《初中数学总复习资料》2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第14讲 二次函数综合应用.docx

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1、第十四讲二次函数综合应用知识回顾一二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c0)与直线y=0(即x轴)的公共点的个数。抛物线y=ax2+bx+c(a0)与x轴的公共点有三种情况： 公共点（即有两个交点）， 公共点， 公共点，因此有：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x1，0)(x2，0)，一元二次方程ax2+bx+c=0有 个不等实根=b2-4ac 0。(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点(，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有 实根， (3)抛物线y=ax2+bx+

2、c与x轴没有公共点，一元二次方程ax2+bx+c=0 根=b2-4ac 0.二二次函数的应用.利用二次函数能解决生活实际问题如物体运动规律、销售问题、利润问题、几何图形变化问题等等.基础检测1.若函数y=（a1）x24x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为 2二次函数y=ax2+bx+c（a0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b）x+c=0（a0）的两根之和（）A大于0 B等于0 C小于0 D不能确定3（2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售已知每天放养的费用相同，放养

3、10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）【出处：21教育名师】（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示分别求出当0t50和50t100时，y与t的函数关系式；设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值（利润=销售总额总成本）4（2017黑龙江佳木斯）如图，RtAOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将RtAOB绕点O逆时针旋转90

4、6;得到RtCOD，抛物线y=x2+bx+c经过B、D两点（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标考点解析知识点一、二次函数与一次函数及反比例函数的结合【例题】（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a0）与二次函数y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A B C D【考点】二次函数的图象；一次函数的图象【分析】本题可先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+bx+c的图象相比较看是否一致【解答】解：A、由抛物线可知，a0，由直线可知，故本选项错误；B、由抛

5、物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a0，x=0，得b0，由直线可知，a0，b0故本选项错误故选C【变式】已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（）【答案】D【解析】抛物线开口向上，a0，抛物线的对称轴为直线x=-0，b0，抛物线与y轴的交点在x轴下方，c0，一次函数y=cx+的图象过第一、二、四象限，反比例函数y=分布在第一、三象限故选D知识点二、二次函数与一元二次

6、方程【例题】（2017湖北荆州）已知关于x的一元二次方程x2+（k5）x+1k=0，其中k为常数（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k5）x+1k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值【考点】HA：抛物线与x轴的交点；AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；H3：二次函数的性质【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出0，根据判别式的意义即可证明；（2）由于二次函数y=x2+（k5）x+1k的图象不经过第三象限，又=（k5）24（1k）=（k3）2+120，所以抛物线的顶点在x轴的下

7、方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由此可以得出关于k的不等式组，解不等式组即可求解；（3）设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意得（x13）（x23）0，根据一元二次方程根与系数的关系求得k的取值范围，再进一步求出k的最大整数值【解答】（1）证明：=（k5）24（1k）=k26k+21=（k3）2+120，无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）解：二次函数y=x2+（k5）x+1k的图象不经过第三象限，二次项系数a=1，抛物线开口方向向上，=（k3）2+120，抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，x1+x2=5k0，x1x2=1

8、k0，解得k1，即k的取值范围是k1；（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x13）（x23）0，即x1x23（x1+x2）+90，又x1+x2=5k，x1x2=1k，代入得，1k3（5k）+90，解得k则k的最大整数值为2【变式】二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1x4的范围内有解，则t的取值范围是（）At-1 B-1t3 C-1t8 D3t8【答案】C.【解析】对称轴为直线x=-=1，解得b=-2，所以，二次函数解析式为y=x2-2x，=（x-1）2-1，x=-1时，y=1+2=3，x=4时，y=

9、16-2×4=8，x2+bx-t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，当-1t8时，在-1x4的范围内有解故选：C知识点三 利用二次函数解决抛物线形问题【例题】（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示：（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克

10、小龙虾，就捐赠m（m7）元给村里的特困户在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围【考点】HE：二次函数的应用【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；（2）设日销售利润为w，分1t40和41t80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1t40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，将（1，198）、（80

11、，40）代入，得：，解得：，y=2t+200（1x80，t为整数）；（2）设日销售利润为w，则w=（p6）y，当1t40时，w=（t+166）（2t+200）=（t30）2+2450，当t=30时，w最大=2450；当41t80时，w=（t+466）（2t+200）=（t90）2100，当t=41时，w最大=2301，24502301，第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元（3）由（2）得：当1t40时，w=（t30）2+2450，令w=2400，即（t30）2+2450=2400，解得：t1=20、t2=40，由函数w=（t30）2+2450图象可知，当20t40时，日销售利润不低于

12、2400元，而当41t80时，w最大=23012400，t的取值范围是20t40，共有21天符合条件（4）设日销售利润为w，根据题意，得：w=（t+166m）（2t+200）=t2+（30+2m）t+2000200m，其函数图象的对称轴为t=2m+30，w随t的增大而增大，且1t40，由二次函数的图象及其性质可知2m+3040，解得：m5，又m7，5m7【变式】（2015铜仁市）（第3题）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A. 20m B. 10m C. 20m D. 10m

13、【解析】二次函数的应用. 根据题意，把y=4直接代入解析式即可解答【解答】解：根据题意B的纵坐标为4，把y=4代入y=x2，得x=±10，A（10，4），B（10，4），AB=20m即水面宽度AB为20m故选C【点评】本题考查了点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题知识点四、二次函数的应用【例题】九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1x90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）时间x（天）130

14、6090每天销售量p（件）1981408020（1）求出w与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果【考点】二次函数的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）当0x50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50x90时，y=90再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数

15、量即可得出w关于x的函数关系式；（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题当0x50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50x90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；（3）令w5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论【解答】解：（1）当0x50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b（k、b为常数且k0），y=kx+b经过点（0，40）、（50，90），解得：，售价y与时间x的函数关系式为y=x+40；当50x90时，y=90售价y与时间x的函数关系

16、式为y=由书记可知每天的销售量p与时间x成一次函数关系，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n（m、n为常数，且m0），p=mx+n过点（60，80）、（30，140），解得：，p=2x+200（0x90，且x为整数），当0x50时，w=（y30）p=（x+4030）（2x+200）=2x2+180x+2000；当50x90时，w=（9030）（2x+200）=120x+12000综上所示，每天的销售利润w与时间x的函数关系式是w=（2）当0x50时，w=2x2+180x+2000=2（x45）2+6050，a=20且0x50，当x=45时，w取最大值，最大值为6050元当50x9

17、0时，w=120x+12000，k=1200，w随x增大而减小，当x=50时，w取最大值，最大值为6000元60506000，当x=45时，w最大，最大值为6050元即销售第45天时，当天获得的销售利润最大，最大利润是6050元（3）当0x50时，令w=2x2+180x+20005600，即2x2+180x36000，解得：30x50，5030+1=21（天）；当50x90时，令w=120x+120005600，即120x+64000，解得：50x53，x为整数，50x53，5350=3（天）综上可知：21+3=24（天），故该商品在销售过程中，共有24天每天的销售利润不低于5600元【变式】

18、（2016·湖北武汉·10分）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙2010400.05x280其中a为常数，且3a5（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由【考点】二次函数的应用，一次函数的应用【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05

19、x²+10x-40（0x80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3a3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7a5时，选择乙产品【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）；（2）甲产品：3a5，6-a0，y1随x的增大而增大当x200时，y1max1180200a（3a5）乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0x80）当0x80时，y2随x的增大而增大当x80时，y2max440（万元）产销甲种产品的

20、最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180200440，解得3a3.7时，此时选择甲产品；1180200440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；1180200440，解得3.7a5时，此时选择乙产品当3a3.7时，生产甲产品的利润高；当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；当3.7a5时，上产乙产品的利润高题型五、二次函数在几何图形中的应用【例题】如图，矩形AOCB的顶点A、C分别位于x轴和y轴的正半轴上，线段OA、OC的长度满足方程|x15|+=0（OAOC），直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于M、N两点，将BCN沿直线BN折叠，点

21、C恰好落在直线MN上的点D处，且tanCBD=（1）求点B的坐标；（2）求直线BN的解析式；（3）将直线BN以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，求直线BN扫过矩形AOCB的面积S关于运动的时间t（0t13）的函数关系式【考点】FI：一次函数综合题【分析】（1）由非负数的性质可求得x、y的值，则可求得B点坐标；（2）过D作EFOA于点E，交CB于点F，由条件可求得D点坐标，且可求得=，结合DEON，利用平行线分线段成比例可求得OM和ON的长，则可求得N点坐标，利用待定系数法可求得直线BN的解析式；（3）设直线BN平移后交y轴于点N，交AB于点B，当点N在x轴上方时，可知S即为BNNB的面积，

22、当N在y轴的负半轴上时，可用t表示出直线BN的解析式，设交x轴于点G，可用t表示出G点坐标，由S=S四边形BNNBSOGN，可分别得到S与t的函数关系式【解答】解：（1）|x15|+=0，x=15，y=13，OA=BC=15，AB=OC=13，B（15，13）；（2）如图1，过D作EFOA于点E，交CB于点F，由折叠的性质可知BD=BC=15，BDN=BCN=90°，tanCBD=，=，且BF2+DF2=BD2=152，解得BF=12，DF=9，CF=OE=1512=3，DE=EFDF=139=4，CND+CBD=360°90°90°=180°

23、，且ONM+CND=180°，ONM=CBD，=，DEON，=，且OE=3，=，解得OM=6，ON=8，即N（0，8），把N、B的坐标代入y=kx+b可得，解得，直线BN的解析式为y=x+8；（3）设直线BN平移后交y轴于点N，交AB于点B，当点N在x轴上方，即0t8时，如图2，由题意可知四边形BNNB为平行四边形，且NN=t，S=NNOA=15t；当点N在y轴负半轴上，即8t13时，设直线BN交x轴于点G，如图3，NN=t，可设直线BN解析式为y=x+8t，令y=0，可得x=3t24，OG=24，ON=8，NN=t，ON=t8，S=S四边形BNNBSOGN=15t（t8）（3t24

24、）=t2+39t96；综上可知S与t的函数关系式为S=【变式】（2017山东聊城）如图，已知抛物线y=ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）当点P移动到抛物线的什么位置时，使得PAB=75°，求出此时点P的坐标；（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动，在移动中，点P的横坐标以每秒1个单位长度的速度变动，与此同时点M以每秒1个单位长度的速度沿AO向终点O移动，点P，M移动到各自终点时停止，当两个移点移动t秒时，求四边形PAMB的面积S关于t的函数表达式，并求

25、t为何值时，S有最大值，最大值是多少？【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式，化为顶点式可求得顶点坐标；（2）过P作PCy轴于点C，由条件可求得PAC=60°，可设AC=m，在RtPAC中，可表示出PC的长，从而可用m表示出P点坐标，代入抛物线解析式可求得m的值，即可求得P点坐标；（3）用t可表示出P、M的坐标，过P作PEx轴于点E，交AB于点F，则可表示出F的坐标，从而可用t表示出PF的长，从而可表示出PAB的面积，利用S四边形PAMB=SPAB+SAMB，可得到S关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值【解答】解：（1

26、）根据题意，把A（0，6），B（6，0）代入抛物线解析式可得，解得，抛物线的表达式为y=x2+2x+6，y=x2+2x+6=（x2）2+8，抛物线的顶点坐标为（2，8）；（2）如图1，过P作PCy轴于点C，OA=OB=6，OAB=45°，当PAB=75°时，PAC=60°，tanPAC=，即=，设AC=m，则PC=m，P（m，6+m），把P点坐标代入抛物线表达式可得6+m=（m）2+2m+6，解得m=0或m=，经检验，P（0，6）与点A重合，不合题意，舍去，所求的P点坐标为（4， +）；（3）当两个支点移动t秒时，则P（t， t2+2t+6），M（0，6t），如图

27、2，作PEx轴于点E，交AB于点F，则EF=EB=6t，F（t，6t），FP=t2+2t+6（6t）=t2+3t，点A到PE的距离竽OE，点B到PE的距离等于BE，SPAB=FPOE+FPBE=FP（OE+BE）=FPOB=×（t2+3t）×6=t2+9t，且SAMB=AMOB=×t×6=3t，S=S四边形PAMB=SPAB+SAMB=t2+12t=（t4）2+24，当t=4时，S有最大值，最大值为24【典例解析】【例题1】（2017.江苏宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x22x3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴

28、上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC（1）求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；（2）求ABC外接圆的半径；（3）点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由已知抛物线可求得A、B坐标及顶点坐标，利用对称性可求得C的坐标，利用待定系数法可求得曲线N的解析式；（2）由外接圆的定义可知圆心即为线段BC与AB的垂直平分线的交点，即直线y=x与抛物线对称轴的交点，可求得外接圆的圆心，再利用勾股定理可求得半径的长；（3

29、）设Q（x，0），当BC为平行四边形的边时，则有BQPC且BQ=PC，从而可用x表示出P点的坐标，代入抛物线解析式可得到x的方程，可求得Q点坐标，当BC为平行四边形的对角线时，由B、C的坐标可求得平行四边形的对称中心的坐标，从而可表示出P点坐标，代入抛物线解析式可得到关于x的方程，可求得P点坐标【解答】解：（1）在y=x22x3中，令y=0可得x22x3=0，解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），令x=0可得y=3，又抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折后得到曲线N，C（0，3），设曲线N的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C的坐标代入可得，解得，曲线N所在抛物线相应的函数表达式为

30、y=x2+2x+3；（2）设ABC外接圆的圆心为M，则点M为线段BC、线段AB垂直平分线的交点，B（3，0），C（0，3），线段BC的垂直平分线的解析式为y=x，又线段AB的解析式为曲线N的对称轴，即x=1，M（1，1），MB=，即ABC外接圆的半径为；（3）设Q（t，0），则BQ=|t3|当BC为平行四边形的边时，如图1，则有BQPC，P点纵坐标为3，即过C点与x轴平行的直线与曲线M和曲线N的交点即为点P，x轴上对应的即为点Q，当点P在曲线M上时，在y=x22x3中，令y=3可解得x=1+或x=1，PC=1+或PC=1，当x=1+时，可知点Q在点B的右侧，可得BQ=t3，t3=1+，解得t=

31、4+，当x=1时，可知点Q在点B的左侧，可得BQ=3t，3t=1，解得t=4，Q点坐标为（4+，0）或（4，0）；当点P在曲线N上时，在y=x2+2x+3中，令y=3可求得x=0（舍去）或x=2，PC=2，此时Q点在B点的右侧，则BQ=t3，t3=2，解得t=5，Q点坐标为（5，0）；当BC为平行四边形的对角线时，B（3，0），C（0，3），线段BC的中点为（，），设P（x，y），x+t=3，y+0=3，解得x=3t，y=3，P（3t，3），当点P在曲线M上时，则有3=（3t）22（3t）3，解得t=2+或t=2，Q点坐标为（2+，0）或（2，0）；当点P在曲线N上时，则有3=（3t）2+2（

32、3t）+3，解得t=3（Q、B重合，舍去）或t=1，Q点坐标为（1，0）；综上可知Q点的坐标为（4+，0）或（4，0）或（5，0）或（2+，0）或（2，0）或（1，0）【例题2】（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6 Bx1=1，x2=7 Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7【考点】二次函数的性质；解一元二次方程-因式分解法【分析】先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=7，求出x的值即可【解答】解：二次函数y=x2+mx的对称轴是x

33、=3，=3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0，即（x+1）（x7）=0，解得x1=1，x2=7故选D【例题3】（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x22（b2）x+b21的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）AbBb1或b1 Cb2 D1b2【分析】由于二次函数y=x22（b2）x+b21的图象不经过第三象限，所以抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口方向向上，由此可以确定抛物线与x轴有无交点，抛物线与y轴的交点的位置，由此即可得出关于b的不等式组，解不等式组即可求解【解答】解：二

34、次函数y=x22（b2）x+b21的图象不经过第三象限，抛物线在x轴的上方或在x轴的下方经过一、二、四象限，当抛物线在x轴的上方时，二次项系数a=1，抛物线开口方向向上，b210，=2（b2）24（b21）0，解得b；当抛物线在x轴的下方经过一、二、四象限时，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，x1+x2=2（b2）0，b210，=2（b2）24（b21）0，b20，b210，由得b，由得b2，此种情况不存在，b，故选A【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是会根据图象的位置得到关于b的不等式组解决问题【例题4】（2016·吉林·10分）如图1，在

35、平面直角坐标系中，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，以OB为边向上作等边三角形AOB，抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点（1）当m=2时，a=，当m=3时，a=；（2）根据（1）中的结果，猜想a与m的关系，并证明你的结论；（3）如图2，在图1的基础上，作x轴的平行线交抛物线l于P、Q两点，PQ的长度为2n，当APQ为等腰直角三角形时，a和n的关系式为 a=；（4）利用（2）（3）中的结论，求AOB与APQ的面积比【考点】二次函数综合题【分析】（1）由AOB为等边三角形，AB=2m，得出点A，B坐标，再由点A，B，O在抛物线上建立方程组，得出结论，最后代m=2，m=3，求值即

36、可；（2）同（1）的方法得出结论（3）由APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），建立方程组求解即可；（4）由（2）（3）的结论得到m=n，再根据面积公式列出式子，代入化简即可【解答】解：（1）如图1，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，B（2m，0），以OB为边向上作等边三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m， m），抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点，当m=2时，a=，当m=3时，a=，故答案为：，；（2）a=理由：如图1，点B在x轴正半轴上，OB的长度为2m，B（2m，0），以OB为边向上作等边三角形AOB，AM=

37、m，OM=m，A（m， m），抛物线l：y=ax2+bx+c经过点O，A，B三点，a=，（3）如图2，APQ为等腰直角三角形，PQ的长度为2n，设A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），P，Q，A，O在抛物线l：y=ax2+bx+c上，化简得，2aean+b=1，化简得，2aeanb=1，化简得，an=1，a=故答案为a=，（4）OB的长度为2m，AM=m，SAOB=OB×AM=2m×m=m2，由（3）有，AN=nPQ的长度为2n，SAPQ=PQ×AN=×2m×n=n2，由（2）（3）有，a=，a=，=，m=n，=，AOB与APQ的

38、面积比为3：1中考热点热点1：（2017齐齐哈尔）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E，D是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）直接写出点C和点D的坐标；（3）若点P在第一象限内的抛物线上，且SABP=4SCOE，求P点坐标注：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式；HA：抛物线与x轴的交点【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数b、

39、c的值，进而可得到抛物线的对称轴方程；（2）令x=0，可得C点坐标，将函数解析式配方即得抛物线的顶点C的坐标；（3）设P（x，y）（x0，y0），根据题意列出方程即可求得y，即得D点坐标【解答】解：（1）由点A（1，0）和点B（3，0）得，解得：，抛物线的解析式为y=x2+2x+3；（2）令x=0，则y=3，C（0，3），y=x2+2x+3=（x1）2+4，D（1，4）；（3）设P（x，y）（x0，y0），SCOE=×1×3=，SABP=×4y=2y，SABP=4SCOE，2y=4×，y=3，x2+2x+3=3，解得：x1=0（不合题意，舍去），x2=2

40、，P（2，3）热点2：（2017山东滨州）如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（4，0）、B（0，3），抛物线y=x2+2x+1与y轴交于点C（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得直线解析式；（2）过P作PHAB于点H，过H作HQx轴，过P作PQy轴，两

41、垂线交于点Q，则可证明PHQBAO，设H（m， m+3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C，由对称的性质可得CE=CE，则可知当F、E、C三点一线且CF与AB垂直时CE+EF最小，由C点坐标可确定出C点的坐标，利用（2）中所求函数关系式可求得d的值，即可求得CE+EF的最小值【解答】解：（1）由题意可得，解得，直线解析式为y=x+3；（2）如图1，过P作PHAB于点H，过H作HQx轴，过P作PQy轴，两垂线交于点Q，则AHQ=ABO，且AHP=90°，PHQ+AHQ=BAO+A

42、BO=90°，PHQ=BAO，且AOB=PQH=90°，PQHBOA，=，设H（m， m+3），则PQ=xm，HQ=m+3（x2+2x+1），A（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，=，整理消去m可得d=x2x+=（x）2+，d与x的函数关系式为d=（x）2+，0，当x=时，d有最小值，此时y=（）2+2×+1=，当d取得最小值时P点坐标为（，）；（3）如图2，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C，由对称的性质可得CE=CE，CE+EF=CE+EF，当F、E、C三点一线且CF与AB垂直时CE+EF最小，C（0，1），C（2，1），由（2

43、）可知当x=2时，d=×（2）2+=，即CE+EF的最小值为热点3：（2017深圳）如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使SABC=SABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；（3）由条件可证得BCAC，设直线AC和BE交于点F，过F作FMx轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx+2经过点A（1，0），B（4，0），解得，抛物线解析式为y=x2+x+2；（2）由题意可知C（0，2），A（1，0），B（4，0），AB=5，OC=2