《初中数学总复习资料》第18课时 二次函数的应用.doc

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1、第 18 课时 二次函数的应用 (60 分) 一、选择题(每题 6 分，共 12 分) 12015 铜仁河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图 181所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为 y125x2，当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时，这时水面宽度 AB 为 (C) 图 181 A20 m B10 m C20 m D10 m 【解析】 根据题意 B 的纵坐标为4， 把 y4 代入 y125x2， 得 x 10， A(10，4)，B(10，4)，AB20 m即水面宽度 AB 为 20 m. 2 2015 金华图 182是图 182中拱形大桥的示意图， 桥拱与桥面的交点为

2、O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 y1400(x80)216，桥拱与桥墩 AC 的交点 C恰好在水面，有 ACx 轴，若 OA10 m，则桥面离水面的高度 AC 为(B) A16940 m B.174 m C16740 m D.154 m 图 182 【解析】 ACx 轴，OA10 m， 点 C 的横坐标为10， 当 x10 时，y1400(x80)2161400(1080)216174， C10，174，桥面离水面的高度 AC 为174 m. 二、填空题(每题 6 分，共 18 分) 32014 咸宁科学家为了推测最适合某种

3、珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中， 经过一定时间后，测试这种植物高度的增长情况，部分数据如下表： 温度 T/ 4 2 0 1 4 植物高度增长量 l/mm 41 49 49 46 25 科学家经过猜想，推测出 l 与 T 之间是二次函数关系由此可以推测最适合这种植物生长的温度为_1_. 【解析】 设 yax2bxc(a0)，选(0，49)，(1，46)， (4，25)代入后得方程组 c49，abc46，16a4bc25，解得a1，b2，c49， 所以 y 与 x 之间的二次函数解析式为 yx22x49， 当 xb2a1 时，y 有最大值 50， 即说明最适合这种植物生长的

4、温度是1. 42015 温州某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图 183 所示的三处各留 1 m 宽的门已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27 m，则能建成的饲养室面积最大为_75_m2. 【解析】 设垂直于墙的材料长为 x m，则平行于墙的材料长为 2733x303x， 则总面积 Sx(303x)3x230 x3(x5)275，故饲养室的最大面积为 75 m2. 图 183 5如图 184，在ABC 中，B90，AB12 mm，BC24 mm， 动点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 2 mm/s 的速度移动(不与点 B 重合)，

5、动点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 4 mm/s 的速度移动(不与点 C 重合)如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，那么经过_3_s，四边形 APQC 的面积最小 【解析】 S四边形APQC12122412(122t)4t4t224t144， 当 tb2a24243 时，S四边形APQC最小 三、解答题(共 30 分) 6(15 分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为 30 m 的篱笆围成已知墙长为 18 m(如图 185)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 x m. (1)若平行于墙的一边的长为 y m， 直接写出 y 与 x 之间的

6、函数关系式及其自变量 x 的取值范围； (2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？并求出这个最大值； (3)当这个苗圃园的面积不小于 88 m2时，试结合函数的图象，直接写出 x 的取值范围 图 185 【解析】 (1)用 x 表示 y；(2)由矩形面积公式列关系式求最值；(3)令 y88，求 x 的值，根据图象写出符合要求的 x 的取值范围 解：(1)y302x(6x15)； (2)设矩形苗圃园的面积为 S，则 Sxyx(302x)2x230 x2(x7.5)2112.5，由(1)知 6x15； 当 x7.5 时，S最大112.5， 图 184 即当矩形苗圃园垂直于墙的一边长

7、为 7.5 m 时， 这个苗圃园的面积最大， 最大值为 112.5 m2； (3)图象略.6x11. 7(15 分)某商场购进一种每件价格为 100 元的新商品，在商场试销发现：销售单价 x(元/件)与每天销售量 y(件)之间满足如图 186 所示的关系 图 186 (1)求出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)写出每天的利润 w 与销售单价 x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 解： (1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb(k0) 由所给函数图象经过点(130，50)，(150，30)，得 130kb50，150

8、kb30， 解得k1，b180， y 与 x 之间的函数关系式为 yx180； (2)w(x100)y(x100)(x180) x2280 x18 000 (x140)21 600， 当售价 x 定为 140 元/件时，w最大1 600 元， 当售价定为 140 元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是 1 600 元 (25 分) 8(10 分)2014 天水如图 187，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O点正上方 2 m 的 A 处发出，把球看成点，其运行的高度 y(m)与运行的水平距离 x(m)满足关系式 ya(x6)2h.已知球网与 O 点的水平距离为 9 m，高度为 2.4

9、3 m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18 m. 图 187 (1)当 h2.6 时，求 y 与 x 的关系式(不要求写出自变量 x 的取值范围)； (2)当 h2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围 解：(1)h2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出，抛物线 ya(x6)22.6 过(0，2)点， 2a(06)22.6，解得 a160， 故 y 与 x 的关系式为 y160(x6)22.6； (2)当 x9 时，y160(x6)22.62.452.43，球能越过球网； 当 y0 时，160(x6)22.

10、60， 解得 x162 3918，x262 39(舍去)， 球会出界； (3)由题意，抛物线 ya(x6)2h 过点(0，2)， 代入点(0，2)的坐标得 a(06)2h2， 即 36ah2 且 a0，a2h36，且 h2. 若球一定能越过球网，则当 x9 时，y2.43， 即 9ah2.43， 若球不出边界，则当 x18 时， y0，即 144ah0， 将 a2h36代入解得 h83. 故若球一定能越过球网，又不出边界，h 的取值范围是 h83. 9(15 分)2015 丽水某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点 A 处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在

11、中线上在乒乓球运行时，设乒乓球与端点 A 的水平距离为 x(m)，与桌面的高度为 y(m)，运动时间为 t(s)，经过多次测试后，得到如下部分数据： t(s) 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 x(m) 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 y(m) 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 (1)当 t 为何值时，乒乓球达到最大高度？ (2)乒乓球落在桌面时，与端点 A 的水平距离是多少？ (3)乒乓球落在桌面上弹起后，y 与 x 满足 ya(x3)2k. 用含 a 的代数式表示 k； 球网高度为 0.14 m，球桌长(1.42)m.若

12、球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点 A，求 a 的值 图 188 解：以点 A 为原点，以桌面中线为 x 轴，乒乓球运动方向为正方向，建立平面直角坐标系 (1)由表格中的数据，可得 t0.4(s) 答：当 t 为 0.4 s 时，乒乓球达到最大高度； (2)由表格中数据，可画出 y 关于 x 的图象，根据图象的形状，可判断 y 是 x的二次函数，设 ya(x1)20.45. 将(0，0.25)代入，可得 a0.2. y0.2(x1)20.45. 当 y0 时，x152，x212(舍去)，即乒乓球与端点 A 的水平距离是52 m； (3)由(2)得乒乓球落在桌面上时，对应的点为

13、52，0 . 代入 ya(x3)2k，得 a5232k0，化简整理，得 k14a； 由题意，可知扣杀路线在直线 y110 x 上 由得 ya(x3)214a. 令 a(x3)214a110 x， 整理得 20ax2(120a2)x175a0. 当 (120a2)2420a175a0 时符合题意 解方程，得 a16 3510，a26 3510. 当 a16 3510时，求得 x352，不符合题意，舍去； 当 a26 3510时，求得 x352，符合题意 答：当 a6 3510时，能恰好将球沿直线扣杀到点 A. (15 分) 10(15 分)2015 南京某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量

14、相等，如图 189 中的折线ABD，线段 CD 分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价 y2(单位：元)与产量 x(单位：kg)之间的函数关系 (1)请解释图中点D的横坐标、 纵坐标的实际意义； (2)求线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数表达式； (3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)点 D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为 130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为 42 元； (2)设线段 AB 所表示的 y1与 x 之间的函数关系式为 y1k1xb1， 图 189 y1k1xb1的图象过点(0，60)与(90，4

15、2)， b160，90k1b142， 解得k10.2，b160， 这个一次函数的表达式为 y10.2x60(0 x90)； (3)设 y2与 x 之间的函数关系式为 y2k2xb2， y2k2xb2的图象过点(0，120)与(130，42) b2120，130k2b242， 解得k20.6，b2120， 这个一次函数的表达式为 y20.6x120(0 x130)， 设产量为 x kg 时，获得的利润为 w 元， 当 0 x90 时，wx(0.6x120)(0.2x60)0.4(x75)22 250， 当 x75 时，w 的值最大，最大值为 2 250； 当 90 x130 时，wx(0.6x120)420.6(x65)22 535， 当 x90 时，w0.6(9065)22 5352 160， 由0.60 知， 当 x65 时， w 随 x 的增大而减小， 90 x130 时， w2 160， 因此当该产品产量为 75 kg 时，获得的利润最大，最大利润为 2 250 元