《初中数学总复习资料》2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第3讲 分式.docx

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1、第三讲 分式知识回顾【知识归纳】1. 分式：整式A除以整式B，可以表示成 的形式，如果除式B中含有 ，那么称 为分式若 ，则 有意义；若 ，则 无意义；若 ，则 0. 2分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 用式子表示为 .3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分4通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.5分式的运算 加减法法则： 同分母的分式相加减： . 异分母的分式相加减： . 乘法法则： .乘方法则： . 除法法则： .【基础检测】1（2017新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（）A

2、1 B0 C1 D±12(2017湖北宜昌)计算的结果为（）A1 B C D03. (2017湖北宜昌)计算的结果为（）A1 B C D04. （2017.湖南怀化）计算： = 5. （2017浙江湖州）要使分式有意义，x的取值应满足 6. （2017四川南充）如果=1，那么m= 7. （2017山东滨州）分式方程1=的解为（）Ax=1 Bx=1 C无解 Dx=28（2017山东泰安）分式与的和为4，则x的值为 9. （2016·湖北随州·6分）先化简，再求值：（x+1）÷，其中x=210 （2017深圳）先化简，再求值：（ +）÷，其中x=1

3、考点解析【考点解析】1. 分式有意义、无意义、值等于零的条件【例题】（2017广西百色）若分式有意义，则x的取值范围为x2【考点】62：分式有意义的条件【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案【解答】解：由题意，得x20解得x2，故答案为：x2【变式】（2016·四川内江）在函数y中，自变量x的取值范围是( )Ax3 Bx3 Cx4 Dx3且x4【答案】D【解答】欲使根式有意义，则需x30；欲使分式有意义，则需x40x的取值范围是解得x3且x4故选D2. 分式的约分【例题】（2015宁德 第18题 4分）化简：=【解析】约分.将分母分解因式，然后再约分、化简【解答】解：原式=【变式

4、】.化简分式 的结果是（）A B C D【答案】C【解析】原式=- =-=故选C3.分式的加减运算【例题】（2017内江）下列计算正确的是（）A3x2y+5xy=8x3y2B（x+y）2=x2+y2C（2x）2÷x=4xD +=1【考点】6B：分式的加减法；4I：整式的混合运算【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（A）3x2y与5xy不是同类项，故A不正确；（B）原式=x2+2xy+y2，故B不正确；（C）原式=4x2÷x=4x，故C正确；（D）原式=1，故D不正确；故选（C）【变式】（2015，广西钦州，16，3分）当m=2105时，计算：= 【解析】考查分

5、式的化简求值原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=m2，当m=2015时，原式=20152=2013故答案为：2013【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键4. 分式的乘除运算【例题】(2017湖北咸宁)化简：÷=x1【考点】6A：分式的乘除法【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果【解答】解：原式=x1故答案为：x1【变式】（2017江苏徐州）计算：（1）（2）2（）1+20170（2）（1+）÷【考点】6C：分式的混合运算；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂【分析

6、】（1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据分式的加法和除法可以解答本题【解答】解：（1）（2）2（）1+20170=42+1=3；（2）（1+）÷=x25. 分式的混合运算 【例题】（2017山东临沂）计算：÷（x）=【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可【解答】解：原式=÷=，故答案为：【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序【变式】化简：【答案】【解析】原式=6. 分式的化简求值 【例题】（2017山东烟台）先化简，再求值：（x）

7、47;，其中x=，y=1【考点】6D：分式的化简求值【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解：（x）÷=xy，当x=，y=1时，原式=1【变式】（2017江苏盐城）先化简，再求值：÷（x+2），其中x=3+【考点】6D：分式的化简求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=÷（）=÷=，当x=3+时，原式=7.分式方程的解法【例题】（2017贵州）分式方程=1的根为（）A1或3B1C3D1或3【考点】B3：解分式

8、方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3=x2+x3x，解得：x=1或x=3，经检验x=1是增根，分式方程的根为x=3，故选C【变式】（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程=1时出现增根，那么m的值为（）A2B2C4D4【考点】B5：分式方程的增根【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案【解答】解：=1，去分母，方程两边同时乘以x2，得：m+2x=x2，由分母可知，分式方程的增根可能是2

9、，当x=2时，m+4=22，m=4，故选D8.分式方程的应用【例题】（2017山东泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A10=B +10=C10=D +10=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=故选：B【变式】（2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼

10、盒2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设

11、年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x11）元/盒，根据题意得： =，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）根据题意得：（6035）×100（1+a）2=（6035+11）×100，解得：a=0.2=20%或

12、a=2.2（不合题意，舍去）答：年增长率为20%【典例解析】【例题1】（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A +=1B +=C +=D +=1【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，故选B【例题2】（2017四川南充）化简（1）÷，再任取一个你喜欢的数代入求值【考点】6D：分式

13、的化简求值【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可【解答】解：（1）÷，=（），=，=，x10，x（x+1）0，x±1，x0，当x=5时，原式=【例题3】（2017日照）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？【考点】：分式方程

14、的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得=4解得：x=33.75，经检验x=33.75是原分式方程的解，则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米） 答：实际每年绿化面积为54万平方米；（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得54

15、5;2+2（54+a）360 解得：a72答：则至少每年平均增加72万平方米【中考热点】1. （2017贵州）先化简，再求值：（x1）÷，其中x=+1【考点】6D：分式的化简求值【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值【解答】解：原式=x1，当x=+1时，原式=2. 解方程： +2=【考点】B3：解分式方程【分析】方程两边都乘以x2得出1+2（x2）=x1，求出方程的解，再进行检验即可【解答】解：方程两边都乘以x2得：1+2（x2）=x1，解得：x=2，检验：当x=2时，x2=0，所以x=2不是原方程

16、的解，即原方程无解3. 17（2016·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（），其中a=【考点】分式的化简求值【分析】先括号内通分化简，然后把乘除化为乘法，最后代入计算即可【解答】解：原式=÷=÷=（a2）2，a=，原式=（2）2=64【点评】本题考查分式的混合运算化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，通分时学会确定最简公分母，能先约分的先约分化简，属于中考常考题型4. （2017贵州）某校为了在九月份迎接高一年级的新生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队若两队合作，8天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3

17、天后，剩余部分由乙队单独做需要18天才能完成（1）求甲、乙两队工作效率分别是多少？（2）甲队每天工资3000元，乙队每天工资1400元，学校要求在12天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作m天，乙队工作n天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数m（天）的函数关系式，并求出m的取值范围及w的最小值【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用【分析】（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天列出分式方程组即可解决问题；（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成则+=1，解得x=6由此可得m的范围，因为乙队每天的费用小于甲队每天的费用，所以让乙先工作6天，再与甲合作6天

18、正好如期完成，此时费用最小；【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x天，乙队单独完成需要y天由题意，解得，经检验是分式方程组的解，甲、乙两队工作效率分别是和（2）设乙先工作x天，再与甲合作正好如期完成则+=1，解得x=6甲工作6天，甲12天完成任务，6m12乙队每天的费用小于甲队每天的费用，让乙先工作6天，再与甲合作6天正好如期完成，此时费用最小，w的最小值为12×1400+6×3000=34800元一、选择题1. （2017新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（）A1B0C1D±12（2015黔西南州）（第2题）分式有意义，则x的取值范围是（）A x1 B x1

19、C x1 D 一切实数3（2017乐山）若a2ab=0（b0），则aa+b=（）A0BC0或D1或 24.若，则w=( )A. B. C. D. 6. （2017黑龙江）若关于x的分式方程2x-ax-2=12的解为非负数，则a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1且a4Da1且a47. （2017黑龙江佳木斯）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）Aa1Ba1Ca1且a9Da18. （2017乐山）已知x+=3，则下列三个等式：x2+1x2=7，x1x=5，2x26x=2中，正确的个数有（）A0个B1个C2个D3个二、填空题9若分式有意义，则a的取值范围是 10.计算：= 11

20、（2016·四川内江）化简：()÷_12.化简（1+）÷的结果为 .13. （2016·湖北荆州·3分）当a=1时，代数式的值是14.观察下列等式：第1个等式：x1；第2个等式：x2；第3个等式：x3；第4个等式：x4；则xlx2x3x10 三、解答题15. （2017绥化）计算：（ +）.16.（2016·陕西）化简：（x5+）÷17.18. （2017张家界）先化简（1）÷，再从不等式2x16的正整数解中选一个适当的数代入求值19.先化简，再求值：，其中20. （2017乌鲁木齐）先化简，再求值：（）÷

21、;，其中x=21. （2017湖北随州）解分式方程： +1=22（2017绥化）甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍（1）求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？（2）若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？答案与解析【知识归纳】1.字母， B0， B=0， A=0且B0 2值不变 .3.公因式4为同分母5分式的运算 分母不变,分子相加减 .先通分,变为同分母的

22、分式,然后再加减 . 分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.：分式的乘方,把分子、分母分别乘方. ：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.【基础检测】1.字母， B0， B=0， A=0且B0 2值不变 .3.公因式4为同分母5分式的运算 分母不变,分子相加减 .先通分,变为同分母的分式,然后再加减 . 分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.：分式的乘方,把分子、分母分别乘方. ：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘.【基础检测答案】1【专题】11 ：计算题【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不等

23、于0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题【解答】解：若=0，则x1=0且x+10，故x=1，故选C【点评】命题立意：考查分式值为零的条件关键是要注意分母不能为零2【考点】66：约分【分析】分子利用平方差公式进行因式分解，然后通过约分进行化简【解答】解： =1故选：A3.【考点】66：约分【分析】分子利用平方差公式进行因式分解，然后通过约分进行化简【解答】解： =1故选：A4.【考点】6B：分式的加减法【分析】本题考查了分式的加减运算解决本题主要是因式分解，然后化简【解答】解：原式=故答案为x+15. （2017浙江湖州）要使分式有意义，x的取值应满足x2【考点】62：分式有意义的条件【

24、分析】分式有意义时，分母不等于零【解答】解：依题意得：x20，解得x2故答案是：x26.【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：1=m1，解得：m=2，经检验m=2是分式方程的解，故答案为：27.【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x（x+2）（x1）（x+2）=3，整理得：2xx+2=3解得：x=1，检验：把x=1代入（x1）（x+2）=0，所以分式方程的无解故选C8【考点】B3：解分式

25、方程【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可【解答】解：分式与的和为4，+=4，去分母，可得：7x=4x8解得：x=3经检验x=3是原方程的解，x的值为3故答案为：39.【考点】分式的化简求值【分析】首先将括号里面的通分相减，然后将除法转化为乘法，化简后代入x的值即可求解【解答】解：原式=，当x=2时，原式=210.【考点】6D：分式的化简求值【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：当x=1时，原式=×=3x+2=1【达标检测答案】一、选择题1. 【考点】：分式的值为零的条件【专题】：计算题【分析】分式的值为0的条件是：

26、（1）分子等于0；（2）分母不等于0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题【解答】解：若=0，则x1=0且x+10，故x=1，故选C【点评】命题立意：考查分式值为零的条件关键是要注意分母不能为零2考点： 分式有意义的条件分析： 分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义解答： 解：由分式有意义，得x10解得x1，故选：B3【考点】：分式的值【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值【解答】解：a2ab=0（b0），a=0或a=b，当a=0时，aa+b=0当a=b时，aa+b=，故选C【点评】本题主要考查了分式的值，解题的关键是要注意题目有两个答案，容易漏掉值为0的情况4.【答案】

27、D.【解析】，w=.故选D.5.【答案】A.【解析】根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.故选A.考点：分式有意义的条件.6. 【考点】B2：分式方程的解【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可【解答】解：去分母得：2（2xa）=x2，解得：x=2a-23，由题意得：2a-230且2a-232，解得：a1且a4，故选：C【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为07. 【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；【解答】解：3（3xa）=x3，9x3a=x3，8x=3a3x=，由于该

28、分式方程有解，令x=代入x30，a9，该方程的解是非负数解，0，a1，a的范围为：a1且a9，故选（C）8.【考点】4C：完全平方公式；6C：分式的混合运算【分析】将x+=3两边同时平方，然后通过恒等变形可对作出判断，由x=±(x+1x)-4可对作出判断，方程2x26x=2两边同时除以2x，然后再通过恒等变形可对作出判断【解答】解：x+=3，（x+）2=9，整理得：x2+1x2=7，故正确x=±(x+1x)-4=±5，故错误方程2x26x=2两边同时除以2x得：x3=，整理得：x+=3，故正确故选：C【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式

29、是解题的关键二、填空题9【答案】a1【解答】考查了分式有意义的条件，分式有意义，a+10，解得a110.【答案】2【解析】利用同分母的分式相加减的运算法则可得原式=11【答案】a【解析】先算小括号，再算除法原式()÷÷(a3)·a故答案为：a12.【答案】1.【解析】原式=113.【分析】根据已知条件先求出a+b和ab的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可【解答】解：a=1，a+b=+1+1=2，ab=+1+1=2，=；故答案为：14.【答案】【解析】原式=（1）+（）+（）=（1+）=（1）=三、解答题15.【考点】：分式的混合运算【分析】根据分式的运算

30、法则即可求出答案【解答】解：原式=×=故答案为：16.（2016·陕西）化简：（x5+）÷【考点】分式的混合运算【分析】根据分式的除法，可得答案【解答】解：原式=（x1）（x3）=x24x+317.【答案】.【解析】先计算括号里的，然后再乘以除式的倒数，进行约分化简即可求出结果.试题解析：原式=18.【考点】：分式的化简求值；C7：一元一次不等式的整数解【分析】先把括号里的式子进行通分，再把后面的式子根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解，然后约分，再求出不等式的解集，最后代入一个合适的数据代入即可【解答】解：（1）÷=×=，2x16，2x7

31、，x，把x=3代入上式得：原式=419.【答案】，1【解析】用分式混合运算法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可原式=，当时，原式=3+2=120.【考点】6D：分式的化简求值【分析】先把除法化为乘法，再根据运算顺序与计算方法先化简，再把x=代入求解即可【解答】解：原式=（）=，当x=时，原式=21.【考点】B3：解分式方程【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：3+x2x=x2，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解22【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用【分析】（1）可设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x0.5）千米，则可表示出修路所用的时间，可列分式方程，求解即可；（2）设甲修路a天，则可表示出乙修路的天数，从而可表示出两个工程队修路的总费用，由题意可列不等式，求解即可【解答】解：（1）设甲每天修路x千米，则乙每天修路（x0.5）千米，根据题意，可列方程：1.5×=，解得x=1.5，经检验x=1.5是原方程的解，且x0.5=1，答：甲每天修路1.5千米，则乙每天修路1千米；（2）设甲修路a天，则乙需要修（151.5a）千米，乙需要修路=151.5a（天），由题意可得0.5a+0.4（151.5a）5.2，解得a8，答：甲工程队至少修路8天