《初中数学总复习资料》2018届中考数学复习专题题型(四) 二次函数的综合.doc
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1、(2017浙江宁波第25题)如图,抛物线与轴的负半轴交于点,与轴交于点,连结,点C(6,)在抛物线上,直线与轴交于点.(1)求的值及直线的函数表达式;(2)点在轴正半轴上,点在轴正半轴上,连结与直线交于点,连结并延长交于点,若为的中点.求证:;设点的横坐标为,求的长(用含的代数式表示).【答案】(1)c=-3; 直线AC的表达式为:y=x+3;(2)证明见解析;【解析】试题分析:(1)把点C(6,)代入中可求出c的值;令y=0,可得A点坐标,从而可确定AC的解析式;(2)分别求出tanOAB=tanOAD=,得OAB=tanOAD,再由M就PQ的中点,得OM=MP,所以可证得APM=AON,即
2、可证明;过M点作MEx轴,垂足为E,分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长,然后利用即可求解.试题分析:(1)把点C(6,)代入解得:c=-3当y=0时,解得:x1=-4,x2=3A(-4,0)设直线AC的表达式为:y=kx+b(k0)把A(-4,0),C(6,)代入得解得:k=,b=3直线AC的表达式为:y=x+3(2)在RtAOB中,tanOAB=在RtAOD中,tanOAD=OAB=OAD在RtPOQ中,M为PQ的中点OM=MPMOP=MPOMPO=AONAPM=AONAPMAON如图,过点M作MEx轴于点E又OM=MPOE=EP点M横坐标为mAE=m+4 AP=2m+4tanOAD=
3、cosEAM=cosOAD=AM=AE=APMAONAN=考点:二次函数综合题.(2017重庆A卷第26题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2x与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上(1)求直线AE的解析式;(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE当PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y,y经过点D,y的顶点为点F在新抛物线y的对称轴上,是否存在一
4、点Q,使得FGQ为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1)y=x+(2)3,(3)点Q的坐标为(3,),Q(3,)或(3,2)或(3,)【解析】试题分析:(1)抛物线的解析式可以变天为y=(x+1)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标,然后再求得点E的坐标,设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入,求得k和b的值,从而得到AE的解析式;(3)由平移后的抛物线经过点D,可得到点F的坐标,利用中点坐标公式可求得点G的坐标,然后分为QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三种情况求解即可.试题解析:(1)y=x2x,y=(x+1)(x3)A(1,0),B
5、(3,0)当x=4时,y=E(4,)设直线AE的解析式为y=kx+b,将点A和点E的坐标代入得:,解得:k=,b=直线AE的解析式为y=x+(2)设直线CE的解析式为y=mx,将点E的坐标代入得:4m=,解得:m=直线CE的解析式为y=x过点P作PFy轴,交CE与点F设点P的坐标为(x,x2x),则点F(x,x),则FP=(x)(x2x)=x2+xEPC的面积=×(x2+x)×4=x2+x当x=2时,EPC的面积最大P(2,)如图2所示:作点K关于CD和CP的对称点G、H,连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点,k(,)点H与点K关于CP对称,点H的坐标为(,)点G与
6、点K关于CD对称,点G(0,0)KM+MN+NK=MH+MN+GN当点O、N、M、H在条直线上时,KM+MN+NK有最小值,最小值=GHGH=3.KM+MN+NK的最小值为3(3)如图3所示:y经过点D,y的顶点为点F,点F(3,)点G为CE的中点,G(2,)FG=当FG=FQ时,点Q(3,),Q(3,)当GF=GQ时,点F与点Q关于y=对称,点Q(3,2)当QG=QF时,设点Q1的坐标为(3,a)由两点间的距离公式可知:a+=,解得:a=点Q1的坐标为(3,)综上所述,点Q的坐标为(3,),Q(3,)或(3,2)或(3,)考点:二次函数综合题.(2017甘肃庆阳第28题)如图,已知二次函数y
7、=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;(2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NMAC,交AB于点M,当AMN面积最大时,求N点的坐标;.(3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系【答案】(1)y=x2+x+4;(2)N(3,0);(3)OM=AC【解析】试题分析:(1)由B、C的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)可设N(n,0),则可用n表示出ABN的面积,由NMAC,可求得,则可用n表示出AMN的面积,再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n
8、的值,即可求得N点的坐标;(3)由N点坐标可求得M点为AB的中点,由直角三角形的性质可得OM=AB,在RtAOB和RtAOC中,可分别求得AB和AC的长,可求得AB与AC的关系,从而可得到OM和AC的数量关系试题解析:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得,解得,二次函数的表达式为y=x2+x+4;(2)设点N的坐标为(n,0)(2n8),则BN=n+2,CN=8nB(2,0),C(8,0),BC=10,在y=x2+x+4中,令x=0,可解得y=4,点A(0,4),OA=4,SABN=BNOA=(n+2)×4=2(n+2),MNAC,0,当n=3时,即N(3,0)时
9、,AMN的面积最大;(3)当N(3,0)时,N为BC边中点,MNAC,M为AB边中点,OM=AB,AB=,AC=,AB=AC,OM=AC考点:二次函数综合题来源:学科网ZXXK(2017广西贵港第25题)如图,抛物线与轴交于两点,与轴的正半轴交于点,其顶点为.(1)写出两点的坐标(用含的式子表示);(2)设,求的值;(3)当是直角三角形时,求对应抛物线的解析式.【答案】(1)C(0,3a),D(2,a);(2)3;(3)y=x24x+3或y=x22x+试题解析:(1)在y=a(x1)(x3),令x=0可得y=3a,C(0,3a),y=a(x1)(x3)=a(x24x+3)=a(x2)2a,D(
10、2,a);(2)在y=a(x1)(x3)中,令y=0可解得x=1或x=3,A(1,0),B(3,0),AB=31=2,SABD=×2×a=a,如图,设直线CD交x轴于点E,设直线CD解析式为y=kx+b,把C、D的坐标代入可得,解得,直线CD解析式为y=2ax+3a,令y=0可解得x=,E(,0),BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××(3a+a)=3a,SBCD:SABD=(3a):a=3,k=3;.(3)B(3,0),C(0,3a),D(2,a),BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(a3a)2=4+16a2,BD2=(32)2
11、+a2=1+a2,BCDBCO90°,BCD为直角三角形时,只能有CBD=90°或CDB=90°两种情况,当CBD=90°时,则有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=1(舍去)或a=1,此时抛物线解析式为y=x24x+3;当CDB=90°时,则有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=(舍去)或a=,此时抛物线解析式为y=x22x+;综上可知当BCD是直角三角形时,抛物线的解析式为y=x24x+3或y=x22x+考点:二次函数综合题(2017贵州安顺第26题)如图甲,直线y=x+3
12、与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当0x3时,在抛物线上求一点E,使CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究)【答案】(1)y=x24x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,1+2)或(2,12);(3)E点坐标为(,)时,CBE的面积最大【解析】试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可
13、求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;(3)过E作EFx轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标试题解析:(1)直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,B(3,0),C(0,3),把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,抛物线解析式为y=x24x+3;(2)y=x24x+3=(x2)21,抛物线对称轴为x=2,P(2,1),设M(2,t),且C(0
14、,3),MC=,MP=|t+1|,PC=,CPM为等腰三角形,有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,(3)如图,过E作EFx轴,交BC于点F,交x轴于点D,设E(x,x24x+3),则F(x,x+3),0x3,EF=x+3(x24x+3)=x2+3x,SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=×3(x2+3x)=(x)2+,当x=时,CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),即当E点坐标为(,)时,CBE的面积最大考点:二次函数综合题(2017湖北武汉第24题)已知点在抛物线上(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点的坐标为,直线交抛物线于另一点,过点作轴的垂
15、线,垂足为,设抛物线与轴的正半轴交于点,连接,求证;(3)如图2,直线分别交轴,轴于两点,点从点出发,沿射线方向匀速运动,速度为每秒个单位长度,同时点从原点出发,沿轴正方向匀速运动,速度为每秒1个单位长度,点是直线与抛物线的一个交点,当运动到秒时,直接写出的值【答案】(1)抛物线的解析式为:y=x2-x;(2)证明见解析;(3);.【解析】试题分析:(1)把A,B两点坐标代入,解方程组求出a,b的值,即可得到二次函数解析式;(2)过点A作AN轴于点N,则N(-1,0),再求出E点坐标,从而可求tanAEN=,再求出直线AF的解析式与抛物线方程联立,求出点G的坐标,则可得到tanFHO=,从而得
16、证;(3)进行分类讨论即可得解.试题解析:(1)点A(-1,1),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx上a-b=1,16a+4b=6解得:a=,b=-抛物线的解析式为:y=x2-x(2)过点A作ANx轴于点N,则N(-1,0)AN=1当y=0时,x2-x=0解得:x=0或1E(1,0)EN=2tanAEN=设直线AF的解析式为y=kx+mA (-1,1)在直线AF上,-k+m=1即:k=m-1直线AF的解析式可化为:y=(m-1)x+m与y=x2-x联立,得(m-1)x+m=x2-x(x+1)(x-2m)=0x=-1或2m点G的横坐标为2mOH=2mOF=mtanFHO=来源:学§科
17、§网AEN=FHOFHAE(3);. 考点:二次函数综合题.(2017湖南怀化第24题)如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点是轴上的一点,且以为顶点的三角形与相似,求点的坐标;(3)如图2,轴玮抛物线相交于点,点是直线下方抛物线上的动点,过点且与轴平行的直线与,分别交于点,试探究当点运动到何处时,四边形的面积最大,求点的坐标及最大面积;(4)若点为抛物线的顶点,点是该抛物线上的一点,在轴,轴上分别找点,使四边形的周长最小,求出点,的坐标.【答案】(1) y=x24x5,(2) D的坐标为(0,1)或(0,);(3)
18、当t=时,四边形CHEF的面积最大为(4) P(,0),Q(0,)【解析】试题分析:(1)根据待定系数法直接抛物线解析式;(2)分两种情况,利用相似三角形的比例式即可求出点D的坐标;(3)先求出直线BC的解析式,进而求出四边形CHEF的面积的函数关系式,即可求出最大值;(4)利用对称性找出点P,Q的位置,进而求出P,Q的坐标试题解析:(1)点A(1,0),B(5,0)在抛物线y=ax2+bx5上,抛物线的表达式为y=x24x5,(2)如图1,令x=0,则y=5,C(0,5),OC=OB,OBC=OCB=45°,AB=6,BC=5,要使以B,C,D为顶点的三角形与ABC相似,则有或,当
19、时,CD=AB=6,D(0,1),当时,CD=,D(0,),即:D的坐标为(0,1)或(0,);(3)设H(t,t24t5),CEx轴,点E的纵坐标为5,E在抛物线上,x24x5=5,x=0(舍)或x=4,E(4,5),CE=4,B(5,0),C(0,5),直线BC的解析式为y=x5,F(t,t5),HF=t5(t24t5)=(t)2+,CEx轴,HFy轴,CEHF,S四边形CHEF=CEHF=2(t)2+,当t=时,四边形CHEF的面积最大为(4)如图2,K为抛物线的顶点,K(2,9),K关于y轴的对称点K'(2,9),M(4,m)在抛物线上,M(4,5),点M关于x轴的对称点M
20、39;(4,5),直线K'M'的解析式为y=x,P(,0),Q(0,)考点:二次函数综合题(2017新疆建设兵团第23题)如图,抛物线y=x2+x+2与x轴交于点A,B,与y轴交于点C(1)试求A,B,C的坐标;(2)将ABC绕AB中点M旋转180°,得到BAD3求点D的坐标;判断四边形ADBC的形状,并说明理由;(3)在该抛物线对称轴上是否存在点P,使BMP与BAD相似?若存在,请直接写出所有满足条件的P点的坐标;若不存在,请说明理由【答案】(1) A(1,0),B(4,0),C(0,2);(2)D(3,2);四边形ADBC是矩形;理由见解析,(3) 点P的坐标为:
21、(1.5,1.25),(1.5,1.25),(1.5,5),(1.5,5)【解析】试题分析:(1)直接利用y=0,x=0分别得出A,B,C的坐标;(2)利用旋转的性质结合三角形各边长得出D点坐标;利用平行四边形的判定方法结合勾股定理的逆定理得出四边形ADBC的形状;(3)直接利用相似三角形的判定与性质结合三角形各边长进而得出答案试题解析:(1)当y=0时,0=x2+x+2,解得:x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),当x=0时,y=2,故C(0,2);(2)过点D作DEx轴于点E,将ABC绕AB中点M旋转180°,得到BAD,DE=2,AO=BE=1,OM=ME=1.5,
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