《中考课件初中数学总复习资料》第01讲 翻折问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

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1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点1. 轴对称的定义把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，对应点叫对称点，直线叫对称轴，两个图形关于某条直线对称也叫轴对称.2. 轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）对称轴这条直线是对应点连线段的垂直平分线.1. 轴折叠两侧的部分对应相等，如对应角相等、对应边相等、折痕上的点到对应点的距离相等；2. 对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分，这会出现垂直于中点；3. 折叠问题中，常常结合角平分线、等腰三角形、三线合一、设未知数解勾股定理等综合知识点；4. 在平面直角坐标系中出现折叠

2、，常常还会用到求解析式法、两点间距离公式、中点坐标公式等.【例题1】（2019青岛模拟）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上则sinEFG的值为【解析】如图：过点E作HEAD于点H，连接AE交GF于点N，连接BD，BE四边形ABCD是菱形，AB=4，DAB=60°，AB=BC=CD=AD=4，DAB=DCB=60°，DCABHDE=DAB=60°，点E是CD中点，DE=CD=2在RtDEH中，DE=2，HDE=60°DH=1，HE=，AH=AD+DH

3、=5在RtAHE中，AE=2折叠，AN=NE=，AEGF，AF=EFCD=BC，DCB=60°BCD是等边三角形，且E是CD中点BECD，BC=4，EC=2，BE=2CDAB，ABE=BEC=90°在RtBEF中，EF2=BE2+BF2=12+（ABEF）2EF=，sinEFG=，故答案为：【点评】本题关键词：“对应点的连线段被折痕所在直线垂直平分”，“三线合一”，“转化目标角”【例题2】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是边AB上一点，且AE=2EB，点P是边BC上一点，连接EP，过点P作PQPE交射线CD于点Q若点C关于直线PQ的对称点正好落在边AD上，求

4、BP的值【解析】过点P作PEAD于点E，PEC'=90°矩形ABCD中，AB=3，BC=4EAB=B=C=QDC'=90°，CD=AB=3四边形CPED是矩形DE=PC，PE=CD=3AE=2EB，AE=2，EB=1设BP=x，则DE=PC=4x法2：亦可过C作CGBC，连接CC点C与C'关于直线PQ对称PC'QPCQPC'=PC=4x，C'Q=CQ，PC'Q=C=90°PEPQBPE+CPQ=90°又BEP+BPE=90°BEP=CPQBEPCPQ同理可证：PEC'C'D

5、Q，CQ=x（4x）C'Q=x（4x），DQ=3x（4x）=x24x+3，C'D=3x，EC'=EC'+C'D=DE，解得：x1=1，x2=BP的值为1或【例题3】（2019秋双流区校级月考）如图，矩形OABC中，OA=4，AB=3，点D在边BC上，且CD=3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A恰好落在边OC上，则OE的长为_.法2：亦可过D作DGAO，连接AA【解析】连接AD，AD，四边形OABC是矩形，BC=OA=4，OC=AB=3，C=B=O=90°，CD=3DB，CD=3，BD=1，CD=AB

6、，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A恰好落在边OC上，AD=AD，AE=AE，在RtACD与RtDBA中，RtACDRtDBA（HL），AC=BD=1，AO=2，AO2+OE2=AE2，22+OE2=（4OE）2，OE=，【点评】本题关键词：“对应点的连线段被折痕垂直平分”，“全等相似”，“十字架”，“勾股定理解方程”【例题4】（2019东西湖区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为法2：亦可过E作EGFC；或者过F作MN分别垂直AD和BC【解析】连接BF，BC=6，点E为BC的中点，BE

7、=3，又AB=4，AE=5，BH=，则BF=，FE=BE=EC，BFC=90°，根据勾股定理得，CF=故答案为：【例题5】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N（1）若CM=x，则CH=（用含x的代数式表示）；（2）求折痕GH的长【解析】（1）CM=x，BC=6，设HC=y，则BH=HM=6y，故y2+x2=（6y）2，整理得：y=x2+3，HMC+MHC=90°，EMD=MHC，EDMMCH，=，=，解得：HC=x2+2x，故答案为：x2+3或x

8、2+2x；（2）方法一：四边形ABCD为正方形，B=C=D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6x，EMH=B=90°，故HMC+EMD=90°，HMC+MHC=90°，EMD=MHC，EDMMCH，=，即=，解得：x1=2，x2=6，当x=2时，CM=2，DM=4，在RtDEM中，由勾股定理得：EM=5，NE=MNEM=65=1，NEG=DEM，N=D，NEGDEM，=，=，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GPBC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=x2+3=，PH=BCHCBP=6=2，

9、在RtGPH中，GH=2当x=6时，则CM=6，点H和点C重合，点G和点A重合，点M在点D处，点N在点A处MN同样经过点E，折痕GH的长就是AC的长所以，GH长为6方法二：有上面方法得出CM=2，连接BM，可得BMGH，则可得PGH=HBM，在GPH和BCM中，GPHBCM（SAS），GH=BM，GH=BM=2【例题6】已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t（1）如图，当BOP=30°时，求点P的坐标；（2）如图，经过点P再次折叠纸片

10、，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ，若AQ=m，求m（用含有t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当点C恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果）【解析】（1）根据题意，OBP=90°，OB=6，在RtOBP中，由BOP=30°，BP=t，得OP=2tOP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=2（舍去）点P的坐标为（2，6）；（2）OBP、QCP分别是由OBP、QCP折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP，OPB=OPB，QPC=QPC，OPB+OPB+QPC+QPC=180°，OPB+QPC=90°，BOP+

11、OPB=90°，BOP=CPQ，又OBP=C=90°，OBPPCQ，=，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11t，CQ=6m=，m=t2t+6（0t11）；（3）过点P作PEOA于E，如图3，PEA=QAC=90°，PCE+EPC=90°，PCE+QCA=90°，EPC=QCA，PCECQA，=，在PCE和OCB中，PCEOCB（AAS），PC'=OC'=PC，BP=AC'，AC=PB=t，PE=OB=6，AQ=m，EC=112t，=，m=t2t+6，3t222t+36=0，解得：t1=，t2=故

12、点P的坐标为（ ，6）或（ ，6）1如图，在菱形纸片ABCD中，AB=15，tanABC=，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，若CEAD，则cosEFG的值为【解析】如图，过点A作AHBC于点H，连接BE，过点P作PEAB，AB=15，tanABC=，AH=9，BH=12，CH=3，四边形ABCD是菱形，AB=BC=15，ADBC，AHBC，AHAD，且AHBC，CEAD，四边形AHCE是矩形EC=9，AE=CH=3，BE=3，将菱形纸片沿折痕FG翻折，使点B落在AD边上的点E处，BF=EF，BEFG，BO=EO=ADBC，ABC=PAE，tanABC=tanPAE=，且A

13、E=3，AP=，PE=，EF2=PE2+PF2，EF2=+（15EF+）2，EF=，FO=cosEFG=，故答案为：2（2019江北区一模）如图，在菱形ABCD中，AB=5，tanD=，点E在BC上运动（不与B，C重合），将四边形AECD沿直线AE翻折后，点C落在C处，点D落在D处，CD与AB交于点F，当CD'AB时，CE长为 【解析】如图，作AHCD于H，交BC的延长线于G，连接AC由题意：AD=AD，D=D，AFD=AHD=90°，AFDAHD（AAS），FAD=HAD，EAD=EAD，EAB=EAG，=（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）ABCD，AHCD，AHAB

14、，BAG=90°，B=D，tanB=tanD=，=，AG=，BG=，BE：EG=AB：AG=4：3，EG=BG=，在RtADH中，tanD=，AD=5，AH=3，CH=4，CH=1，CGAD，=，CG=，EC=EGCG=故答案为3如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点D恰好在线段BE上若AD=3，DE=1，则AB=5【解析】折叠，ADEAD'E，AD=AD'=3，DE=D'E=1，DEA=D'EA，四边形ABCD是矩形，ABCD，DEA=EAB，EAB=AEB，AB=BE，D'B=BED'E=AB

15、1，在RtABD'中，AB2=D'A2+D'B2，AB2=9+（AB1）2，AB=5故答案为：54（2019罗山县一模）如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点N为边BC的中点，点M为AB边上任意一点，连接MN，把BMN沿MN折叠，使点B落在点E处，若点E恰在矩形ABCD的对称轴上，则BM的长为5或【解析】当E在矩形的对称轴直线PN上时，如图1此时MEN=B=90°，ENB=90°，四边形BMEN是矩形又ME=MB，四边形BMEN是正方形BM=BN=5当E在矩形的对称轴直线FG上时，如图2，过N点作NHFG于H点，则NH=4根据折叠的对称性可知

16、EN=BN=5，在RtENH中，利用勾股定理求得EH=3FE=53=2设BM=x，则EM=x，FM=4x，在RtFEM中，ME2=FE2+FM2，即x2=4+（4x）2，解得x=，即BM=故答案为5或5（2019虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，点E在边AD上且AE=4，点F是边BC上的一个动点，将四边形ABFE沿EF翻折，A、B的对应点A1、B1与点C在同一直线上，A1B1与边AD交于点G，如果DG=3，那么BF的长为【解析】CDGA'EG，A'E=4A'G=2B'G=4由勾股定理可知CG'=则CB'=由CDGCFB'设BF

17、=x解得x=故答案为6如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G若OE=4，则O到折痕EF的距离为2【解析】过点G作OGOB，作AOOG于O，如图，连结OO交EF于H，则四边形AOGO为矩形，OG=AO=6，沿EF折叠后所得得圆弧恰好与半径OB相切于点G，与所在圆的半径相等，点O为所在圆的圆心，点O与点O关于EF对称，OOEF，OH=HO，设OH=x，则OO=2x，EOH=OOA，RtOEHRtOOA，=，即=，解得x=2，即O到折痕EF的距离为2故答案为27如图，矩形ABCD中，AD

18、=4，O是BC边上的点，以OC为半径作O交AB于点E，BE=AE，把四边形AECD沿着CE所在的直线对折（线段AD对应AD），当O与AD相切时，线段AB的长是【解析】设O与AD相切于点F，连接OF，OE，则OFAD，OC=OE，OCE=OEC，四边形ABCD是矩形，A=B=A=90°，由折叠的性质得：AEC=AEC，B+BCE=AEO+OEC，OEA=B=90°，OE=OF，四边形AFOE是正方形，AE=AE=OE=OC，BE=AE，设BE=3x，AE=5x，OE=OC=5x，BC=AD=4，OB=45x，在RtBOE中，OE2=BE2+OB2，（5x）2=（3x）2+（4

19、5x）2，解得：x=，x=4（舍去），AB=8x=故答案为：9如图，矩形ABCD中，AB=2BC，E是AB上一点，O是CD上一点，以OC为半径作O，将ADE折叠至ADE，点A在O上，延长EA交BC延长线于F，且恰好过点O，过点D作O的切线交BC延长线于点G若FG=1，则AD=2，O半径=【解析】作OHDG于H，如图，设DA=x，则AB=2x，ADE折叠至ADE，DA=DA=x，DAE=A=90°，DA与O相切，在ODA和OCF中DOAFOCDA=CF=x，DG是O的切线，OHDG，H点为切点，DH=DA=x，GH=GC=CF+GF=x+1，在RtDCG中，DC2+CG2=DG2，（2

20、x）2+（x+1）2=（x+x+1）2，解得x1=0（舍去），x2=2，AD=2，设O的半径为r，则OC=OA=r，OD=2xr=4r，在RtDOA中，DA2+OA2=DO2，22+r2=（4r）2，解得r=，即O的半径为故答案为2，10如图1，在ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作正方形ABDE，BCIJ，AFGC如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABDE，AE交CG于点M，DE交IC于点N点D在边IJ上则四边形CMEN的面积是24【解析】正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABDE，AE=AB=10，EAB=90&#

21、176;，AEN=90°，AC=6，BC=8，AB=10，AC2+BC2=AB2，ACB为直角三角形，AC2=BCMC，MC=，MAC=NAE，RtACMRtAEN，=，即=，EN=，四边形CMEN的面积=SAENSACM=×10××6×=24故答案为2411如图，菱形ABCD中，A=60°，将纸片折叠，点A，D分别落在A，D处，且AD经过点B，EF为折痕，当DFCD时，的值为【解析】设BC与DF交于点KCF=a，DK=b，四边形ABCD是菱形，A=60°，C=60°，D=D=120°，KFCD，KFC=

22、90°，FKC=BKD=30°，KBD=180°DBKD=30°，BD=b，BK=b，KC=2a，KF=a，BC=CD=DF+CF，b+2a=b+a+a，（1）a=（1）b，a=b，=，故答案为12如图，在ABC中，C=90°，AC=BC=，将ABC绕点A顺时针方向旋转60°到ABC的位置，连接CB，则CB=1【解析】如图，连接BB，ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到ABC，AB=AB，BAB=60°，ABB是等边三角形，AB=BB，在ABC和BBC中，ABCBBC（SSS），ABC=BBC，延长BC交AB于D，

23、则BDAB，C=90°，AC=BC=，AB=2，BD=2×=，CD=×2=1，BC=BDCD=1故答案为：113如图，在RtABC中，ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为【解析】连接AD，作EGBD于G，如图所示：则EGAC，BEGBAC，=，设BE=x，ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，=，解得：EG=x，BG=x，点D是边BC的中点，CD=BD=2，DG=2x，由折叠的性质得：DF=BD=C

24、D，EDF=EDB，在ACD和AFD中，ACDAFD（SSS），ADC=ADF，ADF+EDF=×1880°=90°，即ADE=90°，AD2+DE2=AE2，AD2=AC2+CD2=32+22=13，DE2=DG2+EG2=（2x）2+（x）2，13+（2x）2+（x）2=（5x）2，解得：x=，即BE=；故答案为：14在正方形ABCD中，（1）如图1，若点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，且AOF=90°求证：AE=BF（2）如图2，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与

25、BC边交于点G若DC=5，CM=2，求EF的长【解析】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABE=BCF=90°，AOF=90°，BAE+OBA=90°，又FBC+OBA=90°，BAE=CBF，在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA）AE=BF（2）由折叠的性质得EFAM，过点F作FHAD于H，交AM于O，则ADM=FHE=90°，HAO+AOH=90°、HAO+AMD=90°，POF=AOH=AMD，又EFAM，POF+OFP=90°、HFE+FEH=90°，POF=FEH，FEH=A

26、MD，四边形ABCD是正方形，AD=CD=FH=5，在ADM和FHE中，ADMFHE（AAS），EF=AM=15如图，已知E是正方形ABCD的边AB上一点，点A关于DE的对称点为F，BFC=90°，求的值【解析】如图，延长EF交CB于M，连接CM，四边形ABCD是正方形，AD=DC，A=BCD=90°，将ADE沿直线DE对折得到DEF，DFE=DFM=90°，在RtDFM与RtDCM中，RtDFMRtDCM，MF=MC，MFC=MCF，MFC+BFM=90°，MCF+FBM=90°，MFB=MBF，MB=MC，设MF=MC=BM=a，AE=EF

27、=x，BE2+BM2=EM2，即（2ax）2+a2=（x+a）2，解得：x=a，AE=a，=316在长方形纸片ABCD中，点E是边CD上的一点，将AED沿AE所在的直线折叠，使点D落在点F处（1）如图1，若点F落在对角线AC上，且BAC=54°，则DAE的度数为18°（2）如图2，若点F落在边BC上，且AB=6，AD=10，求CE的长（3）如图3，若点E是CD的中点，AF的沿长线交BC于点G，且AB=6，AD=10，求CG的长【解析】（1）四边形ABCD是矩形，BAD=90°，BAC=54°，DAC=90°54°=36°，由

28、折叠的性质得：DAE=FAE，DAE=DAC=18°；故答案为：18；（2）四边形ABCD是矩形，B=C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折叠的性质得：AF=AD=10，EF=ED，BF=8，CF=BCBF=108=2，设CE=x，则EF=ED=6x，在RtCEF中，由勾股定理得：22+x2=（6x）2，解得：x=，即CE的长为；（3）连接EG，如图3所示：点E是CD的中点，DE=CE，由折叠的性质得：AF=AD=10，AFE=D=90°，FE=DE，EFG=90°=C，在RtCEG和FEG中，RtCEGFEG（HL），CG=FG，设CG=F

29、G=y，则AG=AF+FG=10+y，BG=BCCG=10y，在RtABG中，由勾股定理得：62+（10y）2=（10+y）2，解得：y=，即CG的长为17（1）如图1，将矩形ABCD折叠，使BC落在对角线BD上，折痕为BE，点C落在点C处，若ADB=46°，则DBE的度数为23°（2）小明手中有一张矩形纸片ABCD，AB=4，AD=9【画一画】如图2，点E在这张矩形纸片的边AD上，将纸片折叠，使AB落在CE所在直线上，折痕设为MN（点M，N分别在边AD，BC上），利用直尺和圆规画出折痕MN（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线段描清楚）；【算一算】如图3，点F在这张矩

30、形纸片的边BC上，将纸片折叠，使FB落在射线FD上，折痕为GF，点A，B分别落在点A，B处，若AG=，求BD的长；【验一验】如图4，点K在这张矩形纸片的边AD上，DK=3，将纸片折叠，使AB落在CK所在直线上，折痕为HI，点A，B分别落在点A，B处，小明认为BI所在直线恰好经过点D，他的判断是否正确，请说明理由【解析】（1）如图1中，四边形ABCD是矩形，ADBC，ADB=DBC=46°，由翻折不变性可知，DBE=EBC=DBC=23°，故答案为23（2）【画一画】，如图2中，【算一算】如图3中，AG=，AD=9，GD=9=，四边形ABCD是矩形，ADBC，DGF=BFG，

31、由翻折不变性可知，BFG=DFG，DFG=DGF，DF=DG=，CD=AB=4，C=90°，在RtCDF中，CF=，BF=BCCF=，由翻折不变性可知，FB=FB=，DB=DFFB=3【验一验】如图4中，小明的判断不正确理由：连接ID，在RtCDK中，DK=3，CD=4，CK=5，ADBC，DKC=ICK，由折叠可知，ABI=B=90°，IBC=90°=D，CDKIBC，=，即=，设CB=3k，IB=4k，IC=5k，由折叠可知，IB=IB=4k，BC=BI+IC=4k+5k=9，k=1，IC=5，IB=4，BC=3，在RtICB中，tanBIC=，连接ID，在RtICD中，tanDIC=，tanBICtanDIC，BI所在的直线不经过点D