《初中数学总复习资料》2018年中考数学突破瓶颈疑难解答专题八讲：2018年中考数学突破瓶颈疑难解答专题第二讲开放探究型问题.docx

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1、专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识

2、和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须

3、具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形通过给出的已知条件便可（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决【解答】（1）证明：E是AC中点，EC=ACDB=AC，DBEC 又DBEC，四边形D

4、BCE是平行四边形BC=DE （2）添加AB=BC （ 5分）理由：DBAE，四边形DBEA是平行四边形BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEBF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AEBF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】（1）根据正方形的性质，可得ABC与C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得AM

5、B的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得ABM与BAM的关系，根据同角的余角相等，可得BAM与CBF的关系，根据ASA，可得ABEBCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到ABC=C，由余角的性质得到BAM=CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=C，AB=BCAEBF，AMB=BAM+ABM=90°，ABM+CBF=90°，BAM=CBF在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：四边形ABCD是矩形，ABC=C，AEBF，AMB=BAM+ABM=90

6、6;，ABM+CBF=90°，BAM=CBF，ABEBCF，=，AB=BC存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DEDB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： =；设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用的结论），并求出y的最小值【考点】SO：相似形

7、综合题【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC首先证明B、D、E、C四点共圆，可得DBC=DCE，EDC=EBC，由tanACO=，推出ACO=30°，ACD=60°由DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出DBC=DCE=EDC=EBC=30°，推出DBC=BCD=60°，可得DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出DBC=DCE=30°，由此即可解决问题；作DHAB于H想办法用x表示BD、DE的长，构建二次

8、函数即可解决问题；【解答】解：（1）四边形AOCB是矩形，BC=OA=2，OC=AB=2，BCO=BAO=90°，B（2，2）故答案为（2，2）（2）存在理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KCBDE=BCE=90°，KD=KB=KE=KC，B、D、E、C四点共圆，DBC=DCE，EDC=EBC，tanACO=，ACO=30°，ACB=60°如图1中，DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，DBC=DCE=EDC=EBC=30°，DBC=BCD=60°，DBC是等边三角形，DC=BC=2，在RtAOC中，ACO=3

9、0°，OA=2，AC=2AO=4，AD=ACCD=42=2当AD=2时，DEC是等腰三角形如图2中，DCE是等腰三角形，易知CD=CE，DBC=DEC=CDE=15°，ABD=ADB=75°，AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2（3）由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，DBC=DCE=30°，tanDBE=，=如图2中，作DHAB于H在RtADH中，AD=x，DAH=ACO=30°，DH=AD=x，AH=x，BH=2x，在RtBDH中，BD=，DE=BD=，矩形BDEF的面积为y= 2=（x26x+12），即y=x22x+4，

10、y=（x3）2+，0，x=3时，y有最小值综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，ADAC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点（1）若EDEF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，ADAC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到C

11、P=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EMDA交DA的延长线于M，过E作ENFC交FC的延长线于N，证得AMECNE，ADECFE，根据全等三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：在ABCD中，AD=AC，ADAC，AC=BC，ACBC，连接CE，E是AB的中点，AE=EC，CEAB，ACE=BCE=45°，ECF=EAD=135°，EDEF，CEF=AED=90°CED，在CEF和AED中，CEFAED，ED=EF；（2）解：由（1）知CEFAED，CF=AD，AD=AC，AC=CF，DPAB，FP=PB，C

12、P=AB=AE，四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EMDA交DA的延长线于M，过E作ENFC交FC的延长线于N，在AME与CNE中，AMECNE，ADE=CFE，在ADE与CFE中，ADECFE，DEA=FEC，DEA+DEC=90°，CEF+DEC=90°，DEF=90°，EDEF【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为E（1）求证：DCAEAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形请加以证明训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对

13、角线AC、BD，将ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到DCE（1）求证：ACDEDC；（2）请探究BDE的形状，并说明理由训练三：如图，在ABC中，ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF（1）证明：AF=CE；（2）当B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DEDB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形B

14、DEF（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： =；设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用的结论），并求出y的最小值训练五：（2017黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，ACBD旋转图1中的RtCOD到图2所示的位置，AC与BD有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，ABC=60°，旋转RtCOD至图3所示的位置，AC与BD又有什么关系？写出结论并证明参考答案：训练一：（2017日

15、照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CEAE，垂足为E（1）求证：DCAEAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD为矩形请加以证明【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质【分析】（1）由SSS证明DCAEAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出D=90°，即可得出结论【解答】（1）证明：在DCA和EAC中，DCAEAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：AB=DC，AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，CEAE，E=90°，由（1）得：DCAE

16、AC，D=E=90°，四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到DCE（1）求证：ACDEDC；（2）请探究BDE的形状，并说明理由【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC

17、，得出BD=DE即可【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，AB=DC，AC=BD，AD=BC，ADC=ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，DCE=ABC=90°，DC=AB，AD=EC，在ACD和EDC中，ACDEDC（SAS）；（2）解：BDE是等腰三角形；理由如下：AC=BD，DE=AC，BD=DE，BDE是等腰三角形训练三：如图，在ABC中，ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF（1）证明：AF=CE；（2）当B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由

18、【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质【分析】（1）由三角形中位线定理得出DEAC，AC=2DE，求出EFAC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出BAC=60°，AC=AB=AE，证出AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论【解答】（1）证明：点D，E分别是边BC，AB上的中点，DEAC，AC=2DE，EF=2DE，EFAC，EF=AC，四边形ACEF是平行四边形，AF=CE；（2）解：当B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：ACB=90°，B=30&

19、#176;，BAC=60°，AC=AB=AE，AEC是等边三角形，AC=CE，又四边形ACEF是平行四边形，四边形ACEF是菱形训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DEDB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；（3）求证： =；设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利

20、用的结论），并求出y的最小值【考点】SO：相似形综合题【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC首先证明B、D、E、C四点共圆，可得DBC=DCE，EDC=EBC，由tanACO=，推出ACO=30°，ACD=60°由DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出DBC=DCE=EDC=EBC=30°，推出DBC=BCD=60°，可得DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出DBC=DCE=30°，由此即可解决问题；作D

21、HAB于H想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）四边形AOCB是矩形，BC=OA=2，OC=AB=2，BCO=BAO=90°，B（2，2）故答案为（2，2）（2）存在理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KCBDE=BCE=90°，KD=KB=KE=KC，B、D、E、C四点共圆，DBC=DCE，EDC=EBC，tanACO=，ACO=30°，ACB=60°如图1中，DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，DBC=DCE=EDC=EBC=30°，DBC=BCD=60°，DBC是等边三

22、角形，DC=BC=2，在RtAOC中，ACO=30°，OA=2，AC=2AO=4，AD=ACCD=42=2当AD=2时，DEC是等腰三角形如图2中，DCE是等腰三角形，易知CD=CE，DBC=DEC=CDE=15°，ABD=ADB=75°，AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2（3）由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，DBC=DCE=30°，tanDBE=，=如图2中，作DHAB于H在RtADH中，AD=x，DAH=ACO=30°，DH=AD=x，AH=x，BH=2x，在RtBDH中，BD=，DE=BD=，矩形BDEF的面积为y

23、= 2=（x26x+12），即y=x22x+4，y=（x3）2+，0，x=3时，y有最小值训练五：（2017黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，ACBD旋转图1中的RtCOD到图2所示的位置，AC与BD有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，ABC=60°，旋转RtCOD至图3所示的位置，AC与BD又有什么关系？写出结论并证明【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，ACBD，根据旋转的性质得到

24、OD=OD，OC=OC，DOD=COC，等量代换得到AO=BO，OC=OD，AOC=BOD，根据全等三角形的性质得到AC=BD，OAC=OBD，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到ACBD，AO=CO，BO=DO，求得OB=3OA，OD=3OC，根据旋转的性质得到OD=OD，OC=OC，DOD=COC，求得OD=3OC，AOC=BOD，根据相似三角形的性质得到BD=3AC，于是得到结论【解答】解：图2结论：AC=BD，ACBD，理由：四边形ABCD是正方形，AO=OC，BO=OD，ACBD，将RtCOD旋转得到RtCOD，OD=OD，OC=OC，DOD=COC，AO=BO，OC=

25、OD，AOC=BOD，在AOC与BOD中，&AO=BO&AOC'=BOD'&OC'=OD'，AOCBOD，AC=BD，OAC=OBD，AOD=BOO，OBO+BOO=90°，OAC+AOD=90°，ACBD；图3结论：BD=3AC，ACBD理由：四边形ABCD是菱形，ACBD，AO=CO，BO=DO，ABC=60°，ABO=30°，OB=3OA，OD=3OC，将RtCOD旋转得到RtCOD，OD=OD，OC=OC，DOD=COC，OD=3OC，AOC=BOD，OBOA=OD'OC'=3，AOCBOD，BD'AC'=OBOA=3，OAC=OBD，BD=3AC，AOD=BOO，OBO+BOO=90°，OAC+AOD=90°，ACBD【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键