第四章代数系统精选PPT.ppt

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1、第四章代数系统第1页，此课件共52页哦人们研究和考察现实世界中的各种现象或过程，往往要借助某些数学工具。譬如，在微积分学中，可以用导数来描述质点运动的速度，可以用定积分来计算面积、体积等；在代数学中，可以用正整数集合上的加法运算来描述工厂产品的累计数，可以用集合之间的“并”、“交”运算来描述单位与单位之间的关系等。第2页，此课件共52页哦针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进行较为确切的描述，这就是所谓的“数学模型”。可见，数学结构在数学模型中占有极为重要的位置。我们这里所要研究的是一类特殊的数学结构由集合上定义若干个运算而组成的系统。我们通常称它为代数结构。它在计算机科学中有着广泛的应用。第

2、3页，此课件共52页哦代数系统代数结构是研究代数系统的一般性质以及各种特殊代数系统的学科，是近世代数或抽象代数学研究的中心问题,是数学中最重要的、基础的分支之一,是在初等代数学的基础上产生和发展起来的.它起始于19世纪初,形成于20世纪30年代.第4页，此课件共52页哦代数系统本章给出代数系统的一般定义与实例,讨论代教系统的基本性质,介绍代数系统的主要概念,如同态、同构、同余关系、商代数等.第5页，此课件共52页哦代数系统之运算在正式给出代数系统的定义之前,先来说明什么是在一个集合上的运算,因为运算这个概念是代数结构中不可缺少的概念.定义定义:设S是一个非空集合，函数f：SnS称为S上的一个n

3、元运算，n称为运算f的阶数。当 n=1时,称f为一元运算,当n=2时,称f为2元运算,等等 注意注意:n元运算是个闭运算,因为经运算后产生的象仍在同一个集合中.封闭性表明了n元运算与一般函数的区别之处.第6页，此课件共52页哦代数系统之运算例1(1)加法、乘法运算是自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R上的二元运算。但除法不是，因为0不能做除数，因而在上述集合中除法运算封闭性不成立。(2)非0实数集R0上的乘法、除法运算是R0上的二元运算。但加法、减法不是.因为加法、减法运算得到的结果0不在集合R0中，因而对于加法和减法运算封闭性不成立。第7页，此课件共52页哦代数系统之运算例2：设S是一

4、个集合，集合的并、交是P(S)上的二元运算。例3：设R是实数集，令f:a+b-ab,则f是R上的二元运算例4：设R是实数集G:mina,bH:maxa,b第8页，此课件共52页哦 例例5：设Zm0，1，m1是模m同余关系所有剩余类组成的集合，在Zm上定义运算m和m为：对任意的a、bZm，ambab，ambab，则m和m是Zm上的二元运算。需要说明运算结果是惟一确定的，即与代表元的选取无关。对于任意的a、a、b、bZm，若aa，bb，则m|(aa)，m|(bb)。因而，m|(aa)(bb)，m|(a(bb)(aa)b)，即m|(ab)(ab)，m|(abab)，有abab，abab。这就证明了m

5、和m是Zm上的二元运算。代数系统之运算第9页，此课件共52页哦代数系统之运算定义：设f是A上的运算，S A,如果对X1,X2,Xn S，f(X1,X2,Xn)S,则称S对运算f是封闭的譬如：自然数集对实数集上的加、乘运算封闭，但对实数集上的减法、除法运算不是封闭第10页，此课件共52页哦 当S为有限集合时，S上的二元运算可以列表给出，称其为S关于该运算的运算表。设Sa1，a2，an，*是S上的二元运算，则S的运算表如下表所示:见P67 例7，8代数系统之运算第11页，此课件共52页哦1.结合律结合律 定义：定义：若对任意的x、y、zS有(x*y)*zx*(y*z)，则称二元运算*是可结合的，或

6、说*满足结合律。例：对任意的a、bA有a*bb，则*是可结合的。因为对任意的a、b、cA，有(a*b)*ccb*ca*(b*c)。代数系统之运算的性质第12页，此课件共52页哦代数系统之运算的性质2.交换律交换律 定义定义:若对任意的x、yS有x*yy*x，则称二元运算*是可交换的，或说*满足交换律。例：对任意的a、bQ有a*babab，则运算*是可交换的。因为a*bababbabab*a。第13页，此课件共52页哦3.分配律分配律 定义定义:对任意x、y、zS，若x*(yz)(x*y)(x*z)，则称*对满足左分配律；若(yz)*x(y*x)(z*x)，则称*对满足右分配律；若两者都满足，则

7、称*对满足分配律。例：对，则m对m满足分配律。证明 对任意 a、b、cZm，有 (amb)mcabmc(ab)cacbc acmbc(amc)m(bmc)同理可证 c m(amb)c m am c m b。因此，m对m满足分配律。第14页，此课件共52页哦4 可约律与可约元可约律与可约元 定义：定义：若对任意的x、y、zS，x*yx*z，有yz，则称*满足左可约律，x是关于*的左可约元；若对任意的x、y、zS，y*xz*x，有yz，则称*满足右可约律，x是关于*的右可约元。若两者都满足，则称*满足可约律，x是关于*的可约元。例：在中，R中的任意非0元均为可约元。第15页，此课件共52页哦5.吸

8、收律吸收律 设*，是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,yA,都有 x*(xy)=x x(x*y)=x则称运算*和运算满足吸收律。第16页，此课件共52页哦 定义定义:一个非空集合A连同若干个定义在S上的运算f1、f2、fm组成的系统称为代数系统，记作。集合A的基数称为代数系统的基数。由定义可知，一个代数系统需满足以下2个条件：(1)有一个非空集合A。(2)有建立在A上的一些运算（运算在A上是封闭的）。代数系统第17页，此课件共52页哦（一个二元运算 ）两个运算有逆元两个运算有单位元代数系统代数系统结合律 半群半群 单位元、逆元 群群循环群循环群可换群可换群变换群变换群子群子

9、群循环半群循环半群单元半群单元半群可换半群可换半群整环整环域域商环商环理想理想有补格有补格有界格有界格布尔代数布尔代数正规子群、商群正规子群、商群特殊环特殊子环两个运算的单位元、逆元 （两个二元运算：,)两个运算的结合律、交换律、吸收律 格格 两个运算的分配律 分配格分配格单位元，无零因子（两个二元运算：,)可换群,半群,对分配群 环环 交换律 可换环可换环 单位元,逆元交换律单位元生成元交换律生成元子集上的群特殊群特殊群第18页，此课件共52页哦代数系统例：自然数集、整数集、有理数和实数集在通常的加和乘下构成代数系统例：模n剩余类Zn在模+，*下也构成代数系统例：设A是一个集合，在A上规定运

10、算*如下：第19页，此课件共52页哦 例：设和是两个代数系统，其中*和+均是二元运算。在集合ST上定义运算为：，则构成代数系统。证明 对于任意的、ST，有a、cS和b、dT。由是代数系统可得，a*cS且惟一确定。由是代数系统可得，b+dT且惟一确定。因此，对于运算来说，ST且惟一确定，故构成代数系统。第20页，此课件共52页哦定义：定义：设是一个代数系统，T是S的一个非空子集，若T在运算f1、f2、fm下是封闭的，则称是的子代数系统。例：设E是所有偶数组成的集合，则代数系统是的子代数系统。第21页，此课件共52页哦定义定义：设代数系统，且存在el、er、eS，对任意xS，若el*xx，则称el

11、是S中关于*的一个左单位元；若x*er x，则称er是S中关于*的一个右单位元。若e关于*既是左单位元又是右单位元，则称e为S中关于*的单位。例例：(1)在中，运算的单位元是0，运算的单位是1，因为x00 xx，x11xx。(2)在中，运算m的单位是0，运算m的单位元是1。(3)在中，运算的单位元是，运算的单位元是A。第22页，此课件共52页哦 例：设Sa，b，c，d，在S上定义运算*和如下表所示，试指出关于*和的左单位元或右单位元。解 b、d是S中关于*的左单位元，关于*没有右单位元；a是S中关于的右单位元，关于没有左单位元。第23页，此课件共52页哦 定理：定理：设是一个代数系统，el、e

12、r分别为S中关于*的左单位元和右单位元，则有el er e，且e是S中关于*的惟一的单位元。证明 (1)由er为右单位元得elel*er，由el为左单位元得erel*er，所以el er。(2)令eel er，即e是单位元。若e也是S关于*的单位元，则ee*ee，所以e是惟一的。第24页，此课件共52页哦例：例：a)a)、代数、代数 N N，+中仅有单位元中仅有单位元0 0，b)b)、A=A=aa，b b，cc，*由下表定义：由下表定义：*a b ca a a bb a b cc a c cb b是单位元是单位元,第25页，此课件共52页哦定义：定义：设是一个代数系统，e是S中关于*的单位元。

13、对于xS，若存在yl S使得yl*xe，则称yl是x的左逆元；对于xS，若存在yr S使得x*yr e，则称yr是x的右逆元。对于xS，若存在yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称x是可逆的，y为x的逆元，通常记为x1。第26页，此课件共52页哦第27页，此课件共52页哦 一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元，并且一个元素可以有左逆元而没有右逆元，也可以有右逆元而没有左逆元。甚至一个元素的左或右逆元还可以不是惟一的。定理：定理：设是一个代数系统，e为其幺元，*是可结合的，则：(1)若一个元素x的左逆元xl和右逆元xr存在，则xlxr。(2)若一个元素x的逆元x1存在，则x1是惟一的。证明

14、(1)xlxl*exl*(x*xr)(xl*x)*xre*xrxr。(2)若xS也是x的逆元，则xx*ex*(x*x1)(x*x)*x1e*x1x1。第28页，此课件共52页哦幂等律与幂等元幂等律与幂等元 定义：定义：设是一个代数系统，若对任意的xS有x*xx，则称*是幂等的，或说*满足幂等律。若aS，使得a*aa，则称a是幂等元。例：给定，则和都满足幂等律。因为对任意的BP(A)，有BBB，BBB，所以B是运算和的幂等元。第29页，此课件共52页哦定义：定义：设代数系统，且存在l、r、S，对任意的xS，若l*x l，则称l是S中关于*的一个左零元；若x*rr，则称r是S中关于*的一个右零元。

15、若关于*既是左零元又是右零元，则称为S中关于*的零元。例例（1)在中，0是零元，因为对任意的aZm，有am00ma0。(2)在中，运算的零元是A，运算的零元是。定理：定理：设是一个代数系统，l、r分别为*的左零元和右零元，则有lr且是S上关于*的惟一的零元。第30页，此课件共52页哦 定理定理设是一个代数系统，|S|1，若存在单位元e和零元，则e。证明 反证法。若e，则对任意的xS，必有xe*x*x，可见S中的元素都相同，与|S|1矛盾。所以e。第31页，此课件共52页哦 例：设Sa，b，c，且对任意的x、yS有x*yx。列出运算表，并判断*的性质和相应的特殊元素。解 运算表如下表所示 由运算

16、表可知：*是封闭的；*是不可交换的，因为运算表不对称；a、b、c是关于*的右单位元，但无左单位元；a、b、c是关于*的左零元，但无右零元；*是可结合的。第32页，此课件共52页哦代数系统的同态与同构代数系统的同态与同构 定义：定义：设代数系统和是同类型的，若存在映射f：XY，使得对任意的x、yX，有f(x*y)f(x)+f(y)，则称f是到的同态映射，简称同态。第33页，此课件共52页哦第34页，此课件共52页哦例：证明代数系统与代数系统是同态的。证明 令f：ZZm，f(x)x，则 对任意的x、yZ，有 f(xy)xyxmyf(x)m f(y)f(xy)xyxmyf(x)m f(y)所以f是Z

17、到Zm的同态映射。故 与 同态第35页，此课件共52页哦定义定义：若f是代数系统到的同态映射，则称 是在f下的同态像。定义：若f是代数系统到的同态映射，则：(1)如f为满射，称f是到的满同态映射。(2)如f为单射，称f是到的单同态映射。(3)如f为双射，称f是到的同构映射，记为。第36页，此课件共52页哦 定理：定理：若f是代数系统到的同态映射，则是的子代数系统。证明 因为f是代数系统到的同态映射，有f(X)Y，且对于任意的y1、y2f(X)，存在x1、x2X，使得f(x1)y1和f(x2)y2，而且存在x3X，使得x1*x2x3X，所以y1+y2f(x1)+f(x2)f(x1*x2)f(x3

18、)f(X)。可见，f(X)在+下是封闭的。因此，是的子代数系统。第37页，此课件共52页哦第38页，此课件共52页哦 定理：定理：若f是代数系统到的满同态映射，则：(1)如果*满足结合律，则也满足结合律。(2)如果*满足交换律，则也满足交换律。(3)如果*满足幂等律，则也满足幂等律。(4)满同态保持单位元，e是X的单位元，则 f(e)是Y的单位元 (5)满同态保持逆元第39页，此课件共52页哦 证明 (1)因f是到的满同态，则对任意y1、y2、y3Y，存在x1、x2、x3X，使f(x1)y1，f(x2)y2，f(x3)y3，且f(x1*(x2*x3)f(x1)f(x2*x3)f(x1)(f(x

19、2)f(x3)y1(y2y3)f(x1*x2)*x3)f(x1*x2)f(x3)(f(x1)f(x2)f(x3)(y1y2)y3由*满足结合律得x1*(x2*x3)(x1*x2)*x3，于是y1(y2y3)(y1y2)y3。故也满足结合律。(2)因f是到的满同态映射，所以对任意 y1、y2Y，存在 x1、x2X，使得f(x1)y1和f(x2)y2，且f(x1*x2)f(x1)f(x2)y1y2，f(x2*x1)f(x2)f(x1)y2y1。由*满足交换律得x1*x2x2*x1，于是y1y2y2y1。故也满足交换律。第40页，此课件共52页哦 (3)因f是到的满同态映射，所以对任意的yY，存在x

20、X，使得f(x)y，而且有f(x*x)f(x)f(x)yy。由*满足幂等律得x*xx，于是yyy。故也满足幂等律。定理：定理：代数系统之间的同构关系是等价关系。证明 因恒等映射是同构映射，则。若，且f是到的同构映射，则f1是到的同构映射，所以。若且，且f、g分别是到和到的同构映射，则g。f是到 的同构映射，所以。所以，同构关系是等价关系。第41页，此课件共52页哦定义定义：若f是代数系统到的同态映射，则称f是自同态。若f是到的同构映射，则称f是自同构。第42页，此课件共52页哦同余关系与商代数同余关系与商代数 定义：定义：给定代数系统及S上的等价关系，若对任意的x、y、x、yS，由xx、yy有

21、(x*y)(x*y)，则称是上的一个同余关系。同余关系的等价类称为同余类。第43页，此课件共52页哦 例例:Z上的“模m同余关系”是上的一个同余关系。其中，和为普通的加法和乘法。证明 已知是等价关系。对任意的x、y、x、yZ，若xx、yy，则m|(xx)，m|(yy)，于是m|(xx)(yy)，m|(xx)yx(yy)，从而m|(xy)(xy)，m|(xyxy)，所以(xy)(xy)，xyxy。故和是同余关系。因此，是上的一个同余关系。第44页，此课件共52页哦例例:设Aa，b，c，d，其中*定义如下表所示，A上的等价关系R，则R不是上的同余关系。解 因为、R，但R，所以R不是上的同余关系。第

22、45页，此课件共52页哦 定义：定义：设是代数系统上的一个同余关系，且由对S所产生的同余类构成一个商集S/，在S/中定义运算如下：xyx*y，称代数系统为的商代数。定理：定理：设是代数系统上的一个同余关系，则存在一个到的满同态。证明 令f：SS/，f(x)x，其中xS。任取xS/，则有xS使得f(x)x，所以f是满射。任取x1、x2S，由定义有f(x1*x2)x1*x2，而f(x1)f(x2)x1x2x1*x2，所以f(x1*x2)f(x1)f(x2)。故f是到的满同态。第46页，此课件共52页哦 定理：定理：设且f是代数系统与的同态映射，对应于R定义为：xRyf(x)f(y)，x、yS，则R

23、是上的同余关系，并称R为由f诱导的同余关系。证明 易证R是S上的等价关系。设x1、x2、y1、y2S且x1R x2和y1R y2，则由R的定义可知f(x1)f(x2)和f(y1)f(y2)。于是f(x1)+f(y1)f(x2)+f(y2)。又因为f是到的同态映射，所以f(x1)+f(y1)f(x1*y1)和f(x2)+f(y2)f(x2*y2)。因此，f(x1*y1)f(x2*y2)。再由R的定义得(x1*y1)R(x2*y2)，故R满足代换性。因此，R为上的同余关系。第47页，此课件共52页哦 定理：定理：设f是 到 的满同态，R为f诱导的同余关系，为S对R的商代数，则。证明 令h：S/RT，h(xR)f(x)，其中xS。第48页，此课件共52页哦第49页，此课件共52页哦 定义：定义：设代数系统和是同类型的，在ST中定义运算如下：，其中和ST，则称为和的积代数。和称为的因子代数。例：给定代数系统和，其中S0，1，T0，1，2，*和的运算表如下表所示，求。直积第50页，此课件共52页哦 解 是和的积代数，其中ST，定义为：，其中x、sS，y、tT，的运算表如下表所示：第51页，此课件共52页哦第52页，此课件共52页哦