《初中数学总复习资料》专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用.doc

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1、专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用 【经典母题】 用两种不同的图解法求方程 x22x50 的解(精确到 0.1) 解：略 【思想方法】 二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 x 轴的交点的横坐标x1，x2就是一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两个根，因此我们可以通过解方程 ax2bxc0 来求抛物线 yax2bxc 与 x 轴交点的坐标； 反过来，也可以由 yax2bxc 的图象来求一元二次方程 ax2bxc0 的解 【中考变形】 1 2016 烟台二次函数 yax2bxc 的图象如图 Z71 所示， 下列结论： 4acb2；acb；2ab0.其中正确的有 ( B ) 图

2、Z71 A B C D 【解析】 抛物线与 x 轴有两个交点，0，b24ac0，4acb2，故正确；x1 时，y0，abc0，acb，故错误；对称轴直线 x1， b2a1， 又a0， b2a， 2ab0， 故正确 故选 B. 22016 绍兴抛物线 yx2bxc(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段 y0(1x3)有交点，则 c 的值不可能是 ( A ) A4 B6 C8 D10 【解析】 抛物线 yx2bxc(其中 b，c 是常数)过点 A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段 y0(1x3)有交点，42bc6，1b213，解得 6c14.故选 A. 32017 株洲

3、如图 Z72，二次函数 yax2bxc 的对称轴在 y 轴的右侧，其图象与 x 轴交于点 A(1，0)与点 C(x2，0)，且与 y 轴交于点 B(0，2)，小强得到以下结论： 0a2； 1b0； c1； 当|a|b|时 x2 51，以上结论中正确结论的序号为_. 【解析】 由 A(1，0)，B(0，2)，得 ba2，开口向上，a0.对称轴在 y 轴右侧，b2a0，a22a0，a2，0a2，正确； 抛物线与 y 轴交于点 B(0，2)，c2，错误；抛物线图象与 x 轴交于点 A(1，0)，ab20，ba2，0a2，2b0，错误；|a|b|，二次函数 yax2bxc 的对称轴在 y 轴的右侧，二

4、次函数 yax2bxc 的对称轴为 x12， x22 51， 正确 故答案为. 图 Z72 图 Z73 42017 天水如图 Z73 是抛物线 y1ax2bxc(a0)的一部分图象，抛物线的顶点坐标是 A(1，3)，与 x 轴的一个交点是 B(4，0)，直线 y2mxn(m0)与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： abc0；方程 ax2bxc3 有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的另一个交点是(1，0)；当 1x4 时，有 y2y1；x(axb)ab，其中正确的结论是_.(只填写序号) 【解析】 由图象可知：a0，b0，c0，故 abc0，错误；观察图象可知，抛物线与直线 y3 只有一个交

5、点，故方程 ax2bxc3 有两个相等的实数根，正确；根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点是(2，0)，错误；观察图象可知，当 1x4 时，有 y2y1，错误；x1 时，y1有最大值，ax2bxcabc，即 x(axb)ab，正确综上所述，正确 5如图 Z74，已知抛物线 yax2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)，点 B(3，0)，且过点 C(0，3) (1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标； (2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 yx 上，并写出平移后抛物线的函数表达式 图 Z74 解：(1)抛物线与 x 轴交于点 A(1，0)，点 B(3，0)， 可设抛物线

6、表达式为 ya(x1)(x3)， 把 C(0，3)的坐标代入，得 3a3，解得 a1， 故抛物线表达式为 y(x1)(x3)， 即 yx24x3. yx24x3(x2)21， 抛物线的顶点坐标为(2，1)； (2)答案不唯一，如：先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为 yx2， 平移后抛物线的顶点为(0， 0)， 落在直线 yx 上 62017 江西已知抛物线 C1：yax24ax5(a0) (1)当 a1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴； (2)试说明无论 a 为何值，抛物线 C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； 将抛物线 C1沿这两个定点

7、所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2的表达式； (3)若(2)中抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值 解：(1)当 a1 时，抛物线表达式为 yx24x5(x2)29， 对称轴为 x2， 当 y0 时，x23 或3，即 x1 或 5， 抛物线与 x 轴的交点坐标为(1，0)或(5，0)； (2)抛物线 C1表达式为 yax24ax5， 整理，得 yax(x4)5. 当 ax(x4)0 时，y 恒定为5， 抛物线 C1一定经过两个定点(0，5)，(4，5) 这两个点连线为 y5， 将抛物线 C1沿 y5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变， 抛物线

8、C2的表达式为 yax24ax5； (3)抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2， 则 x2 时，y2 或2. 当 y2 时，24a8a5，解得 a74； 当 y2 时，24a8a5，解得 a34. a74或34. 7 2017 北京在平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 yx24x3 与 x 轴交于点 A，B(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C. (1)求直线 BC 的表达式； (2)垂直于 y 轴的直线 l 与抛物线交于点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线 BC 交于点 N(x3，y3)，若 x1x2x3，结合函数的图象，求 x1x2x3的取值范围 解：(1)由

9、yx24x3 得到 y(x3)(x1)，C(0，3)， A(1，0)，B(3，0) 设直线 BC 的表达式为 ykxb(k0)， 则b3，3kb0，解得k1，b3， 直线 BC 的表达式为 yx3； 中考变形 7 答图 (2)由 yx24x3 得到 y(x2)21， 抛物线 yx24x3 的对称轴是 x2，顶点坐标是(2，1) y1y2，x1x24. 令 y1，代入 yx3，得 x4. x1x2x3(如答图)， 3x34，即 7x1x2x38. 82016 益阳如图 Z75，顶点为 A( 3，1)的抛物线经过坐标原点 O，与 x 轴交于点 B. (1)求抛物线对应的二次函数的表达式； (2)过

10、点 B 作 OA 的平行线交 y 轴于点 C，交抛物线于点 D，求证：OCDOAB； (3)在 x 轴上找一点 P，使得PCD 的周长最小，求出 P 点的坐标 图 Z75 中考变形 8 答图 解：(1)抛物线顶点为 A( 3，1)， 设抛物线对应的二次函数的表达式为 ya(x 3)21. 将原点坐标(0，0)代入，得 a13， 抛物线对应的二次函数的表达式为 y13x22 33x； (2)证明：将 y0 代入 y13x22 33x 中， 得 B(2 3，0) 设直线 OA 对应的一次函数的表达式为 ykx， 将 A( 3，1)代入，得 k33， 直线 OA 对应的一次函数的表达式为 y33x.

11、 BDAO，设直线 BD 对应的一次函数的表达式为 y33xb， 将 B(2 3，0)代入，得 b2， 直线 BD 对应的一次函数的表达式为 y33x2. 由y33x2，y13x22 33x， 得交点 D 的坐标为( 3，3)， 将 x0 代入 y33x2 中，得 C 点的坐标为(0，2)， OA2OC，AB2CD，OB2 3OD， 在OCD 与OAB 中，OCOA，CDAB，ODOB， OCDOAB(SSS)； (3)如答图，点 C 关于 x 轴的对称点 C的坐标为(0，2)，连结 CD，则 CD与 x 轴的交点即为点 P，此时PCD 的周长最小 过点 D 作 DQy 轴，垂足为 Q，则 P

12、ODQ. CPOCDQ， PODQCOCQ，即PO325，解得 PO2 35， 点 P 的坐标为2 35，0 . 【中考预测】 设抛物线 ymx22mx3(m0)与 x 轴交于点 A(a，0)和 B(b，0) (1)若 a1，求 m，b 的值； (2)若 2mn3，求证：抛物线的顶点在直线 ymxn 上； (3)抛物线上有两点 P(x1，p)和 Q(x2，q)，若 x11x2，且 x1x22，试比较p 与 q 的大小 解：(1)当 a1 时，把(1，0)代入 ymx22mx3，解得 m1， 抛物线的表达式为 yx22x3. 令 y0，则由 yx22x3，得 x1 或 3，b3； (2)抛物线的对称轴为 x1， 把 x1 代入 ymx22mx3，得 y3m， 抛物线的顶点坐标为(1，3m) 把 x1 代入 ymxn， 得 ymnm32m3m， 顶点坐标在直线 ymxn 上； (3)x1x22，x211x1， x11x2，|x21|x11|， P 离对称轴较近， 当 m0 时，pq，当 m0 时，pq.