《初中数学总复习资料》中考数学全面突破：题型2 　圆的相关证明与计算.doc

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1、题型2 圆的相关证明与计算1.考查类型：圆的基本性质证明与计算；圆与全等、相似知识综合题；圆与三角函数等其他知识综合题；2.考查内容：考查多与圆周角定理、垂径定理及切线定理有关；多与三角形全等、相似的判定与性质有关；多与三角函数等有关；3.在做此题型时，要观察题中已知条件并结合题的设问，联系全等、相似三角形的判定及切线的性质等解题类型一圆的基本性质证明计算题1.如图，正方形ABCD内接于O，M为中点，连接BM，CM.(1)求证：BMCM；(2)当O的半径为2时，求的长2.如图，A，P，B，C是圆上的四个点，APCCPB60°，AP，CB的延长线相交于点D.(1)求证：ABC是等边三角

2、形；(2)若PAC90°，AB2，求PD的长类型二圆与全等、相似知识综合题3.如图，OA，OD是O半径，过A作O的切线，交AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交O于点E，交CD的延长线于点B.(1)求证：直线CD是O的切线；(2)如果D点是BC的中点，O的半径为3 cm，求的长度(结果保留)4.已知ABC，以AB为直径的O分别交AC于D，BC于E，连接ED.若EDEC.(1)求证：ABAC；(2)若AB4，BC2，求CD的长5.如图，点D是等边三角形ABC的外接圆上一点，M是BD上一点，且满足DMDC，点E是AC与BD的交点(1)求证：CMAD；(2)如果AD1，CM2.求线段B

3、D的长及BCE的面积6.如图，ABC内接于O，BD为O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线交于点E，且AEBC.(1)求证：BE是O的切线；(2)已知CGEB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG·BA48，FG，DF2BF；求AH的值7.如图，AB为ABC外接圆O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2PA·PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D.(1)求证：PAEPEC；(2)求证：PE为O的切线；(3)若B30°，APAC，求证：DODP.类型三圆与三角函数等其他知识综合题8.如图，在矩形ABCD中，点O在

4、对角线AC上，以OA的长为半径的O与AD、AC分别交于点E、F，且ACBDCE.(1)判断直线CE与O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tanACB，BC2，求O的半径9.如图，以ABC的边AB为直径的O交边BC于点E，过点E作O的切线交AC于点D，且EDAC.(1)试判断ABC的形状，并说明理由；(2)如图，若线段AB、DE的延长线交于点F，C75°，CD2，求O的半径和BF的长10.如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CDBD，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF.(1)证明：EC；(2)若E55°，求BDF的度数；(3

5、)设DE交AB于点G，若DF4，cosB，E是的中点，求EG·ED的值11.如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求CDE的度数；(2)求证：DF是O的切线；(3)若AC2DE，求tanABD的值12.如图，在RtABC与RtOCD中，ACBDCO90°，O为AB的中点(1)求证：BACD；(2)已知点E在AB上，且BC2AB·BE.(i)若tanACD，BC10，求CE的长；(ii)试判定CD与以A为圆心，AE为半径的A的位置关系，并说明理由答案与解析：类型一圆的

6、基本性质证明计算题1. (1)【思路分析】要证BMCM，可通过等弧对等边的性质先证明，由M为的中点和圆内接正方形ABCD的性质即可证得，通过等量代换即可得证；证明：四边形ABCD是正方形，ABCD，M为中点，BMCM.(2)【思路分析】连接OM，OB，OC.由(1)得，即可得到BOMCOM，由于BOC所对应的是圆内接正方形的一条边，由圆内接四边形的性质即可得到BOC的度数，即可得到所对的圆心角BOM的度数，知道圆心角和半径长即可得到的长度解：如解图，连接OM，OB，OC，第1题解图BOMCOM，正方形ABCD内接于O，BOC90°，BOM(360°90°)135&

7、#176;，由弧长公式得，的长l.2. (1)证明：由题意可得：BPCBAC，APCABC，APCCPB60°，ABCBAC60°，ABC是等边三角形(2)解：PAC90°，PC是圆的直径，PBC90°，PBD90°，ABC是等边三角形，ABBC2，CPB60°，PB2，APC60°，DPB180°60°60°60°，PD2PB4.类型二圆与全等、相似知识综合题3. (1)证明：CA切O于点A，CAO90°.OC平分AOD，AOCDOC，在AOC和DOC中，AOCDOC(SA

8、S)，CDOCAO90°，OD是O的半径，CD是O的切线(2)解：由(1)知：ODBC，又D是BC的中点，OD是BC的垂直平分线，OCOB，BODDOCCOA×180°60°，DOE60°，的长度为×3.4. (1)证明：EDEC，CDEC，又四边形ABED是O的内接四边形，BEDA180°，EDACDE180°，CDEB，CDEC，BC，ABAC.(2)解：如解图，连接AE，则AEBC，第4题解图由(1)知，ABAC，BEECBC，在ABC与EDC中，CC，CDEB，ABCEDC.，即DC，由AB4，BC2，得D

9、C.5. (1)证明：ABC是等边三角形，BACACB60°，BDCBAC60°，ADBACB60°，ADC120°，DMDC，DMC是等边三角形，MCD60°，MCDADC180°，CMAD.(2)解：BCAC，ADCBMC120°，CBMCAD，ADCBMC，ADMB1，BDBMMDADCM123，CMAD，CADACM，ADEEMC，ADECME，SADESEMC，SCMD××2，SEMCSCMD，SEDCSCDM，SADESEMC，(SADCSADESDCE，SBCESBMCSMCESADCSCM

10、E.6. 解：(1)连接DC，如解图，第6题解图DB是O的直径，DCB90°，DDBC90°，DA，EBCA.DEBC，EBCDBC90°，即DBE90°，BE是O的切线(2)CGEB，BCGEBC，ABCG，又CBGABC，ABCCBG，即BC2BG·AB48，BC4，CGEB，CFBD，CFBDCB90°，又CBFDBC，RtBFCRtBCD，BC2BF·BD48，又DF2BF，BDDFBF3BF，BF4，在RtBCF中，CF4，CGCFFG5，在RtBFG中，BG3，BA8，AG5，CGAG，AACGBCG，CFHCF

11、B90°，CHFCBF，CHCB4，ABCCBG，BCGA，ABCCBG，AC4×，AHACCH4.7. (1)解：PE2PA·PC，PP，PAEPEC，(2)证明：PAEPEC，PEAPCE，OAOE，OEAOAE，AB是O的直径，ACB90°，OAEECA90°，PEOPEAOEAPCEOAE90°，OE为O半径，PE是O的切线(3)证明：过点O作OHCP于点H，AB是O的直径，B30°，第7题解图BCAC，O是AB的中点，OHBCAC，PE2PA·PC，APAC，PE2AC·(ACAC)AC

12、3;ACAC2，PEAC，OHPE，OHAPED90°，HDOEDP，HDOEDP，DODP.类型三圆与三角函数等其他知识综合题8. 解：(1)直线CE与O相切证明如下：连接OE，OAEAEO，四边形ABCD是矩形，第8题解图BCAD，ACBDAC, 又ACBDCE，DACAEODCE，DCEDEC90°，AEODEC90°，OEC90°，OE是O的半径，直线CE与O相切(2)tanACB，BC2，ABBC·tanACB，AC，又ACBDCE，tanDCE，DEDC·tanDCEAB·tanDCE×1，在RtCDE

13、中，CE，设O的半径为r，在RtCOE中，CO2OE2CE2，即(r)2r23，解得r.O的半径为.9. 解：(1)ABC为等腰三角形， 理由如下：如解图，连接OE，在O中，OEOB，OEBB，第9题解图DE是O的切线，OED90°，EDAC，ADE90°OED，OEAC且BECEBC，OEBC，BC，ACAB，ABC为等腰三角形(2)如解图，过点B作BHDF，ACDF，BHAC，EBHC，由(1)知CDEBHE90°，BECE，CDEBHE(AAS)，CDBH2，HBF180°OBEEBH180°75°75°30°

14、;，第9题解图F90°30°60°，在RtBFH中，BF，设OEx，在RtOEF中，sin60°，解得x2，故O的半径为2，BF的长为.10. (1)第10题解图证明：如解图，连接AD，AB是O的直径，ADB90°，即ADBC，CDBD，AD垂直平分BC，ABAC，BC.又BE，EC.(2)解：四边形AEDF是O的内接四边形，AFD180°E.又CFD180°AFD，CFDE55°，又EC55°，BDFCCFD110°.(3)解：如解图，连接OE，CFDEC，FDCDBD4，在RtABD中，co

15、sB，BD4，AB6，E是的中点，AB是O的直径，AOE90°，AOOEAB3，AE3，E是的中点，ADEEAB，AEGDEA，即EG·EDAE218.11. (1)解：对角线AC为O直径，ADC90°，CDE90°.第11题解图(2)证明：如解图，连接OF、OD，在RtCDE中，点F为斜边CE的中点，DFFC，在DOF和COF中， ，DOFCOF(SSS)，ODFOCF90°，DFOD，又OD为O半径，DF为O的切线；(3)解：由圆周角定理可得，ABDACD，由题意知，ADCCDE90°，CADECD，ADCCDE，CD2AD

16、83;DE，AC2DE，设DEa，ADb，AC2a，CD，在RtACD中，由勾股定理可得：AD2CD2AC2，即b2()2(2a)2，上式两边同时除以a2，整理后得到：()2200，解得4或5(舍去)tanABDtanACD2.12. (1)证明：点O为直角三角形斜边AB上的中点，OCOB，BBCO，ACBDCO90°，即ACOBCOACOACD90°，BCOACD，BACD.(2)解：(i)BC2AB·BE，即，又BB，BCABEC，BECBCA90°，tanACD，又由(1)知BACD，tanB，即，设CE3x，EB4x，在RtBCE中，CE2EB2BC2，(3x)2(4x)2102，x2，CE3x6.(ii)CD与A相切，理由如下：如解图，过A作AFDC，ACB90°，第12题解图ACEBCE90°，BEC90°，BBCE90°，BACE，又BACD，ACEACD.又AFDC，AEEC，AEAF，又AE为O半径，F为CD上一点，CD与A相切