《初中数学总复习资料》2018年中考数学复习难题突破专题十讲：2018年中考数学复习难题突破专题七：图形变换综合探究题.doc

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1、难题突破专题七图形变换综合探究题 图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法2结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法3注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等类型1平移变换问题例题：（2017湖南岳阳）问题背景：已知EDF的顶点D在ABC的边AB所在直线上（不与A，B重合），DE交AC所在直线于点M，DF交BC所在直线于点N，记ADM的面积为S1，BND的面积为S

2、2（1）初步尝试：如图，当ABC是等边三角形，AB=6，EDF=A，且DEBC，AD=2时，则S1S2=12；（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点D沿AB平移，使AD=4，再将EDF绕点D旋转至如图所示位置，求S1S2的值；（3）延伸拓展：当ABC是等腰三角形时，设B=A=EDF=（）如图，当点D在线段AB上运动时，设AD=a，BD=b，求S1S2的表达式（结果用a，b和的三角函数表示）（）如图，当点D在BA的延长线上运动时，设AD=a，BD=b，直接写出S1S2的表达式，不必写出解答过程【分析】（1）首先证明ADM，BDN都是等边三角形，可得S1=22=，S2=（4）2=4，由此即可解决

3、问题；（2）如图2中，设AM=x，BN=y首先证明AMDBDN，可得=，推出=，推出xy=8，由S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，可得S1S2=xy=xy=12；（3）如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证AMDBDN，可得xy=ab，由S1=ADAMsin=axsin，S2=DBBNsin=bysin，可得S1S2=（ab）2sin2（）结论不变，证明方法类似；【解答】解：（1）如图1中，ABC是等边三角形，AB=CB=AC=6，A=B=60°，DEBC，EDF=60°，BND=EDF=60°，BDN=ADM=60

4、°，ADM，BDN都是等边三角形，S1=22=，S2=（4）2=4，S1S2=12，故答案为12（2）如图2中，设AM=x，BN=yMDB=MDN+NDB=A+AMD，MDN=A，AMD=NDB，A=B，AMDBDN，=，=，xy=8，S1=ADAMsin60°=x，S2=DBsin60°=y，S1S2=xy=xy=12（3）如图3中，设AM=x，BN=y，同法可证AMDBDN，可得xy=ab，S1=ADAMsin=axsin，S2=DBBNsin=bysin，S1S2=（ab）2sin2如图4中，设AM=x，BN=y，同法可证AMDBDN，可得xy=ab，S1=

5、ADAMsin=axsin，S2=DBBNsin=bysin，S1S2=（ab）2sin2【点评】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积公式锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题类型2折叠问题例题：（2017江苏徐州）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图），点O为其交点（1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由；（2）如图，若P，N分别为BE，BC上的动点当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；如图，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+

6、PD的最小值=【考点】RB：几何变换综合题【分析】（1）根据等边三角形的性质得到BAO=ABO=OBD=30°，得到AO=OB，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）如图，作点D关于BE的对称点D，过D作DNBC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，根据线段垂直平分线的想知道的BD=BD，推出BDD是等边三角形，得到BN=BD=，于是得到结论；（3）如图，作Q关于BC的对称点Q，作D关于BE的对称点D，连接QD，即为QN+NP+PD的最小值根据轴对称的定义得到QBN=QBN=30°，QBQ=60°，得到BQQ为等边三角形，BDD为等边三角形，解直角三

7、角形即可得到结论【解答】解：（1）AO=2OD，理由：ABC是等边三角形，BAO=ABO=OBD=30°，AO=OB，BD=CD，ADBC，BDO=90°，OB=2OD，OA=2OD；（2）如图，作点D关于BE的对称点D，过D作DNBC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，BE垂直平分DD，BD=BD，ABC=60°，BDD是等边三角形，BN=BD=，PBN=30°，=，PB=；（3）如图，作Q关于BC的对称点Q，作D关于BE的对称点D，连接QD，即为QN+NP+PD的最小值根据轴对称的定义可知：QBN=QBN=30°，QBQ=60

8、°，BQQ为等边三角形，BDD为等边三角形，DBQ=90°，在RtDBQ中，DQ=QN+NP+PD的最小值=，故答案为：同步训练：（2017.江苏宿迁）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形ABCE，点B、C的对应点分别为点B、C（1）当BC恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若BC分别交边AD，CD于点F，G，且DAE=22.5°（如图2），求DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C运动的路径长【考点】LO：四边形综合题【分析】（1）如图1中，设CE

9、=EC=x，则DE=1x，由ADBDEC，可得=，列出方程即可解决问题；（2）如图2中，首先证明ADB，DFG都是等腰直角三角形，求出DF即可解决问题；（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，求出圆心角、半径即可解决问题【解答】解：（1）如图1中，设CE=EC=x，则DE=1x，ADB+EDC=90°，BAD+ADB=90°，BAD=EDC，B=C=90°，AB=AB=1，AD=，DB=，ADBDEC，=，=，x=2CE=2（2）如图2中，BAD=B=D=90°，DAE=22.5°，EAB=EAB=67.5°，BAF=BFA=45&

10、#176;，DFG=AFB=DGF=45°，DF=FG，在RtABF中，AB=FB=1，AF=AB=，DF=DG=，SDFG=（）2=（3）如图3中，点C的运动路径的长为的长，在RtADC中，tanDAC=，DAC=30°，AC=2CD=2，CAD=DAC=30°，CAC=60°，的长=类型3旋转变换问题例题：（2017内蒙古赤峰）OPA和OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点（1）当AOB=90°时如图1，连接PE、QE，直接写出EP与EQ的大小关系；（2）将OQB绕点O逆时针方向旋转，当A

11、OB是锐角时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明（3）仍将OQB绕点O旋转，当AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使ABG为等边三角形如图3，求AOB的度数【考点】RB：几何变换综合题【分析】（1）先判断出点P，O，Q在同一条直线上，再判断出APEBFE，最后用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；（2）先判断出CE=DQ，PC=DE，进而判断出EPCQED即可得出结论；（3）先判断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出GBO=GOB，GOA=GAO，即可得出结论【解答】解：（1）如图1，延长PE，QB交于点F，APO和BQO是等

12、腰直角三角形，APO=BQO=90°，AOP=BOQ=45°，AOB=90°，AOP+AOB+BOQ=180°，点P，O，Q在同一条直线上，APO=BQO=90°，APBQ，PAE=FBE，点E是AB中点，AE=BE，AEP=BEF，APEBFE，PE=EF，点E是RtPQF的斜边PF的中点，EP=EQ；（2）成立，证明：点C，E分别是OA，AB的中点，CEOB，CE=OB，DOC=ECA，点D是RtOQB斜边中点，DQ=OB，CE=DQ，同理：PC=DE，DOC=BDE，ECA=BDE，PCE=EDQ，EPCQED，EP=EQ；（3）如图2，

13、连接GO，点D，C分别是OB，OA的中点，APO与QBO都是等腰直角三角形，CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，GB=GO=GA，GBO=GOB，GOA=GAO，设GOB=x，GOA=y，x+x+y+y+60°=360°x+y=150°，AOB=150°同步训练：（2017黑龙江佳木斯）已知：AOB和COD均为等腰直角三角形，AOB=COD=90°连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH（1）如图1所示，易证：OH=AD且OHAD（不需证明）（2）将COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的

14、结论【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形【分析】（1）只要证明AODBOC，即可解决问题；（2）如图2中，结论：OH=AD，OHAD延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，由BEOODA即可解决问题；如图3中，结论不变延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G由BEOODA即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，OAB与OCD为等腰直角三角形，AOB=COD=90°，OC=OD，OA=OB，在AOD与BOC中，AODBOC（SAS），ADO=BCO，OAD=OBC，点H为线段BC的中点，OH=HB，OBH=HOB=OAD，又

15、因为OAD+ADO=90°，所以ADO+BOH=90°，所以OHAD（2）解：结论：OH=AD，OHAD，如图2中，延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，易证BEOODAOE=AD OH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAODAO+AOH=EOB+AOH=90°，OHAD如图3中，结论不变延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G易证BEOODAOE=AD OH=OE=AD由BEOODA，知EOB=DAODAO+AOF=EOB+AOG=90°，AGO=90°OHAD专 题 训 练1. （2017贵州安顺）如图，一块含有3

16、0°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到ABC的位置，若BC=12cm，则顶点A从开始到结束所经过的路径长为16cm【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质【分析】由题意知ACA=BAC+ABC=120°、AC=2BC=24cm，根据弧长公式可求得点A所经过的路径长，即以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°所对弧长【解答】解：BAC=30°，ABC=90°，且BC=12，ACA=BAC+ABC=120°，AC=2BC=24cm，由题意知点A所经过的路径是以点C为圆心、CA为半径的圆中圆心角为120°

17、所对弧长，其路径长为=16（cm），故答案为：162. （2017齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5，2），C（2，1）（1）画出ABC关于y轴对称图形A1B1C1；（2）画出将ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到的A2B2C2；（3）求（2）中线段OA扫过的图形面积【考点】R8：作图旋转变换；MO：扇形面积的计算；P7：作图轴对称变换【分析】（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形A2B2C2即可；（3）利用扇形的面积公式即可得出结论【解答】解：（

18、1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求；（3）OA=5，线段OA扫过的图形面积=3. （2017广西）如图，点P在等边ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sinPAP'的值为【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形【分析】连接PP，如图，先利用旋转的性质得CP=CP=6，PCP=60°，则可判定CPP为等边三角形得到PP=PC=6，再证明PCBPCA得到PB=PA=10，接着利用勾股定理的逆定理证明APP为直角三角形，APP=9

19、0°，然后根据正弦的定义求解【解答】解：连接PP，如图，线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，CP=CP=6，PCP=60°，CPP为等边三角形，PP=PC=6，ABC为等边三角形，CB=CA，ACB=60°，PCB=PCA，在PCB和PCA中，PCBPCA，PB=PA=10，62+82=102，PP2+AP2=PA2，APP为直角三角形，APP=90°，sinPAP=故答案为4. （2017张家界）如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角

20、形PCE的面积为610【考点】R2：旋转的性质；LE：正方形的性质【分析】根据旋转的想知道的PB=BC=AB，PBC=30°，推出ABP是等边三角形，得到BAP=60°，AP=AB=2，解直角三角形得到CE=22，PE=42，过P作PFCD于F，于是得到结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，ABC=90°，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，PB=BC=AB，PBC=30°，ABP=60°，ABP是等边三角形，BAP=60°，AP=AB=2，AD=2，AE=4，DE=2，CE=22，PE=42，过P作PFCD于F，

21、PF=PE=23，三角形PCE的面积=CEPF=×（22）×（42）=610，故答案为：6105. （2017甘肃天水）ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90°，DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合，将DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q（1）如图，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQE；（2）如图，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角

22、形；R2：旋转的性质【分析】（1）由ABC是等腰直角三角形，易得B=C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中点，利用SAS，可证得：BPECQE；（2）由ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得B=C=DEF=45°，然后利用三角形的外角的性质，即可得BEP=EQC，则可证得：BPECEQ；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，即可得BC的长，【解答】（1）证明：ABC是等腰直角三角形，B=C=45°，AB=AC，AP=AQ，BP=CQ，E是BC的中点，BE=CE，在BPE和CQE中，BPECQE（SAS）；（2）解：连接PQ，ABC和

23、DEF是两个全等的等腰直角三角形，B=C=DEF=45°，BEQ=EQC+C，即BEP+DEF=EQC+C，BEP+45°=EQC+45°，BEP=EQC，BPECEQ，=，BP=2，CQ=9，BE=CE，BE2=18，BE=CE=3，BC=66. （2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若ACB=ACD=ABD=ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，

24、故AC=CE，所以AC=BC+CD小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60°”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明（2）小华提出：如图5，如果把“ACB=ACD=ABD=ADB=60°”改为“ACB=ACD=ABD=ADB=”

25、，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明【分析】（1）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再得出AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断ADE=ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出ADE=ABC，即可得出ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，ABD=ADB=45°，AB=AD，BAD=180°ABDADB=90°，ACB=ACD=45°，ACB+A

26、CD=45°，BAD+BCD=180°，ABC+ADC=180°，ADC+ADE=180°，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），ACB=AED=45°，AC=AE，ACE是等腰直角三角形，CE=AC，CE=CE+DE=CD+BC，BC+CD=AC；（2）BC+CD=2ACcos理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，ABD=ADB=，AB=AD，BAD=180°ABDADB=180°2，ACB=ACD=，ACB+ACD=2，BAD+BCD=180°，ABC+ADC=180°，ADC+ADE=180°，ABC=ADE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），ACB=AED=，AC=AE，AEC=，过点A作AFCE于F，CE=2CF，在RtACF中，ACD=，CF=ACcosACD=ACcos，CE=2CF=2ACcos，CE=CD+DE=CD+BC，BC+CD=2ACcos【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目