《初中数学总复习资料》2018届中考数学提升练习：专题(六) 一次函数与反比例函数的综合.doc

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1、专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合 【经典母题】 如图 Z61 是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图，图中的曲线是一段反比例函数的图象，端点 A 的纵坐标为 80，另一端点 B 的坐标为 B(80，10)求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围 【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表达式后，代入点 B 的坐标即可求得反比例函数的表达式 解：设反比例函数的表达式为 ykx， 一个端点 B 的坐标为(80，10)， k8010800， 反比例函数的表达式为 y800 x. 端点A 的纵坐标为 80， 80800 x，x10， 点 A 的横坐标为 10， 自变量的取值范围为 10 x80

2、. 【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法，设 ykx，把已知一点代入函数表达式求出 k 的值即可 【中考变形】 1已知正比例函数 yax 与反比例函数 ybx的图象有一个公共点 A(1，2) (1)求这两个函数的表达式； (2)在图 Z62 中画出草图，根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时 x 的取值范围 图 Z61 图 Z62 中考变形 1 答图 解：(1)把 A(1，2)代入 yax，得 2a， 即 y2x； 把 A(1，2)代入ybx，得 b2，即 y2x； (2)画草图如答图所示 由图象可知，当 x1 或1x0 时，正比例函数值大于反比例函数值 2如图 Z63，已知一次

3、函数 yk1xb 与反比例函数 yk2x的图象交于第一象限内P12，8 ，Q(4，m)两点，与 x 轴交于 A 点 (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点 P 关于原点的对称点 P的坐标； (3)求PAO 的正弦值 图 Z63 【解析】将 P 点坐标代入反比例函数关系式，即可求出反比例函数表达式；将 Q点代入反比例函数关系式，即可求出 m 的值；将 P，Q 两个点的坐标分别代入一次函数关系式，即可求出一次函数的表达式 根据平面直角坐标系中，两点关于原点对称，则横、纵坐标互为相反数，可以直接写出点 P的坐标； 过点 P作 PDx 轴，垂足为 D，可构造出AD，又点 A 在一次函数的图象

4、上，可求出点 A 坐标，得到 OA 长度，利用 P 点坐标，可以求出 PD，PA，即可得到PAO 的正弦值 解：(1)点 P 在反比例函数的图象上， 把点 P12，8 代入 yk2x，得 k24， 反比例函数的表达式为 y4x，Q 点坐标为(4，1)来源:学科网 ZXXK 把 P12，8 ，Q(4，1)分别代入 yk1xb 中， 得812k1b，14k1b，解得k12，b9. 一次函数的表达式为 y2x9； (2)P12，8 ； (3)如答图，过点 P作 PDx 轴，垂足为 D. P12，8 ， 中考变形 2 答图 OD12，PD8. 点 A 在 y2x9 的图象上， 点 A 坐标为92，0

5、，即 OA92， DA5，PAPD2DA2 89. sinPADPDPA8898 8989. sinPAO8 8989. 32017 成都如图 Z64，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y12x 与反比例函数 ykx的图象交于 A(a，2)，B 两点 (1)求反比例函数表达式和点 B 的坐标； (2)P 是第一象限内反比例函数图象上一点，过点 P 作 y 轴的平行线，交直线 AB 于点C，连结 PO，若POC 的面积为 3，求点 P 的坐标 图 Z64 中考变形 3 答图 解：(1)点 A(a，2)在正比例函数 y12x 图象上， 212a，a4， 点 A 坐标为(4，2) 又点

6、A 在反比例函数 ykx的图象上， kxy4(2)8， 反比例函数的表达式为 y8x. A，B 既在正比例函数图象上，又在反比例函数图象上， A，B 两点关于原点 O 中心对称， 点 B 的坐标为(4，2)； (2)如答图，设点 P 坐标为a，8a(a0)，PCy 轴，点 C 在直线 y12x 上， 点 C 的坐标为a，12a ， PC12a8aa2162a， SPOC12PCa12a2162aaa21643， 当a21643 时，解得 a 282 7， P2 7，4 77. 当a21643 时，解得 a2，P(2，4) 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为2 7，4 77，(2，4) 4如图

7、 Z65，一次函数 ykxb 与反比例函数 ymx的图象交于 A(1，4)，B(4，n)两点 (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式； (3)P 是 x 轴上的一个动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使得 PAPB 最小 图 Z65 解：(1)点 A(1，4)在函数 ymx上， mxy4，反比例函数的表达式为 y4x； (2)把 B(4，n)代入 y4x，4xy4n，得 n1， B(4，1)， 直线 ykxb 经过 A，B， 4kb，14kb，解得k1，b5， 一次函数的表达式为 yx5； (3)点 B 关于 x 轴的对称点为 B(4，1)， 设直线 AB的表达式为 yaxq，

8、 4aq，14aq，解得a53，q173， 直线 AB的表达式为 y53x173， 令 y0，解得 x175， 当点 P 的坐标为175，0 时，PAPB最小 52017 广安如图 Z66， 一次函数 ykxb 的图象与反比例函数 ymx的图象在第一象限交于点 A(4，2)，与 y 轴的负半轴交于点 B， 图 Z66 且 OB6. (1)求函数 ymx和 ykxb 的表达式 (2)已知直线 AB 与 x 轴相交于点 C.在第一象限内，求反比例函数 ymx的图象上一点P，使得 SPOC9. 解：(1)点 A(4，2)在反比例函数 ymx的图象上，来源:Z*xx*k.Com m428， 反比例函数

9、的表达式为 y8x. 点 B 在 y 轴的负半轴上，且 OB6， 点 B 的坐标为(0，6)， 把点 A(4，2)和点 B(0，6)代入 ykxb 中， 得4kb2，b6，解得k2，b6.来源:Z*xx*k.Com 一次函数的表达式为 y2x6； (2)设点 P 的坐标为n，8n(n0) 在直线 y2x6 上，当 y0 时，x3， 点 C 的坐标为(3，0)，即 OC3， SPOC1238n9，解得 n43. 点 P 的坐标为43，6 . 62017 黄冈如图 Z67，一次函数 y2x1 与反比例函数 ykx的图象有两个交点A(1，m)和 B，过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E；过点 B 作

10、 BDy 轴，垂足为 D，且点 D 的坐标为(0，2)，连结 DE. (1)求 k 的值； (2)求四边形 AEDB 的面积 图 Z67 中考变形 6 答图 解：(1)将点 A(1，m)代入一次函数 y2x1， 得2(1)1m，解得 m3. A 点的坐标为(1，3) 将 A(1，3)代入 ykx，得 k(1)33； (2)如答图，设直线 AB 与 y 轴相交于点 M，则点 M 的坐标为(0，1)， D(0，2)，则点 B 的纵坐标为2，代入反比例函数，得 DB32， MD3. 又A(1，3)，AEy 轴， E(1，0)，AE3. AEMD，AEMD. 四边形 AEDM 为平行四边形 S四边形A

11、EDBSAEDMSMDB 3112323214. 72016 金华如图 Z68，直线 y33x 3与 x，y 轴分别交于点 A，B，与反比例函数 ykx(k0)的图象交于点 C，D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E.来源:Zxxk.Com (1)求点 A 的坐标； (2)若 AEAC，求 k 的值； 试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称？并说明理由 图 Z68 中考变形 7 答图 解：(1)当 y0 时，得 033x 3，解得 x3. 点 A 的坐标为(3，0)； (2)如答图，过点 C 作 CFx 轴于点 F.设 AEACt，点 E 的坐标是(3，t)，则反

12、比例函数 ykx可表示为 y3tx. 直线 y33x 3交 y 轴于点 B， B(0， 3) 在 RtAOB 中，tanOABOBOA33， OAB30. 在 RtACF 中，CAF30， CF12t，AFAC cos3032t， 点 C 的坐标是332t，12t . 332t 12t3t， 解得 t10(舍去)，t22 3.来源:学科网 k3t6 3. 点 E 的坐标为()3，2 3 ， 设点 D 的坐标是x，33x 3 ， x33x 3 6 3，解得 x16(舍去)，x23， 点 D 的坐标是()3，2 3 ， 点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称 【中考预测】 如图 Z69，一次函

13、数 ykxb(k，b 为常数，k0)的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，且与反比例函数 ynx(n 为常数且 n0)的图象在第二象限交于点 C，CDx轴，垂足为 D，若 OB2OA3OD6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标； (3)直接写出不等式 kxbnx的解集 图 Z69 解：(1)OB2OA3OD6， OB6，OA3，OD2， CDDA，DCOB， OBDCAOAD，6DC35， DC10， C(2，10)，B(0，6)，A(3，0)， 代入一次函数 ykxb， 得b6，3kb0，解得k2，b6， 一次函数的表达式为 y2x6. 反比例函数 ynx经过点 C(2，10)， n20， 反比例函数的表达式为 y20 x； (2)由y2x6，y20 x，解得x2，y10或x5，y4， 另一个交点坐标为(5，4)； (3)由图象可知 kxbnx的解集为2x0 或 x5.