

23、5年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商店有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【答案】（1）10%（2）去B商场购买足球更优惠【解析】试题分析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；（2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商 城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论试题解析：（1）设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×（1x）2=162，

24、解得：x=0.1=10%或x=1.9（舍去）答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%（2）100×90.91（个），在A商城需要的费用为162×91=14742（元），在B商城需要的费用为162×100×=14580（元）1474214580答：去B商场购买足球更优惠考点：一元二次方程的应用16. （2017黑龙江绥化第24题）已知关于的一元二次方程（1）当为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求的值 【答案】（1）当m时，方程有两个不相等的实数根；（2）m的值为4【解

25、析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出=4m+170，解之即可得出结论；（2）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=2m10，即可确定m的值试题解析：（1）方程x2+（2m+1）x+m24=0有两个不相等的实数根，=（2m+1）24（m24）=4m+170，解得：m 当m时，方程有两个不相等的实数根（2）设方程的两根分别为a、b，根据题意得：a+b=2m1，ab=m242a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，a2+b2=（a+b）22ab=（2m1）22（m24）=2m2+4m+9=5

26、2=25，解得：m=4或m=2a0，b0，a+b=2m10，m=4若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为4考点：1.根的判别式；2.根与系数的关系；3.菱形的性质17.（2017浙江衢州第20题）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题：（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）；（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018

27、年我市国民生产总值平均年增长率（精确到1%）。【答案】（1）92亿元；（2）8%；（3）10%.试题解析： （1）1300×7.1%92（亿元）答：2016年第一产业生产总值大约是92亿元；（2）（13001204）÷1204×100%=96÷1204×100%8%答：2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，依题意得1300（1+x）2=1573，1+x=±1.21，x=10%或x=2.1（不符合题意，故舍去）答：2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%考点：1.一元二次方程的应用；2.扇形统计图；3.条形统计图.