《初中数学总复习资料》2018年中考数学一轮复习20讲（专题知识归纳＋2017年真题解析）：第20讲图形的相似 知识归纳＋真题解析（2017年真题）.doc

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1、【知识归纳】（一）1成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比 另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段2比例线段的基本性质若，则 ；当bc时， ，那么b是a，d的比例中项3线段的黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且0.618，则C点叫做线段AB的 4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（二）1相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形相似图形的性质：对应角 ，对应边的比 2相似三角形的判定(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 ，那么这两个三角形相似；(2)如果一个三角

2、形的两条边与另一个三角形的两条边对应 ，且夹角 ，那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 ，那么这两个三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形 3.相似三角形的性质(1)相似三角形周长的比等于 .(2)相似三角形面积的比等于 .(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于 .4.相似多边形的性质(1)相似多边形周长的比等于 .(2)相似多边形面积的比等于 .5.位似图形（1）定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做 ，对应边的比叫做 位似是一种特殊的相似.（2）性质

3、(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于 ；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 点；(3)位似图形对应边 ；(4)位似图形对应角 .【知识归纳答案】（一）1成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段2比例线段的基本性质若，则ad=bc；当bc时，b2=ad，那么b是a，d的比例中项3线段的黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，如果AC是线段AB和BC的比例中项，且0.618，则C点叫做线段AB的黄金分割点4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。（二）1相似图形定

4、义：形状相同的图形称为相似图形相似图形的性质：对应角相等，对应边的比成比例2相似三角形的判定(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3.相似三角形的性质(1)相似三角形周长的比等于相似比.(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比

5、.4.相似多边形的性质(1)相似多边形周长的比等于相似比.(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方.5.位似图形（1）定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比位似是一种特殊的相似.（2）性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 一 点；(3)位似图形对应边成比例；(4)位似图形对应角相等.真题解析一选择题（共9小题）1已知2x=3y（y0），则下面结论成立的是（）A =B =C =D =【考点】S1：比例的性质【分析】根据等式的性质，可得答案【解答】解：A、两边都除以

6、2y，得=，故A符合题意；B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；C、两边都除以2y，得=，故C不符合题意；D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；故选：A2矩形的长与宽分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形的是（）Aa=4，b=+2Ba=4，b=2Ca=2，b=+1Da=2，b=1【考点】S3：黄金分割；LB：矩形的性质【分析】根据黄金矩形的定义判断即可【解答】解：宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，=，a=2，b=1，故选D3若ABC的每条边长增加各自的10%得ABC，则B的度数与其对应角B的度数相比（）A增加了10%B减少了10%C增加了（1+10%）D没有改变【考点】S5：相似图形【分析】根

7、据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答【解答】解：ABC的每条边长增加各自的10%得ABC，ABC与ABC的三边对应成比例，ABCABC，B=B故选D4如图，已知ABCDEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是（）A =B =C =D =【考点】S7：相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的性质判断即可【解答】解：ABCDEF，=，A不一定成立；=1，B不成立；=，C不成立；=，D成立，故选：D5已知ABCDEF，且相似比为1：2，则ABC与DEF的面积比为（）A1：4B4：1C1：2D2：1【考点】S7：相似三角形的性质【分析

8、】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可【解答】解：ABCDEF，且相似比为1：2，ABC与DEF的面积比为1：4，故选A6如图，在ABC中，A=78°，AB=4，AC=6，将ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）ABCD【考点】S8：相似三角形的判定【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确D、两三角形对应边成比例且

9、夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C7如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F是AD边上的两个动点，且AE=FD，连接BE、CF、BD，CF与BD交于点G，连接AG交BE于点H，连接DH，下列结论正确的个数是（）ABGFDG HD平分EHG AGBE SHDG：SHBG=tanDAG 线段DH的最小值是22A2B3C4D5【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形【分析】首先证明ABEDCF，ADGCDG（SAS），AGBCGB，利用全等三角形的性质，等高模型、三边关系一一判断即可【解答】解：四边形ABCD是正方形，A

10、B=CD，BAD=ADC=90°，ADB=CDB=45°，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），ABE=DCF，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），DAG=DCF，ABE=DAG，DAG+BAH=90°，BAE+BAH=90°，AHB=90°，AGBE，故正确，同法可证：AGBCGB，DFCB，CBGFDG，ABGFDG，故正确，SHDG：SHBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tanFCD，又DAG=FCD，SHDG：SHBG=tanFCD，tanDAG，故正确取AB的中点O，连接OD、OH，正方形的边长为4，AO=OH=

11、×4=2，由勾股定理得，OD=2，由三角形的三边关系得，O、D、H三点共线时，DH最小，DH最小=22无法证明DH平分EHG，故错误，故正确，故选C8“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A1.25尺B57.5尺C6.25尺D56.5尺【考点】S9：相似三角形的判定与性质【分析】根据题意可知ABFADE，根据相似三角形的性质可求AD，进一步得到井深【解答】解：依题意有ABFADE，AB：AD=BF：DE，即5：AD=0.4：5，解得AD=62.5，BD=ADAB=

12、62.55=57.5尺故选：B9如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：AQDP；OA2=OEOP；SAOD=S四边形OECF；当BP=1时，tanOAE=，其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；T7：解直角三角形【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC，DAB=ABC=90°，根据全等三角形的性质得到P=Q，根据余角的性质得到AQDP；故正确；根据相似三角形的性质得到AO2=ODOP，由ODOE，得到OA

13、2OEOP；故错误；根据全等三角形的性质得到CF=BE，DF=CE，于是得到SADFSDFO=SDCESDOF，即SAOD=S四边形OECF；故正确；根据相似三角形的性质得到BE=，求得QE=，QO=，OE=，由三角函数的定义即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，AD=BC，DAB=ABC=90°，BP=CQ，AP=BQ，在DAP与ABQ中，DAPABQ，P=Q，Q+QAB=90°，P+QAB=90°，AOP=90°，AQDP；故正确；DOA=AOP=90°，ADO+P=ADO+DAO=90°，DAO=P，DAOAPO，AO

14、2=ODOP，AEAB，AEAD，ODOE，OA2OEOP；故错误；在CQF与BPE中，CQFBPE，CF=BE，DF=CE，在ADF与DCE中，ADFDCE，SADFSDFO=SDCESDOF，即SAOD=S四边形OECF；故正确；BP=1，AB=3，AP=4，AOPDAP，BE=，QE=，QOEPAD，QO=，OE=，AO=5QO=，tanOAE=，故正确，故选C二填空题（共6小题）10如图，直线abc，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为6【考点】S4：平行线分线段成比例【分析】由abc，可得=，由此即可解决问题【解答

15、】解：abc，=，=，EF=6，故答案为611已知ABCD，AD与BC相交于点O若=，AD=10，则AO=4【考点】S4：平行线分线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可【解答】解：ABCD，=，即=，解得，AO=4，故答案为：412如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】过O点作OMAD，求出AM和MO的长，利用AEFMEO，得到关于AF的比例式，求出AF的长即可【解答】解：过O点作OMAD，四边形ABCD是

16、平行四边形，OB=OD，OM是ABD的中位线，AM=BM=AB=，OM=BC=4，AFOM，AEFMEO，=，=，AF=，故答案为13如图，在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则ADE与ABC的面积比SADE：SABC=1：4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理得到DEBC，DE=BC，得到ADEABC，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：D、E分别是边AB、AC的中点，DEBC，DE=BC，ADEABC，SADE：SABC=（）2=，故答案为：1：414如图，在ABCD中，B=30°，AB=AC，O是两条对角线的交点，

17、过点O作AC的垂线分别交边AD，BC于点E，F，点M是边AB的一个三等分点，则AOE与BMF的面积比为3：4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质【分析】作MHBC于H，设AB=AC=m，则BM=m，MH=BM=m，根据平行四边形的性质求得OA=OC=AC=m，解直角三角形求得FC=m，然后根据ASA证得AOECOF，证得AE=FC=m，进一步求得OE=AE=m，从而求得SAOE=m2，作ANBC于N，根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得BC=m，进而求得BF=BCFC=mm=m，分别求得AOE与BMF的面积，即可求得结论【解答】解：设AB=AC=m，则BM=m，O是

18、两条对角线的交点，OA=OC=AC=m，B=30°，AB=AC，ACB=B=30°，EFAC，cosACB=，即cos30°=，FC=m，AEFC，EAC=FCA，又AOE=COF，AO=CO，AOECOF，AE=FC=m，OE=AE=m，SAOE=OAOE=××m=m2，作ANBC于N，AB=AC，BN=CN=BC，BN=AB=m，BC=m，BF=BCFC=mm=m，作MHBC于H，B=30°，MH=BM=m，SBMF=BFMH=×m×m=m2，=故答案为3：415如图，在ABC中，M、N分别为AC，BC的中点若

19、SCMN=1，则S四边形ABNM=3学 科 网 【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KX：三角形中位线定理【分析】证明MN是ABC的中位线，得出MNAB，且MN=AB，证出CMNCAB，根据面积比等于相似比平方求出CMN与CAB的面积比，继而可得出CMN的面积与四边形ABNM的面积比最后求出结论【解答】解：M，N分别是边AC，BC的中点，MN是ABC的中位线，MNAB，且MN=AB，CMNCAB，=（）2=，=，S四边形ABNM=3SCMN=3×1=3故答案为：3三解答题（共8小题）16（1）计算：÷；（2）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且

20、EFG=90°求证：EBFFCG【考点】S8：相似三角形的判定；6A：分式的乘除法；LE：正方形的性质【分析】（1）先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）先根据正方形的性质得B=C=90°，再利用等角的余角相等得BEF=CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定EBFFCG【解答】（1）解：原式=；（2）证明：四边形ABCD为正方形，B=C=90°，BEF+BFE=90°，EFG=90°，BFE+CFG=90°，BEF=CFG，EBFFCG17如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB

21、上，AGBC于点G，AFDE于点F，EAF=GAC（1）求证：ADEABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质【分析】（1）由于AGBC，AFDE，所以AFE=AGC=90°，从而可证明AED=ACB，进而可证明ADEABC；（2）ADEABC，又易证EAFCAG，所以，从而可知【解答】解：（1）AGBC，AFDE，AFE=AGC=90°，EAF=GAC，AED=ACB，EAD=BAC，ADEABC，（2）由（1）可知：ADEABC，=由（1）可知：AFE=AGC=90°，EAF=GAC，EAFCAG，=18如图，AB是O的直径

22、，PB与O相切于点B，连接PA交O于点C，连接BC（1）求证：BAC=CBP；（2）求证：PB2=PCPA；（3）当AC=6，CP=3时，求sinPAB的值【考点】S9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质；T7：解直角三角形【分析】（1）根据已知条件得到ACB=ABP=90°，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解：（1）AB是O的直径，PB与O相切于点B，ACB=ABP=90°，A+ABC=ABC+CBP=90°，BAC=CBP；（2）PCB=ABP=90°，P=P

23、，ABPBCP，PB2=PCPA；（3）PB2=PCPA，AC=6，CP=3，PB2=9×3=27，PB=3，sinPAB=19如图，ABC内接于O，CD平分ACB交O于D，过点D作PQAB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD（1）求证：PQ是O的切线；（2）求证：BD2=ACBQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，且tanPCD=，求O的半径【考点】S9：相似三角形的判定与性质；B2：分式方程的解；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到ABD=BDQ=ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据

24、圆周角定理得到OBD=ODB，O=2DCB=2BDQ，根据三角形的内角和得到2ODB+2O=180°，于是得到ODB+O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；（3）根据题意得到ACBQ=4，得到BD=2，由（1）知PQ是O的切线，由切线的性质得到ODPQ，根据平行线的性质得到ODAB，根据三角函数的定义得到BE=3DE，根据勾股定理得到BE=，设OB=OD=R，根据勾股定理即可得到结论【解答】（1）证明：PQAB，ABD=BDQ=ACD，ACD=BCD，BDQ=ACD，如图1，连

25、接OB，OD，交AB于E，则OBD=ODB，O=2DCB=2BDQ，在OBD中，OBD+ODB+O=180°，2ODB+2O=180°，ODB+O=90°，PQ是O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是O的切线，BDQ=DCB=ACD=BCD=BAD，AD=BD，DBQ=ACD，BDQACD，=，BD2=ACBQ；（3）解：方程x+=m可化为x2mx+4=0，AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根，ACBQ=4，由（2）得BD2=ACBQ，BD2=4，BD=2，由（1）知PQ是O的切线，ODPQ，PQAB，ODAB，由（1）得PCD=ABD，

26、tanPCD=，tanABD=，BE=3DE，DE2+（3DE）2=BD2=4，DE=，BE=，设OB=OD=R，OE=R，OB2=OE2+BE2，R2=（R）2+（）2，解得：R=，O的半径为20如图，已知RtABC，C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的O交AB于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质【分析】（1）求出OED=BCA=90°，根据切线的判定得出即可；（2）求出BECBCA，得出比例式，代入求出即可【解答】（1）证明：连接OE、EC，AC是O的直径，A

27、EC=BEC=90°，D为BC的中点，ED=DC=BD，1=2，OE=OC，3=4，1+3=2+4，即OED=ACB，ACB=90°，OED=90°，DE是O的切线；学 科 网（2）解：由（1）知：BEC=90°，在RtBEC与RtBCA中，B=B，BEC=BCA，BECBCA，=，BC2=BEBA，AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，BC=6，62=2x3x，解得：x=，即AE=21（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AEBF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将 （1）中的正方形ABCD改为矩形AB

28、CD，AB=2，BC=3，AEBF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质【分析】（1）根据正方形的性质，可得ABC与C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得ABM与BAM的关系，根据同角的余角相等，可得BAM与CBF的关系，根据ASA，可得ABEBCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到ABC=C，由余角的性质得到BAM=CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC=C，AB=BC

29、AEBF，AMB=BAM+ABM=90°，ABM+CBF=90°，BAM=CBF在ABE和BCF中，ABEBCF（ASA），AE=BF；（2）解：AE=BF，理由：四边形ABCD是矩形，ABC=C，AEBF，AMB=BAM+ABM=90°，ABM+CBF=90°，BAM=CBF，ABEBCF，=，AE=BF学 科 网22如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知ABC三个顶点分别为A（1，2）、B（2，1）、C（4，5）（1）画出ABC关于x对称的A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出A2B2C2，使A2B2C2与ABC位似

30、，且位似比为2，并求出A2B2C2的面积【考点】SD：作图位似变换；P7：作图轴对称变换【分析】（1）画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题；（2）连接OB延长OB到B2，使得OB=BB2，同法可得A2、C2，A2B2C2就是所求三角形；【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1就是所求三角形（2）如图所示，A2B2C2就是所求三角形如图，分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，A（1，2），B（2，1），C（4，5），A2B2C2与ABC位似，且位似比为2，A2（2，4），B2（4，2），C2（8，10），=8×10×

31、6×2×4×8×6×10=2823如图，在平面直角坐标系中，已知ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，4）（1）请在图中，画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将ABC缩小为原来的，得到A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出A2B2C2，并求出A2C2B2的正弦值【考点】SD：作图位似变换；Q4：作图平移变换；T7：解直角三角形【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案【解答】解：（1）如图所示：A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：A2B2C2，即为所求，由图形可知，A2C2B2=ACB，过点A作ADBC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC=2，sinACB=，即sinA2C2B2=