《中考课件初中数学总复习资料》专题53：第12章压轴题之实验操作类-备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

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1、53第12章压轴题之实验操作类一、单选题1在数学课上，老师让每个同学拿一张三角形纸片，设，要求同学们利用所学的三角形全等的判定方法，剪下两个全等的三角形下面是四位同学的裁剪方法，如图，剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有（ ）A1种B2种C3种D4种【答案】C【分析】利用全等三角形的判定定理一一排查即可【解答】如图1中，AB=AC，B=C，BE=FC=2，B=C，BF=CG=3，EBFFCG（SAS），剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片的有，如图2，AB=AC，B=C，BE=CG=3，B=C，BF=CF=2.5，BEFCGF（SAS），剪刀沿着箭头方向剪开，能得到

2、两个全等三角形小纸片，如图 3，AB=AC，B=C，EFG=，BEF+EFB=180º-xº=EFB+GFC，BEF=GFC，BE的对应边是FC，相等情况不确定，BEF与CGF全等不确定，如图4，AB=AC，B=C，EFG=，BEF+EFB=180º-xº=EFB+GFC，BEF=GFC，EB=FC=2，B=C，BEFCFG（ASA），剪刀沿着箭头方向剪开，能得到两个全等三角形小纸片故选择：C【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，从图形中找到三角形全等的条件是否充足，够条件可以断定，条件不够或不确定就不断定2勾股定理是人类

3、最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载，如图，以直角三角形的各边为边向外作等边三角形，再把较小的两个等边三角形按如图的方式放置在最大等边三角形内若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出图中（ ）A最大等边三角形与直角三角形面积的和B最大等边三角形的面积C较小两个等边三角形重叠部分的面积D直角三角形的面积【答案】C【分析】设三个等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，利用三角形面积的和与差可得结论【解答】解：如图，以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，设它们的面积分别为S1、S2、S3，则有S1+S2=S3，S1+S2+S阴影=S3+SEFG，S阴影=SEFG

4、，即知道图中阴影部分的面积，则一定能求出图中较小两个等边三角形重叠部分的面积，故选：C【点评】本题考查了勾股定理的证明和三角形的面积，直观识图是关键3折叠矩形纸片：第一步，如图1，在纸片一端折出一个正方形，再把纸片展开；第二步，如图2，把这个正方形对折，再把纸片展开，得矩形和；第三步，如图3，折出矩形的对角线，并把折到图中所示的处；第四步，如图4，展平纸片，按所得点折出，得矩形.则的值为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据图象折叠的性质，得，在中有，即，即可求得的值，且MN=BC，进而求得的值【解答】，在中有，即解得，即故选：C【点评】本题考查了矩形折叠和正方形折叠的性质，利用勾股定理解直角三

5、角形4将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF若 AB3，则 BC 的长为（ ）AB2C1.5D【答案】D【分析】设，先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，又根据菱形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得点共线，由此可得，最后在中，利用勾股定理即可得【解答】设，四边形ABCD是矩形，由折叠的性质得：，四边形AECF是菱形，在和中，即，点共线，在中，即，解得或（不符题意，舍去），即，故选：D【点评】本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出，从而得出点共线是解

6、题关键二、填空题5菱形ABCD中，AB=8,B=120°，沿过菱形不同的顶点裁剪两次，再将所裁下的图形拼接，若恰好能无缝，无重叠的拼接成一个矩形，则所得矩形的对角线长为_【答案】或者【分析】按两种情况讨论，根据题意可知两种情况可拼出的新矩形一样，再根据菱形的性质以及矩形的性质，由勾股定理求解即可得到新矩形的对角线的长度；【解答】解：分情况讨论，情况，如图，分别沿菱形的对角线AC、BD裁剪，将剪下的四个三角形重新拼接得到矩形 或者矩形 ，如图，AB=8,B=120°， , ，当拼成矩形时，有 , ,矩形对角线长为： ，当拼成矩形时，有 , ,矩形对角线长为：；情况，过B作BE

7、AD，过D作DFBC，分别沿BE、DF裁剪，将剪下的三角形和剩余的矩形重新拼接得到和一样的新矩形 或者矩形，如图，因此新矩形的对角线长为或者，故答案为：或者；【点评】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的判定与性质、勾股定理，学会分情况讨论以及勾股定理求解对角线是解题的关键；6如图是长方形纸带，将纸带沿折叠成图，则的度数_度，再沿折叠成图则图中的的度数是度_【答案】140° 120° 【分析】根据平行线的性质得，EFB=DEF，从而求出GFC的度数，进而求解求解【解答】ADBC，EFG=DEF=20°，在图b中，GFC=180°-2EFG=140°

8、，=180°-2DEF=140°GFE=GFC-EFB=140°-20°=120°故答案是：140°；120°【点评】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”，是解题的关键7如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，依次进行下去，则点A2017的坐标为_【答案】(21008，21009)【分析】根据一次函数图象上点的

9、坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，（n为自然数）”，依此规律结合2017=1008×2+1即可找出点的坐标【解答】由图可知：A1(1，2)，A2(2，2)，A3(2，4)，A4(4，4)，A5(4，8)，2017=504×4+1，点A2017在第一象限，2017=1008×2+1，A2n+1(2)n，2(2)n)(n为自然数)A2017的坐标为(2)1008，2(2)1008)=(21008，21009)故答案是：(21008，21009)【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象

10、上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键8如图，在三角形纸片中，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在斜边上的点处，折痕记为，剪去后得到双层，再沿着过某顶点的直线将双层三角形剪开，使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形，则所得平行四边形的面积是_【答案】【分析】利用三角函数先求解得到是的中垂线，由对折的性质求解分情况讨论， 如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，利用平行四边形的面积是三角形面积的倍，从而可得答案【解答】解：如图，

11、由对折设 是的中垂线， 在Rt中， ， 如图中，当时，沿着直线EF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形， 为等边三角形，过作于， 如图中，当FD=FB时，沿着直线DF将双层三角形剪开，展开后的平面图形中有一个是平行四边形，过作于， 综上：所得平行四边形的面积是故答案为：【点评】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定与性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质、含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题三、解答题9操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：（1）已知x=2，请画出

12、数轴表示出x的点：（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为基准等距变换点记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点I若m=3，则n= ；II用含m的代数式表示n= ；对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如

13、下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q7Qn，若P与Qn两点间的距离是4，直接写出n的值【答案】（1）见解析；（2）I，1；II 4-m ；2或6【分析】（1）在数轴上描点；（2）由基准点的定义可知，；（3）（3）设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，由题可知Q1与Q是基准点，Q2与Q1关于原点对称，Q3与Q2是基准点，Q4与Q3关于原点对称，由此规律可得到当n为偶数，Qn表示的数是m+8-

14、2n，P与Qn两点间的距离是4，则有|m-m-8+2n|=4即可求n；【解答】解：（1）如图所示，（2）2是基准点，m=3，3到2的距离是1，所以到2的距离是1的另外一个点是1，n=1；故答案为1；有定义可知：m+n=4，n=4-m；故答案为：4-m设点M表示的数是m，先乘以23，得到23m，再沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N为23m+2，点M与点N互为基准等距变换点，23m+2+m=4，m=；设P点表示的数是m，则Q点表示的数是m+8，如图，由题可知Q1表示的数是4-(m+8)，Q2表示的数是-4+(m+8)，Q3表示的数是8-(m+8)，Q4表示的数是-8+(m+8)，Q5表示的数是1

15、2-(m+8)，Q6表示的数是-12+(m+8)当n为偶数，Qn表示的数是-2n+（m+8），若P与Qn两点间的距离是4，|m-2n+(m+8)|=4，n=2或n=6【点评】本题考查新定义，数轴上数的特点；能够理解基准点的定义是解决问题的基础，从定义中探究出基准点的两个点是关于2对称的；（3）中找到Q的变换规律是解题的关键10如图，矩形ABCD中，ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F（1）当PEAB，PFBC时，如图1，则的值为 ；（2）现将三角

16、板绕点P逆时针旋转（0°60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论【答案】（1）；（2）；（3）变化.证明见解析.【分析】（1）证明APEPCF，得PE=CF；在RtPCF中，解直角三角形求得的值即可；（2）如答图1所示，作辅助线，构造直角三角形，证明PMEPNF，并利用（1）的结论，求得的值；（3）如答图2所示，作辅助线，构造直角三角形，首先证明APMPCN，求得；然后证明PMEPNF，从而由求得的值.与（1）（2）问相比较，的值发生了变化.【解答】（1）矩形

17、ABCD，ABBC，PA=PC.PEAB，BCAB，PEBC.APE=PCF.PFBC，ABBC，PFAB.PAE=CPF.在APE与PCF中，PAE=CPF，PA=PC，APE=PCF，APEPCF（ASA）.PE=CF.在RtPCF中，；（2）如答图1，过点P作PMAB于点M，PNBC于点N，则PMPN.PMPN，PEPF，EPM=FPN.又PME=PNF=90°，PMEPNF.由（1）知，.（3）变化.证明如下：如答图2，过点P作PMAB于点M，PNBC于点N，则PMPN，PMBC，PNAB.PMBC，PNAB，APM=PCN，PAM=CPN.APMPCN.，得CN=2PM.在

18、RtPCN中，.PMPN，PEPF，EPM=FPN.又PME=PNF=90°，PMEPNF.的值发生变化.11阅读材料如图1，三角形中，三角形的面积为10，为底边上一点，垂足分别为，易证解题过程如下：如图，连接，结论：过等腰三角形底边上的一点作两腰的高，两条高线之和等于等腰三角形面积的2倍再除以腰长类比探究如图2，在边长为5的菱形中，对角线，点是直线上的动点，于，于填空：对角线的长是_；菱形的面积是_探究：如图2，当点在对角线上运动时，求的值；拓展：当点在对角线和的延长线上时，请直接写出，之间的数量关系【答案】6； 24；当点P在对角线BD的延长线上时，；当点P在对角线DB的延长线上

19、时，【分析】（1）连接AC交BD于点O，根据菱形的性质及勾股定理即可得出；（2）根据菱形的性质得出ABD的面积为12，再结合材料即可得出答案；（3）分两种情况讨论：当点P在对角线BD的延长线上及当点P在对角线DB的延长线上时，根据菱形的性质及材料即可得出答案【解答】解：（1）连接AC交BD于点O四边形ABCD为菱形BD=8在中，（2）如图，在菱形ABCD中，由菱形性质得，ABD是等腰三角形，且菱形ABCD的面积为24，ABD的面积为12又PEAB，PFAD，根据阅读材料得，（3）当点P在对角线BD的延长线上时，如图，延长CD交PE于点M在菱形ABCD中，即DP平分；当点P在对角线DB的延长线上

20、时，如图延长CB交PF于点N，同理可得：【点评】本题考查了菱形的性质，灵活运用材料中的结论是解题的关键12综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，ABCDEF， 其中ACB=90°，BC=2，A=30°操作与发现： （1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ； （2）创新小组在图二的基础上，将DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合连接CE，BF四边形BCEF的形状是 ，CF= 操作与探究 ：（

21、3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论【答案】（1）矩形，4 ；（2）菱形，；（3）详见解析【分析】（1）由题意及图形可直接解答；（2）根据题意及图形，结合直角三角形的性质定理可直接得到答案；（3）根据旋转的性质及题意易得，然后得到四边形ACBF为平行四边形，最后问题得证【解答】（1）如图所示：ABCDEF， 其中ACB=90°，BC=2，A=30°，四边形ACBF是矩形，AB=4，AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所

22、示：ABCDEF， 其中ACB=90°，BC=2，A=30°，四边形ECBF是平行四边形，点E与AB的中点重合，CE=BE，是等边三角形，EC=BC，四边形ECBF是菱形，CF与EB互相垂直且平分，故答案为：菱形，；（3）证明：如图所示：为等边三角形四边形ACBF为平行四边形四边形ACBF为矩形【点评】本题主要考查特殊平行四边形的性质及判定、全等三角形的性质，关键是由题意图形的变化及三角形全等的性质得到线段的等量关系，然后结合特殊平行四边形的判定方法证明即可13下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程已知：如图，直线和直线外一点求作：直线，使直线

23、直线作法：如图，在直线上任取一点，作射线；以为圆心，为半径作弧，交直线于点，连接；以为圆心，长为半径作弧，交射线于点；分别以为圆心，大于长为半径作弧，在的右侧两弧交于点；作直线；所以直线就是所求作的直线根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知平分，又，(_)(填依据1)，直线直线(_)(填依据2)【答案】（1）作图见解析；（2）等边对等角；同位角相等，两直线平行【分析】（1）依照画图做法作图即可；（2）根据等边对等角以及平行线的判定解答即可.【解答】解：（1）根据题中画图过程可得：如图，PQ即为所作图形；（2）由作图可知平分，又，（

24、等边对等角），直线直线（同位角相等，两直线平行）【点评】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理论证.14如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，为格点，为小正方形边的中点.（1）的长等于_；（2）点，分别为线段，上的动点，当取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段，并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）.【答案】（1）5；（2）见解析【分析】（1）直接利用勾股定理计算可得；（2）令BC与网格交于P，再分别取网格线中点G和H，连接，与AC交于Q，从而可得.【解答】解：（1）由图可得：AC=，故答案为：5；（2）如

25、图，与网格线相交，得点；取格点，连接，与网格线相交，得点，取格点，连接，与网格线相交，得点，连接，与相交，得点.连接，.线段，即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：AB=，BC=，AC=5，ABC为直角三角形，ABC=90°，tanACB=2，tanBCT=PT：TC=2，ACB=BCT，即BC平分ACT，根据画图可知：GHBC，ACB=CQH，BCT=GHC，BCT=BCA，CQH=GHC，CQ=CH，由题意可得：BS=CH，BS=CQ，又BP=CP，PBS=PCQ，BPSCPQ，PSB=PHC=90°，即PQAC，PD+PQ

26、的最小值即为PD+PT，所画图形符合要求.【点评】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型15实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平 问题解决：（1）如图1，填空：四边形的形状是_；（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若，求的值【答案】（1）正方形

27、；（2），见解析；（3）【分析】（1）有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形；（2）连接，由（1）问的结论可知，又因为矩形纸片沿过点E的直线折叠，可知折叠前后对应角以及对应边相等，有，可以证明和全等，得到，从而有；（3）由，有；由折叠知，可以计算出；用勾股定理计算出DF的长度，再证明得出等量关系，从而得到的值【解答】（1）解：ABCD是平行四边形，四边形是平行四边形矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处四边形的形状是正方形故最后答案为：四边形的形状是正方形；（2）理由如下：如图，连接，由（1）知：四边形是矩形，由折叠知：又，（3），由折叠知：，设，则在中，由勾股定理得：解得：

28、，即如图，延长交于点G，则，【点评】（1）本问主要考查了正方形的定义，即有一组邻边相等且一个角为直角的平行四边形是正方形，其中明确折叠前后对应边、对应角相等是解题的关键；（2）本问利用了正方形的性质以及折叠前后对应边、对应角相等来证明三角形全等，再根据角相等则边相等即可做题，其中知道角相等则边相等的思想是解题的关键；（3）本问考查了全等三角形、相似三角形的性质、角相等则正切值相等以及勾股定理的应用，其中知道三角形相似则对应边成比例是解题的关键16综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能例如教材八年级下册的数学活动折纸，就引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进

29、一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图（1）折痕BM （填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中ABN是什么特殊三角形？答： ；进一步计算出MNE °；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图，则GBN °；拓展延伸：（3）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S

30、，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT求证：四边形SATA'是菱形解决问题：（4）如图，矩形纸片ABCD中，AB10，AD26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9请写出以上4个数值中你认为正确的数值 【答案】（1）是；等边三角形；60°；（2）15°；（3）见解析；（4）7、9【分析】（1）由折叠的性质可得ANBN，AEBE，NEA90°，BM垂直平分AN，BAMBNM90°，可证ABN是等边三角形，由等边三角形的性

31、质和直角三角形的性质可求解；（2）由折叠的性质可得ABGHBG45°，可求解；（3）由折叠的性质可得AOA'O，AA'ST，由“AAS”可证ASOA'TO，可得SOTO，由菱形的判定可证四边形SATA'是菱形；（4）先求出AT的范围，即可求解【解答】解：（1）如图对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，EF垂直平分AB，ANBN，AEBE，NEA90°，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，BM垂直平分AN，BAMBNM90°，ABBN，ABANBN，ABN是等边三角形，EBN60°，ENB30°，MNE60

32、°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，ABGHBG45°，GBNABNABG15°，故答案为：15°；（3）折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，ST垂直平分AA'，AOA'O，AA'ST，ADBC，SAOTA'O，ASOA'TO，ASOA'TO（AAS）SOTO，四边形ASA'T是平行四边形，又AA'ST，边形SATA'是菱形；（4）折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，ATA'T，在RtA'

33、TB中，A'TBT，AT10AT，AT5，点T在AB上，当点T与点B重合时，AT有最大值为10，5AT10，正确的数值为7，9，故答案为：7，9【点评】本题考查矩形和菱形的性质和判定,关键在于结合图形,牢记概念.17将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点E，F分别在边，上沿着折叠该纸片，使得点A落在边上，对应点为，如图再沿折叠，这时点E恰好与点C重合，如图（）求点C的坐标；（）将该矩形纸片展开，再折叠该矩形纸片，使点O与点F重合，折痕与相交于点P，展开矩形纸片，如图求的大小；点M，N分别为，上的动点，当取得最小值时，求点N的坐标（直接写出结果即可）【答案】（）（），【分析】（

34、）由翻折的性质可知，再由正方形的性质和勾股定理可得OE，继而即可求解；（）连接，由题意和（）可知，而，由等角对等边可知，设，则，然后根据翻折的性质可知即，把x代入列出方程，解方程求出，根据相似三角形的判定可证, ，再根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和即可求解；利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质可判断M、N的位置，进而根据题意即可求解【解答】解：（）点，由两次折叠可知，是正方形在中，点C的坐标为（）如图，连接，由和（）可知，而，故，设，则，由即，得，解得所以则有得又，则，即如图所示，过点P作OC于点，交OF于点M，作关于OF的对称点N，连接MN，此时取得最小值时，且，过点N作NG

35、x轴于点G，由（）知，AOE45°,NOG90°45°45°OGNG 【点评】本题主要考查几何变换的综合题，涉及到翻折的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质等知识点，熟练运用所学知识是解题的关键18折纸是一种许多人熟悉的活动近些年，经过许多人的努力，已经找到了多种将正方形折纸的一边三等分的精确折法，下面探讨其中的一种折法：（综合与实践）操作一：如图1，将正方形纸片ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合，再将正方形纸片ABCD展开，得到折痕MN；操作二：如图2，将正方形纸片ABCD的右上角沿MC折叠，得到点D的对应的点为D；操作

36、三：如图3，将正方形纸片ABCD的左上角沿MD折叠再展开，折痕MD与边AB交于点P；（问题解决）请在图3中解决下列问题：（1）求证：BPDP；（2）AP：BP ；（拓展探究）（3）在图3的基础上，将正方形纸片ABCD的左下角沿CD折叠再展开，折痕CD与边AB交于点Q再将正方形纸片ABCD过点D折叠，使点A落在AD边上，点B落在BC边上，然后再将正方形纸片ABCD展开，折痕EF与边AD交于点E，与边BC交于点F，如图4试探究：点Q与点E分别是边AB，AD的几等分点？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）2：1；（3）点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点，理由见解析【分析】（1）如图1，

37、连接PC，根据正方形的性质、HL定理证明CDPCBP，根据全等三角形的性质得出结论；（2）设BPx，根据翻转变换的性质、勾股定理列出方程，解方程即可；（3）如图2，连接QM，证明RtAQMRtDQM（HL），得到AQDQ，设正方形ABCD的边长为1，AQQDy，根据勾股定理列出方程，解方程即可【解答】（1）证明：如图1，连接PC四边形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDAD，MDCD90°，CDPB90°，在RtCDP和RtCBP中， RtCDPRtCBP（HL），BPDP；（2）解：设正方形纸片ABCD的边长为1则AMDMDM设BPx，则MPMD+DP

38、DM+BP+x，AP1x，在RtAMP中，根据勾股定理得AM2+AP2MP2（）2+（1x）2（+x）2，解得x，BP，AP，AP：BP2：1，故答案为：2：1（3）解：点Q是AB边的四等分点，点E是AD边的五等分点理由：如图2，连接QMQDM180°MDC90°，QDMA90°在RtAQM和RtDQM中，RtAQMRtDQM（HL），AQDQ，设正方形ABCD的边长为1，AQQDy，则QPAPAQy在RtQPD中，根据勾股定理得QD2+DP2QP2DPBP，y2+（）2（y）2，解得yAQ：AB1：4，即点Q是AB边的四等分点，EFAB，即，解得AE点E为AD的

39、五等分点【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，翻转变换的性质全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及方程思想是解题的关键19问题情境在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE操作发现（1）如图1，设PAB=25°则ADF= °（2）“梦想小组”的同学们发现，BEF的度数是一个定值，这个值为 （3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式

40、，并说明理由：拓展应用（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF=3，EF=4，直接写出正方形ABCD的边长【答案】（1）70°；（2）45°；（3）EF2+DF2=2AB2，详见解析；（4）5【分析】（1）利用折叠得出BAP=EAP=25°，进而求出BAE=50°，即可得出结论；（2）设BAP=，先求出AED=45°+，再求出AEB，即可得出结论；（3）利用（2）判断出BFE=90°，即BDF是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论；（4）先判断出AED=ABF

41、，再判断出AED=ADE，即可得出BFD=90°，即可得出结论【解答】解：（1）PAB=25°，由折叠知，PAB=EAP=25°，BAE=50°，四边形ABCD是正方形，BAD=90°，DAE=40°，ADF=（180°40°）=70° （2）设BAP=，由折叠知，AE=AD，EAF=BAF=，四边形ABCD是正方形，AB=AD，BAD=90°，AD=AE，DAE=90°BAE=90°2，AED=（180°DAE）=90°DAE=90°（90&#

42、176;2）=45°+，由折叠知，BEAP，AEB+EAF=90°，AEB=90°EAF=90°，BEF=180°AEBAED=180°（90°）（45°+）=45°，故答案为：45°； （3）EF2+DF2=2AB2； 理由：如图1，连接BF，由折叠知，BF=EF，BEF=EBF，由（2）知，BEF=45°，BFE=90°，连接BD，BDF是直角三角形，BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，BD是正方形ABCD的对角线，BD2=2AB2，EF2+DF2=2AB2； （4）

43、如图2，连接BD，BF，由折叠知，BEF=EBF，AEB=ABE，AED=ABF，由折叠知，EF=BF，AE=AB，四边形ABCD是正方形，BAD=90°，AB=AD，AE=AD，AED=ADE，ABF=ADE，AOB=FOD，BFD=BAD=90°BDF是直角三角形，BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，BD是正方形ABCD的对角线，BD2=2AB2，EF2+DF2=2AB2，DF=，EF=，2AB2=32+18=50，AB=5即：正方形ABCD的边长为5【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，直角三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是判断出BEF=45°20如图，将一条长为