《初中数学总复习资料》2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第14讲反比例函数 知识归纳＋真题解析（2017年真题）.doc

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1、【知识归纳】（一）反比例函数的概念1（k0）可以写成 的形式，注意自变量x的指数为-1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2（k0）也可以写成 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数的自变量 ，故函数图象与 无交点（二）反比例函数的图象及性质在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）1函数解析式： （k0）2自变量的取值范围： .3图象:（1）图象的形状： |k|越大，图象的弯曲度 ，曲线越平直|k|越小，图象的弯曲度 （2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，当k0时，

2、图象的两支分别位于 象限；在每个象限内，y随x的增大而 ；当k0时，图象的两支分别位于 象限；在每个象限内，y随x的增大而 （3）对称性：1.图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则 在双曲线的另一支上2.图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则 在双曲线的另一支上4k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是 （三角形PAO和三角形PBO的面积都是 如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 图1 图2【知识归纳答

3、案】（一）反比例函数的概念1 （k0）为-1， k0这一2 xy=k3 x0，故函数图象与x轴、y轴无交点（二）反比例函数的图象及性质在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）1函数解析式：（k0）2自变量的取值范围：x0.3图象:（1）图象的形状：双曲线|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直|k|越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：一、三象限；减小；二、四象限；增大（3）对称性：1.图（-a，-b）2.图（b，a）和（-b，-a）在双4k的几何意义则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是|k|）；有三角形

4、PQC的面积为2|k|真题解析一选择题（共6小题）1已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则正比例函数y=（b+c）x与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象是（）ABCD【考点】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y=与一次函数y=（b+c）x的图象经过的象限即可【解答】解：由二次函数图象可知a0，c0，由对称轴x=0，可知b0，当x=1时，a+b+c0，即b+c0，所以正比例函数y=（b+c）x经过二四象限，反比例函数y=图象经过一三象限，故选C2如图，

5、若抛物线y=x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为k，则反比例函数y=（x0）的图象是（）ABCD【考点】G2：反比例函数的图象；HA：抛物线与x轴的交点【分析】找到函数图象与x轴、y轴的交点，得出k=4，即可得出答案【解答】解：抛物线y=x2+3，当y=0时，x=±；当x=0时，y=3，则抛物线y=x2+3与x轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（1，1），（0，1），（0，2），（1，1）；共有4个，k=4；故选：D3下列给出的函数中，其图象是中心对称图形的是（）函数y=x；函数y=x2；函数y=ABCD都不是【考点

6、】G2：反比例函数的图象；F4：正比例函数的图象；H2：二次函数的图象；R5：中心对称图形【分析】函数是中心对称图形，对称中心是原点【解答】解：根据中心对称图形的定义可知函数是中心对称图形故选C4如图，在直角坐标系中，点A在函数y=（x0）的图象上，ABx轴于点B，AB的垂直平分线与y轴交于点C，与函数y=（x0）的图象交于点D，连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（）A2B2C4D4【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；KG：线段垂直平分线的性质【分析】设A（a，），可求出D（2a，），由于对角线垂直，计算对角线乘积的一半即可【解答】解：设A（a，），可求出D（2a，）

7、，ABCD，S四边形ACBD=ABCD=×2a×=4，故选C5如图，已知点A、B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，且OAOB，则的值为（）AB2CD4【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出AOMOBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出SAOM：SBON=1：4，进而可得出结论【解答】解：过点A作AMy轴于点M，过点B作BNy轴于点N，AMO=BNO=90°，AOM+OAM=90°，OAOB，AOM+BON=90°，OAM=BON，AOMO

8、BN，点A，B分别在反比例函数y=（x0），y=（x0）的图象上，SAOM：SBON=1：4，AO：BO=1：2，OB：OA=2故选B6如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，ACy轴于点E，BDy轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1k2的值是（）A6B4C3D2【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】由反比例函数的性质可知SAOE=SBOF=k1，SCOE=SDOF=k2，结合SAOC=SAOE+SCOE和SBOD=SDOF+SBOF可求得k1k2的值【解答】解：连接OA、OC、OD、OB，如图：由反比例函数的性质可知SAOE=SBO

9、F=|k1|=k1，SCOE=SDOF=|k2|=k2，SAOC=SAOE+SCOE，ACOE=×2OE=OE=（k1k2），SBOD=SDOF+SBOF，BDOF=×（EFOE）=×（3OE）=OE=（k1k2），由两式解得OE=1，则k1k2=2故选D二填空题（共6小题）7已知反比例函数y=，当x3时，y的取值范围是0y2【考点】G4：反比例函数的性质【分析】根据反比例函数的性质可以得到反比例函数y=，当x3时，y的取值范围【解答】解：y=，60，当x0时，y随x的增大而减小，当x=3时，y=2，当x3时，y的取值范围是0y2，故答案为：0y28函数y1=x与

10、y2=的图象如图所示，下列关于函数y=y1+y2的结论：函数的图象关于原点中心对称；当x2时，y随x的增大而减小；当x0时，函数的图象最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是【考点】G4：反比例函数的性质；F6：正比例函数的性质；R7：坐标与图形变化旋转【分析】结合图形判断各个选项是否正确即可【解答】解：由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；结合图象的2个分支可以看出，当x=2时，y=4，即在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；正确的有故答案为：9请写出一个过点（1，1），且与x轴

11、无交点的函数解析式：y=（答案不唯一）【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；F6：正比例函数的性质；H3：二次函数的性质【分析】反比例函数的图象与坐标轴无交点【解答】解：反比例函数图象与坐标轴无交点，且反比例函数系数k=1×1=1，所以反比例函数y=（答案不唯一）符合题意故答案可以是：y=（答案不唯一）10如图，反比例函数y=的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为4【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义【分析】可设D点坐标为（x，y），则可表示出B点坐标，从而可表示出矩形OABC的面积，利用xy=2可求得答案【解答】解：设D（x，y），反比例

12、函数y=的图象经过点D，xy=2，D为AB的中点，B（x，2y），OA=x，OC=2y，S矩形OABC=OAOC=x2y=2xy=2×2=4，故答案为：411已知A，B两点分别在反比例函数y=（m0）和y=（m）的图象上，若点A与点B关于x轴对称，则m的值为1【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标【分析】设A（a，b），则B（a，b），将它们的坐标分别代入各自所在的函数解析式，通过方程来求m的值【解答】解：设A（a，b），则B（a，b），依题意得：，所以=0，即5m5=0，解得m=1故答案是：112如图，直线y=x与x，y轴分别交于点A，B，与

13、反比例函数y=的图象在第二象限交于点C，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D若AD=AC，则点D的坐标为（3，2）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】过C作CEx轴于E，求得A（3，0），B（0，），解直角三角形得到OAB=30°，求得CAE=30°，设D（3，），得到AD=，AC=，于是得到C（3+，），列方程即可得到结论【解答】解：过C作CEx轴于E，直线y=x与x，y轴分别交于点A，B，A（3，0），B（0，），tanOAB=，OAB=30°，CAE=30°，设D（3，），ADx轴，AD=，AD=AC，AC=，CE=，AE=，

14、C（3+，），C在反比例函数y=的图象上，（3+）（）=k，k=6，D（3，2），故答案为：（3，2）三解答题（共7小题）13【探究函数y=x+的图象与性质】（1）函数y=x+的自变量x的取值范围是x0；（2）下列四个函数图象中函数y=x+的图象大致是C；（3）对于函数y=x+，求当x0时，y的取值范围请将下列的求解过程补充完整解：x0y=x+=（）2+（）2=（）2+4（）20y4拓展运用（4）若函数y=，则y的取值范围y1或y11【考点】G4：反比例函数的性质；F5：一次函数的性质；H3：二次函数的性质【分析】根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可【解答】解：（1）函

15、数y=x+的自变量x的取值范围是x0；（2）函数y=x+的图象大致是C；（3）解：x0y=x+=（）2+（）2=（）2+4（）20y4（4）当x0，y=x+5（）2+（）25=（）2+1（）20，y1x0，y=x+5（）2+（）2+5=（）211=（）20，y11故答案为：x0，C，4，4，y1或y11，14已知反比例函数y=（k0）的图象经过点B（3，2），点B与点C关于原点O对称，BAx轴于点A，CDx轴于点D（1）求这个反比函数的解析式；（2）求ACD的面积【考点】G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；R7：坐标与图形变化旋转【分析】（1）根据待定系数法，

16、可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案【解答】解：（1）将B点坐标代入函数解析式，得=2，解得k=6，反比例函数的解析式为y=；（2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（3，2）由BAx轴于点A，CDx轴于点D，得A（3，0），D（3，0）SACD=ADCD= 3（3）×|2|=615在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（3，5）与（5，3）是一对“互换点”（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达

17、式（用含m、n的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，当ab0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=1或q=2，将这一对“互换点”代入

18、y=x2+bx+c得，于是得到结论【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，当ab0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c0）则有解得，直线MN的表达式为y=x+m+n；（3）设点A（p，q），则，直线AB经过点P（，），由（2）得，p+q=1，解并检验得：p=2或p=1，q=1或q=2，这一对“互换点”是（2，1）和（1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，解得，此抛物线的表达式为y=x22x116已

19、知反比例函数y=（k为常数）（1）若点P1（，y1）和点P2（，y2）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性质比较y1和y2的大小；（2）设点P（m，n）（m0）是其图象上的一点，过点P作PMx轴于点M若tanPOM=2，PO=（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+0的解集【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；T7：解直角三角形【分析】（1）先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再根据P1、P2两点的横坐标判断出两点所在的象限，故可得出结论（2）根据题意求得n=2m，根据勾股定理求得m=1，n=2，得到P（1，2），即可得到k21=2，即可求得

20、k的值，然后分两种情况借助反比例函数和正比例函数图象即可求得【解答】解：（1）k210，反比例函数y=在每一个象限內y随x的增大而增大，0，y1y2；（2）点P（m，n）在反比例函数y=的图象上，m0，n0，OM=m，PM=n，tanPOM=2，=2，n=2m，PO=，m2+（n）2=5，m=1，n=2，P（1，2），k21=2，解得k=±1，当k=1时，则不等式kx+0的解集为：x或0x；当k=1时，则不等式kx+0的解集为：x017已知函数y=kx+b，y=，b、k为整数且|bk|=1（1）讨论b，k的取值（2）分别画出两种函数的所有图象（不需列表）（3）求y=kx+b与y=的交

21、点个数【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）根据整数的定义，以及绝对值的性质分类讨论即可求解；（2）根据一次函数与反比例函数的作法画出图形即可求解；（3）根据函数图象分两种情况：当k=1时；当k=1时；进行讨论即可求解【解答】解：（1）b、k为整数且|bk|=1，b=1，k=1；b=1，k=1；b=1，k=1；b=1，k=1；（2）如图所示：（3）当k=1时，y=kx+b与y=的交点个数为4个；当k=1时，y=kx+b与y=的交点个数为4个18如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D（1）直接写出一次函数

22、y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x0）的表达式；（2）求证：AD=BC【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=2×4=8，反比例函数的解析式为y=，将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，B（8，1），将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，一次函数解析式为y=x+5；（2）直线AB的解析式为y=x+5，C（10，

23、0），D（0，5），如图，过点A作AEy轴于E，过点B作BFx轴于F，E（0，4），F（8，0），AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，在RtADE中，根据勾股定理得，AD=，在RtBCF中，根据勾股定理得，BC=，AD=BC19某公司从2014年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：年 度2013201420152016投入技改资金x（万元）2.5344.5产品成本y（万元/件）7.264.54（1）请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；（2）按照这种变化规律，若2017年已投入资金5万元

24、预计生产成本每件比2016年降低多少万元？若打算在2017年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需要投入技改资金多少万元？（结果精确到0.01万元）【考点】GA：反比例函数的应用【分析】（1）根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；（2）直接把x=5万元代入函数解析式即可求解；直接把y=3.2万元代入函数解析式即可求解；【解答】解：（1）设其为一次函数，解析式为y=kx+b，当x=2.5时，y=7.2；当x=3时，y=6，解得k=2.4，b=13.2一次函数解析式为y=2.4x+13.2把x=4时，y=4.5代入此函数解析式，左边右边其不是一次函数同理其也不是二次函数设其为反比例函数解析式为y=当x=2.5时，y=7.2，可得：7.2=，解得k=18反比例函数是y=验证：当x=3时，y=6，符合反比例函数同理可验证x=4时，y=4.5，x=4.5时，y=4成立可用反比例函数y=表示其变化规律（2）当x=5万元时，y=3.643.6=0.4（万元），生产成本每件比2016年降低0.4万元当y=3.2万元时，3.2=，x=5.625，5.6254.5=1.1251.13（万元）还约需投入1.13万元