清北学霸高考秘籍-与球有关的切、接问题探析汉堡模型.doc

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汉堡模型北大学霸高考数学提分秘籍【典例5】（2018届湖北襄阳一模）已知直三棱柱中，侧面的面积为，则直三棱柱外接球的半径的最小值为 【解析】由于直三棱柱中，所以的外接圆的圆心分别是的中点，外接球的球心就是的中点，设直三棱柱的高为，由于侧面的面积为，则，所以，当且仅当时取等号，故直三棱柱外接球的半径的最小值为.【试题点评】对于直棱柱，应用数学建模的素养，结合球与直棱柱的有关性质，建立“汉堡”模型，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心，球心到各个顶点的距离都等于球的半径， 如图所示，将有关信息嫁接到如图所示的中，利用勾股定理求解.【典例6】（2018届湖北武汉高三模考）如图，三棱锥内接于球，平面，则球的体积为 .【解析】由平面，则三棱锥为直三棱锥，将其放在直三棱柱中，设三棱柱上下两个底面的外心分别为，连接，则线段的中点即为球心，设外接圆的半径为，直三棱柱的高为，由正弦定理得， ，设外接球的半径，故球的体积为.【试题点评】采取割补法，将不规则图形转化为规则图形，将棱锥转化为直棱柱，再应用“汉堡”模型解决问题，本题棱锥的外接球亦即直棱柱的外接球，上下底面外接圆的圆心连线的中点即为球心.2