第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法课件.ppt

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1、第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第1页，此课件共107页哦4.1 非线性问题及分类非线性问题及分类在分析线性弹性问题时，假定：应力应变线性关系结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）加载时边界条件的性质不变 如果不满足上述条件之一，就称为如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题非线性问题非线性结构的基本特征：变化的结构刚度第2页，此课件共107页哦非线性问题可以分为三类：材料非线性：体系的非线性由材料的应力应变关系的非线性引起。如金属变形弹塑性行为、橡胶的超弹性行为等几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化。如板壳的大挠度问题平衡方程必须建立于变形后的状态接触非线性：接触状

2、态的变化所引起。如金属成形、跌落试验、多零件装配体等第3页，此课件共107页哦碰到障碍物的悬臂梁（碰到障碍物的悬臂梁（端部端部碰到障碍物时，梁端部的碰到障碍物时，梁端部的边界条件发生了突然变化，边界条件发生了突然变化，阻止了进一步的竖向挠度。阻止了进一步的竖向挠度。）板料的冲压成形接触非线性例子接触非线性例子第4页，此课件共107页哦随着有限元算法理论、计算机硬件和软件技术的进步及实际工业的需求，CAE技术的应用逐步由线性模拟为主向非线性模拟为主快速发展。1969年，第一个商业非线性有限元程序Marc诞生。目前几乎所有的商业有限元软件都具备较强的非线性问题的分析求解能力。非线性求解技术的先进性

3、与稳健性已经成为衡量一个结构分析程序优劣的标准。第5页，此课件共107页哦非线性问题的有限元求解方法非线性问题的有限元求解方法非线性方程(组)的求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代法修正的Newton-Raphson迭代法非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）每个增量步采用Newton-Raphson迭代法非线性问题有限元控制方程：第6页，此课件共107页哦非线性方程的迭代求解方法非线性方程的迭代求解方法直接迭代法Newton-Raphson迭代修正的N-R迭代第7页，此课件共107页哦非线性方程组的迭代求解方法非线性方程组的迭代求解方法第8页，此课

4、件共107页哦直接迭代法N-R迭代修正的N-R迭代第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第9页，此课件共107页哦非线性问题的增量法求解过程非线性问题的增量法求解过程(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加第10页，此课件共107页哦(1)将总的外力载荷分为一系列载荷段第11页，此课件共107页哦(2)(2)在每一载荷段中进行迭代，直至收敛在每一载荷段中进行迭代，直至收敛N-R迭代:第12页，此课件共107页哦(3)(3)所有载荷段循环，并将结果进行累加所有载荷段循环，并将结果进行累

5、加第13页，此课件共107页哦4.2 材料非线性问题及分类材料非线性问题及分类概念：由于材料的应力应变非线性关系引起的非线性。分类：不依赖时间的弹、塑性问题非线性弹性橡胶弹塑性冲压成形依赖于时间的粘（弹、塑）性问题蠕变载荷不变，变形随时间继续变化松弛变形不变，应力随时间衰减第14页，此课件共107页哦非线性弹性材料行为非线性弹性材料行为橡胶应力应变关系曲线第15页，此课件共107页哦弹塑性材料进入塑性的特征：载荷卸去后存在不可恢复的永久变形。应力应变之间不是单值对应关系，与加载历史有关。第16页，此课件共107页哦单轴应力状态下弹塑性材料行为单轴（一维）应力状态下材料的应力应变行为可以从拉伸试

6、验中获得。第17页，此课件共107页哦第18页，此课件共107页哦单调加载单调加载硬化塑性理想弹塑性第19页，此课件共107页哦各向同性硬化:运动硬化:混合硬化:反向加载反向加载运动硬化各向同性硬化混合硬化第20页，此课件共107页哦 在简单拉伸的情况下在简单拉伸的情况下，当材料发生塑性变形后卸载，此后再重，当材料发生塑性变形后卸载，此后再重新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载新加载，则应力和应变的变化仍服从弹性关系，直至应力到达卸载前曾经达到的最高应力点时，材料才前曾经达到的最高应力点时，材料才再次屈服再次屈服（后继屈服后继屈服）。）。这个最高应力点的应力就是材料在经历

7、了塑性变形后的新的屈这个最高应力点的应力就是材料在经历了塑性变形后的新的屈服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应力大。服应力。由于材料的强化特性，它比初始屈服应力大。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第21页，此课件共107页哦为了与初始屈服应力相区别，我们称之为为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力后继屈服应力。与初始屈服应力不同，与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史于塑性变形的大小和历史。后继屈服应力是在简单拉伸下，材料后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形

8、在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第22页，此课件共107页哦 和简单应力状态相似，材料和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下在复杂应力状态下同样同样存在初始存在初始屈服和后继屈服的问题屈服和后继屈服的问题。材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变形后，材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹性状态后继弹性状态）。）。第四章第四章 弹塑性

9、有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第23页，此课件共107页哦 把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的准则就称把复杂应力状态下，确定材料后继弹性状态的界限的准则就称为为后继屈服条件后继屈服条件，又称为，又称为加载条件加载条件。问题问题:当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变形）当材料处于后继弹性状态而继续加载时，应力（或变形）发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？发展到什么程度材料再一次开始屈服呢？第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第24页，此课件共107页哦一般应力状态下弹塑性材料行为一般应力状态下弹塑性材料行

10、为屈服准则（初始屈服条件）硬化法则 （后继屈服函数、加载函数、加载曲面）流动法则加载、卸载准则第25页，此课件共107页哦屈服准则（初始屈服条件）屈服准则（初始屈服条件）在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始在单向受力情况下，当应力达到材料的屈服强度时材料开始产生塑性变形。产生塑性变形。对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定对于一般复杂的应力状态，应力状态由六个应力分量决定时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料时，显然不能根据某个单独应力分量的数值作为判断材料是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐标是否进入塑性变形的标准。为此，引入以应力分量为坐

11、标的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果，可以定的应力空间，根据代表不同应力路径的实验结果，可以定出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。出从弹性阶段进入塑性阶段的各个界限，即屈服应力点。在应力空间中，这些屈服应力点形成一个在应力空间中，这些屈服应力点形成一个区分弹性和塑性的区分弹性和塑性的分界面分界面屈服面。屈服面。描述这个屈服面的数学表达式就是我们所要描述这个屈服面的数学表达式就是我们所要寻求的一般应力状态下的屈服准则。寻求的一般应力状态下的屈服准则。第26页，此课件共107页哦常用的各向同性Von-Mises屈服准则：各向同性屈服准则：各个方向屈服应力相同各向异性屈服准则：

12、不同方向屈服应力有差异第27页，此课件共107页哦三维主应力空间平面上的屈服轨迹3=0平面上的屈服轨迹第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第28页，此课件共107页哦硬化法则硬化法则塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服函塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲面）数（又称加载函数或加载曲面）各向同性硬化各向同性硬化运动硬化运动硬化混合硬化混合硬化第29页，此课件共107页哦运动硬化：该模型假设材料随塑性变形发展时，屈服面的大小和形状不变，仅是整体在应力空间作平动。各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方

13、向均匀地向外扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。材料的强化只与总的塑性变形功有关而与加载路径无关。应力有反复变化时，等向强化模型与实验结果不相符合。第30页，此课件共107页哦混合硬化：其实质就是将随动强化模型和等向强化模型结合起来，即认为后继屈服面的形状、大小和位置一起随塑性变形的发展而变化。该模型能够更好的反映材料的Bauschinger效应。各向同性硬化运动硬化第四章第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹塑性有限元法基本理论与模拟方法第31页，此课件共107页哦流动法则塑性应变增量和应力分量的关系：塑性应变沿后继屈服面F=0的法线方向是一正的待定系数，其具体数值和 材料

14、硬化准则有关第32页，此课件共107页哦加载、卸载准则加载、卸载准则对于硬化材料（当材料处于某一塑性状态）：第33页，此课件共107页哦4.3几何非线性问题及分类概念：由于大位移、大转动而引起的非线性。分类：大位移、大转动、小应变问题 板壳的大挠度和后屈曲大位移、大转动、大应变问题 薄板成形、弹性材料的受力第34页，此课件共107页哦比较：线弹性比较：线弹性 几何非线性几何非线性线弹性：线弹性：小变形假设小变形假设假定物体发生的位移远小于假定物体发生的位移远小于物体本身的几何尺寸，应变远小于物体本身的几何尺寸，应变远小于1 1。建立平衡方程时。建立平衡方程时不考虑物体位置和形状的变化。不考虑物

15、体位置和形状的变化。几何非线性：几何非线性：物体发生有限变形物体发生有限变形大位移、大转动大位移、大转动的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的情况。建立平衡方程时必须考虑物体位置和形状的变化。的变化。第35页，此课件共107页哦4.4 4.4 弹塑性矩阵弹塑性矩阵 应力与应变的关系有各种不同的近似表达式和简化式。根据普兰特应力与应变的关系有各种不同的近似表达式和简化式。根据普兰特尔尔罗伊斯（罗伊斯（Prandtl-Reuss Prandtl-Reuss）假设和密赛斯屈服准则，当外作）假设和密赛斯屈服准则，当外作用力较小时，变形体内的等效应力小于屈服极限时为用力较小时，变形体内的等效应力

16、小于屈服极限时为弹性状态弹性状态。当外力增大到某一值，等效应力达到屈服应力，材料进入当外力增大到某一值，等效应力达到屈服应力，材料进入塑性状塑性状态态，这时变形包括弹性变形和塑性变形两部分，即：，这时变形包括弹性变形和塑性变形两部分，即：式中下脚式中下脚e e、p p 分别表示弹、塑性状态。分别表示弹、塑性状态。(4-10)在弹性阶段，应力与应变关系符合虎克定律。在弹性阶段，应力与应变关系符合虎克定律。进入塑性状态后，符合进入塑性状态后，符合 Prandtl-Reuss Prandtl-Reuss 假设。假设。第36页，此课件共107页哦4.4.1 4.4.1 弹性阶段弹性阶段 在弹性阶段，应

17、力和应变的关系是线性的，应变仅取决于最在弹性阶段，应力和应变的关系是线性的，应变仅取决于最后的应力状态，并且一一对应，而与变形过程无关，有下列后的应力状态，并且一一对应，而与变形过程无关，有下列全量全量形式：形式：式中式中 为为弹性矩阵弹性矩阵。(4-11)第37页，此课件共107页哦对于各向同性材料，由广义虎克定律可得：对于各向同性材料，由广义虎克定律可得：或：或：(4-12)式中：式中：是材料的是材料的弹性模量弹性模量，是是泊松比泊松比。第38页，此课件共107页哦对于各向同性材料，广义虎克定律：对于各向同性材料，广义虎克定律：是材料的是材料的剪切弹性模量剪切弹性模量式中：式中：是材料的是

18、材料的弹性模量弹性模量，是是泊松比泊松比。公式（公式（4-124-12）的具体推导：）的具体推导：第39页，此课件共107页哦（2）+（3）有：）有：将其带入（将其带入（1 1）得：）得：将其带入（将其带入（1 1）得：）得：第40页，此课件共107页哦同理可推得同理可推得 得表达式得表达式 ，写成矩阵的形式，就是：，写成矩阵的形式，就是：第41页，此课件共107页哦4.4.2 4.4.2 弹塑性阶段弹塑性阶段 当材料所受外力达到一定值时，等效应力达到屈服极限，应力应变关系当材料所受外力达到一定值时，等效应力达到屈服极限，应力应变关系曲线由曲线由弹塑性矩阵弹塑性矩阵 决定，现推导弹塑性矩阵。决

19、定，现推导弹塑性矩阵。等效应力等效应力为：为：对应力求导得：对应力求导得：式中式中 为应力偏量，为应力偏量，(4-13)(4-14)第42页，此课件共107页哦公式（公式（4-144-14）对应力求导的具体推导：）对应力求导的具体推导：第43页，此课件共107页哦第44页，此课件共107页哦 由普兰特尔由普兰特尔罗伊斯关系有：罗伊斯关系有：将式将式 4-14 代入式代入式 4-15 得得：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：(4-15)(4-16)(4-17)第45页，此课件共107页哦公式（公式（4-164-16）的具体推导：）的具体推导：第46页，此课件共107页哦式中式中:又因有：又因有：写

20、成矩阵乘积的形式为：写成矩阵乘积的形式为：(4-18)(4-19)第47页，此课件共107页哦设设 为硬化曲线为硬化曲线 上任一点的斜率，即上任一点的斜率，即 将式将式 4-20 4-20 代入式代入式 4-19 4-19 中得：中得：将式将式 4-11 4-11 写成增量形式为写成增量形式为：(4-20)(4-21)(4-22)第48页，此课件共107页哦再利用式再利用式4-10 4-10 就可得到：就可得到：两边同乘以两边同乘以 后可得后可得:利用式利用式4-17 4-17 和式和式 4-214-21，可将上式写成：，可将上式写成：(4-23)(4-24)(4-25)第49页，此课件共10

21、7页哦由此得：由此得：将式将式 4-26 4-26 代入式代入式 4-17 4-17 得：得：(4-27)(4-26)第50页，此课件共107页哦将式将式 4-27 4-27 代入式代入式 4-23 4-23 得：得：(4-28)第51页，此课件共107页哦由式由式4-14 4-14 有：有：则则:(4-29)(4-30)第52页，此课件共107页哦将式将式 4-12 4-12 代入式代入式 4-304-30，并注意到：，并注意到：得：得：因有：因有：(4-31)(4-32)(4-33)第53页，此课件共107页哦因为：因为：所以：所以：公式（公式（4-314-31）的具体推导：）的具体推导：

22、第54页，此课件共107页哦故：故：注意：注意：第55页，此课件共107页哦因为：因为：所以：所以：公式（公式（4-334-33）的具体推导：）的具体推导：即：即：那么：那么：第56页，此课件共107页哦或者：第57页，此课件共107页哦故令：故令：式式 4-28 4-28 可写成：可写成：(4-34)(4-35)第58页，此课件共107页哦利用上述关系式可将式利用上述关系式可将式4-34 4-34 表示成显式，即：表示成显式，即：(4-36)第59页，此课件共107页哦(4-31)公式（公式（4-364-36）的具体推导：）的具体推导：第60页，此课件共107页哦第61页，此课件共107页哦

23、对于平面应力状态，对于平面应力状态，则有：，则有：(4-38)(4-37)第62页，此课件共107页哦公式（公式（4-374-37）的具体推导：）的具体推导：对于平面应力状态，对于平面应力状态，则有：，则有：(1)(2)得：第63页，此课件共107页哦同理可推得同理可推得 的表达式的表达式 :写成矩阵的形式，就是：写成矩阵的形式，就是：第64页，此课件共107页哦按照上述同样方法可得：按照上述同样方法可得：式中：式中：在塑性区：在塑性区：(4-39)第65页，此课件共107页哦公式（公式（4-394-39）的具体推导：）的具体推导：所以：所以：第66页，此课件共107页哦 由普兰特尔由普兰特尔

24、罗伊斯关系有：罗伊斯关系有：写成矩阵形式为：写成矩阵形式为：第67页，此课件共107页哦仿照前面，不难推得：仿照前面，不难推得：而：而：第68页，此课件共107页哦第69页，此课件共107页哦第70页，此课件共107页哦其中：其中：第71页，此课件共107页哦对于平面应变问题，有对于平面应变问题，有 只需从式只需从式4-12 4-12 和式和式4-364-36中消去上述为零的分量，就可得到下列中消去上述为零的分量，就可得到下列各式。各式。(4-40)第72页，此课件共107页哦(4-42)(4-41)第73页，此课件共107页哦4.5 4.5 变刚度法变刚度法 变刚度法又称变刚度法又称切线刚度

25、法切线刚度法，它所采用的应力与应变关系，它所采用的应力与应变关系见图见图 3-13-1。在等效应力达到屈服极限后，应力与应变不再是线。在等效应力达到屈服极限后，应力与应变不再是线性关系，而是由下列关系式所确定。性关系，而是由下列关系式所确定。(4-43)第74页，此课件共107页哦 弹塑性矩阵弹塑性矩阵DDepep中含有应力，它中含有应力，它是加载过程的函数是加载过程的函数。直接求解是困难的，通常直接求解是困难的，通常采用增量形式采用增量形式 来近似代替微分形式来近似代替微分形式，这样使求解成为可能。，这样使求解成为可能。计算中由于计算中由于 Dep 在在范围内变化不大，因此可假范围内变化不大

26、，因此可假 设在每一加载步中是一个常数设在每一加载步中是一个常数，并以该加载步前的应力，并以该加载步前的应力 状态近似计算出状态近似计算出DepDep，即：，即：单元刚度矩阵单元刚度矩阵kk在一个加载步中也同样取作常数在一个加载步中也同样取作常数，即：，即：(4-44)(4-45)第75页，此课件共107页哦 在一个变形体中，不仅各点的应力状态是不相同的，而且随着加载而变化着，通常在一个变形体中，不仅各点的应力状态是不相同的，而且随着加载而变化着，通常变形体受外力作用时，从一个区域到另一个区域，等效应力是逐渐地达到屈服变形体受外力作用时，从一个区域到另一个区域，等效应力是逐渐地达到屈服极限，即

27、进入塑性（弹塑性）状态极限，即进入塑性（弹塑性）状态。为了简化，本章所指进入塑性即为弹塑性状。为了简化，本章所指进入塑性即为弹塑性状态，这就是说在变形体中，各单元的应力和应变状态是不一样的，随着加载又是变态，这就是说在变形体中，各单元的应力和应变状态是不一样的，随着加载又是变化的，且各有各的变化规律。化的，且各有各的变化规律。变形体内的单元按状态可分为三类变形体内的单元按状态可分为三类:弹性单元弹性单元 塑性单元塑性单元 过渡单元过渡单元各类单元有不同的本构关系和单元刚度矩阵。各类单元有不同的本构关系和单元刚度矩阵。第76页，此课件共107页哦在加载过程中，各单元的状态是变化的，为此在加载过程

28、中，各单元的状态是变化的，为此KK也是变化的。在计也是变化的。在计算中，每增加一个载荷增量，就得重新计算一次整体刚度矩阵算中，每增加一个载荷增量，就得重新计算一次整体刚度矩阵K K，这也就是变刚度法名称的由来。这也就是变刚度法名称的由来。式中式中 K K 整体刚度矩阵整体刚度矩阵；n n1 1、n n2 2、n n3 3 分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元的数量；分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元的数量；kke e、kkepep、kkg g 分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元分别为弹性单元、塑性单元和过渡单元 的单元刚度矩阵。的单元刚度矩阵。对于整体来说，可用下列关系式表示：对于整体来说，可用

29、下列关系式表示：(4-46)第77页，此课件共107页哦整体刚度矩阵求得之后，就可根据下列载荷和位移的线性整体刚度矩阵求得之后，就可根据下列载荷和位移的线性 方程组求解出未知的方程组求解出未知的节点位移增量节点位移增量。有了节点位移增量就能求得各单元的有了节点位移增量就能求得各单元的应变及应力增量应变及应力增量。(4-47)(4-49)(4-48)第78页，此课件共107页哦4.5.1 4.5.1 定加载法定加载法 定加载法又称定加载法又称等量加载法等量加载法。它每次的加载量是它每次的加载量是预先给定预先给定的。的。这种加载法的这种加载法的加载量一般较大加载量一般较大。由于每次加载量较大，由于

30、每次加载量较大，每次加载中由弹性单元转变为弹塑每次加载中由弹性单元转变为弹塑 性单元的过渡单元较多性单元的过渡单元较多。过渡单元在加载步中达到屈服，。过渡单元在加载步中达到屈服，式中式中 m m 为加权系数，为加权系数，0 m 10 m 1，采用不同的加载方法，过渡单元的处理也有所不同。下面介绍几种加载方法。(4-50)第79页，此课件共107页哦 m m 的取值需要进行迭代来逼近，收敛性一般都很好，只需进行的取值需要进行迭代来逼近，收敛性一般都很好，只需进行2 23 3 次迭代就能达到满意的精确度。次迭代就能达到满意的精确度。第80页，此课件共107页哦定加载法定加载法计算程序框图计算程序框

31、图第81页，此课件共107页哦4.5.2 4.5.2 变加载法变加载法 这种方法又被称作r因子法。用这种方法计算，每次加载量是变化的，其大小是由计算结 果来确定。计算开始时预先施加一个单位载荷增量，然后求出各单元在 施加单位载荷增量后的等效应力增加量。根据这个增加量求 出各弹性单元当达到屈服时所需要施加的增量值，最后取这 些增量值中最小的一个增量值作为本次加载的加载量。第82页，此课件共107页哦各弹性单元的加载因子按下式进行计算：各弹性单元的加载因子按下式进行计算：式中式中 ,i,i 单元前次加载后的等效应力；单元前次加载后的等效应力；,i,i单元本次施加单位载荷增量后的等效应力；单元本次施

32、加单位载荷增量后的等效应力；,i i单元达到屈服所需施加单位加载量的倍数单元达到屈服所需施加单位加载量的倍数。(4-51)第83页，此课件共107页哦为了加快计算步伐，常假设单元的等效应力接近屈服极 限时就由弹性单元转变为弹塑性单元。一般可取单元等 效应力 ，在下一次施加载荷增量的计算 中，这单元就按弹塑性单元处理。采用这种处理方法，能保证每次加载后弹性单元中等 效应力的最大者正好达到屈服。在下一次加载中该单 元按弹塑性单元处理。这种方法能避免在每个加载步 中单元由弹性转变为弹塑性所需要迭代计算 m 因子的 过程，还能保证足够好的计算精度。第84页，此课件共107页哦变加载法的计算程序框图变加

33、载法的计算程序框图第85页，此课件共107页哦4.5.3 4.5.3 位移法位移法 对于有些问题如圆柱体镦粗，每次施加的增量不是控制 加载力，而是控制压下量。假设工具为刚性体，在工具与 坯料的接触面上，各节点的位移相同。而接触面上的压力 分布是未知的。这样在计算中需对与接触表面上节点有关 的方程进行处理。计算这类问题时，一般先假设接触表面上有一个已知的 轴向位移增量，根据这个已知位移增量求出各单元的应 力和应变增量。这种施加位移增量的方法又分为定位移增量法和变位移 增量法。第86页，此课件共107页哦4.5.3.1 4.5.3.1 定位移增量法定位移增量法 定位移增量法定位移增量法每次施加的位

34、移增量相同每次施加的位移增量相同。计算过程先算出各单元的计算过程先算出各单元的应力和应变增量应力和应变增量，有了应力增，有了应力增 量，累加后可得量，累加后可得全应力全应力和计算得到和计算得到等效应力等效应力。根据等效应。根据等效应 力的大小力的大小将单元分成弹性单元、塑性单元和过渡单元将单元分成弹性单元、塑性单元和过渡单元。对于过渡单元的处理与定加载法相同，为此这种方法在对于过渡单元的处理与定加载法相同，为此这种方法在求求 取取 m m 因子时也需要进行迭代因子时也需要进行迭代。第87页，此课件共107页哦4.5.3.2 4.5.3.2 变位移增量法变位移增量法 这种方法与变加载法相似，这种

35、方法与变加载法相似，每次施加的位移增量由计算结果每次施加的位移增量由计算结果 来决定来决定。每步计算也是每步计算也是先施加一个单位位移增量先施加一个单位位移增量，然后根据这位移增，然后根据这位移增 量量计算应力增量计算应力增量，从而，从而找出弹性单元中等效应力增长最快找出弹性单元中等效应力增长最快 而又最先达到屈服极限的单元，而又最先达到屈服极限的单元，以这个单元达到屈服所需以这个单元达到屈服所需 要的位移增量为本次施加的位移增量要的位移增量为本次施加的位移增量。达到屈服极限的弹性单元在下次计算中按弹塑性单元处理达到屈服极限的弹性单元在下次计算中按弹塑性单元处理。第88页，此课件共107页哦4

36、.6 4.6 初载荷法初载荷法 初载荷法是将塑性变形问题试图转化为弹性问题来求解，它把初载荷法是将塑性变形问题试图转化为弹性问题来求解，它把塑性变形部分视作初应力或初应变来处理。塑性变形部分视作初应力或初应变来处理。在弹性有限元中，当弹性体的单元中存在初应变在弹性有限元中，当弹性体的单元中存在初应变 ，如因温，如因温度而引起的应变，或有初应力，如残余应力，则应力和应变关系分度而引起的应变，或有初应力，如残余应力，则应力和应变关系分别为：别为：(4-52)(4-53)第89页，此课件共107页哦这样可得有初应变 时的变形能为：即：(4-54)(4-55)第90页，此课件共107页哦因：因：得：得

37、：上式中最后一项为与节点位移无关的变形能，由此可得到上式中最后一项为与节点位移无关的变形能，由此可得到与节点位移与节点位移有关的变形能有关的变形能为：为：式中 是对所有单元求和。(4-56)(4-57)第91页，此课件共107页哦通过变分可得到初载荷时的有限元公式为通过变分可得到初载荷时的有限元公式为：同样可导出同样可导出有初应力有初应力 时的变形能为：时的变形能为：这样，这样，基本方程就比无初应变或无初应力时多一项基本方程就比无初应变或无初应力时多一项RR，RR是作为载荷存在于基本方程中，称为是作为载荷存在于基本方程中，称为载荷向量载荷向量。它是由于有。它是由于有初应变或初应力而引起的，下面

38、分别导出初应变或初应力而引起的，下面分别导出RR的表达式。的表达式。(4-58)(4-59)第92页，此课件共107页哦4.6.1 4.6.1 初应力法初应力法 在小位移的弹塑性问题中，应力应变关系为：在小位移的弹塑性问题中，应力应变关系为：为使问题为使问题线性化线性化，对于区域中已达到屈服的单元，采用逐次加，对于区域中已达到屈服的单元，采用逐次加载法。如载法。如每次加载的载荷较小每次加载的载荷较小，可将上式的，可将上式的微分形式近似地写作增微分形式近似地写作增量形式量形式，即：，即：(4-60)(4-61)第93页，此课件共107页哦得：得：因有：因有：将式将式:代入上式，并将右边表示成矩阵

39、乘积形式，变分后得到：代入上式，并将右边表示成矩阵乘积形式，变分后得到：令：令：由前面可知：(4-64)(4-63)(4-65)(4-62)第94页，此课件共107页哦上式要表示成（*）的形式，必有：写成增量形式为：式中：(4-66)(4-68)(4-67)第95页，此课件共107页哦由上式可以看出，初载荷由上式可以看出，初载荷RR不仅与加载前的应力有关，而且与不仅与加载前的应力有关，而且与该次加载引起的应变增量有关该次加载引起的应变增量有关，即式：，即式：的的两边都含未知数两边都含未知数。因此每此加载时，必须利用。因此每此加载时，必须利用迭代法来求解迭代法来求解。具体迭代过程具体迭代过程：可

40、先取 ，则得 ，求得初载矢量 ，在载荷 下，解方程式：此时方程可写成：(4-69)第96页，此课件共107页哦解方程：得到得到 后，再照上述方法依次迭代计算下去。后，再照上述方法依次迭代计算下去。写作一般迭代式为：写作一般迭代式为：当相邻两次迭代所得初应力相差甚小时，可认为迭代结束当相邻两次迭代所得初应力相差甚小时，可认为迭代结束。求得 后，再由 求 和初载荷矢量 ，然后进行第二次迭代计算。(4-70)(4-71)第97页，此课件共107页哦为了考虑过渡单元，运用前面引入的加权系数为了考虑过渡单元，运用前面引入的加权系数m m，这样初载荷矢量为：这样初载荷矢量为：当单元为弹性状态时，取 m=1

41、单元为塑性状态时，取 m=0 若为过渡单元，则取计算出的 m 值。(4-72)第98页，此课件共107页哦 计算步骤如下：计算步骤如下：施加全部载荷施加全部载荷 PP 于结构，按线弹性计算；于结构，按线弹性计算；算出各单元的等效应力，并取出最大值算出各单元的等效应力，并取出最大值maxmax 。若。若max smax s ，则材料尚未，则材料尚未 达到或刚巧达到屈服，所计算结果就是最终结果。否则，令达到或刚巧达到屈服，所计算结果就是最终结果。否则，令=s=s/maxmax，则则PP是恰好使等效应力为是恰好使等效应力为 max max 的单元达到屈服的载荷，同时存贮由的单元达到屈服的载荷，同时存

42、贮由PP 产生的应力、应变和节点位移。余下的载荷产生的应力、应变和节点位移。余下的载荷 PP PP 如分如分 n n 次加载完，每次次加载完，每次 施加的载荷增量为：施加的载荷增量为：再施加载荷增量再施加载荷增量 PP 于结构；于结构；计算屈服单元和过渡单元的计算屈服单元和过渡单元的 DpDp，应力取加载前的值，过渡单元取达到屈服时，应力取加载前的值，过渡单元取达到屈服时 的应力值；的应力值；对载荷增量对载荷增量 PP 进行纯弹性计算，求得各单元的全应变增量进行纯弹性计算，求得各单元的全应变增量 ；用迭代所得的全应变增量，重新计算初应力；用迭代所得的全应变增量，重新计算初应力；求出相应的初载荷

43、，与求出相应的初载荷，与 PP一起作用，按弹性问题求解得节点位移增量和应变增一起作用，按弹性问题求解得节点位移增量和应变增量；量；重复步骤重复步骤、直到相邻两次计算所得的初应力非常接近时为止；直到相邻两次计算所得的初应力非常接近时为止；第99页，此课件共107页哦 求出应力增量，把位移增量、应变增量、应力增量迭加到加载前的数值上；求出应力增量，把位移增量、应变增量、应力增量迭加到加载前的数值上；输出本次加载后的计算结果；输出本次加载后的计算结果；载荷若全部加完，则停机。否则，回到步骤载荷若全部加完，则停机。否则，回到步骤继续计算。继续计算。第100页，此课件共107页哦4.6.2 初应变法初应

44、变法 有初应变时，与节点位移有关的变形能为：有初应变时，与节点位移有关的变形能为：将上式代入式将上式代入式 4-64 4-64 后，进行变分运算可得：后，进行变分运算可得：(4-73)(4-64)第101页，此课件共107页哦由此可得：由此可得：在小位移弹塑性问题中，应力应变关系可写成：在小位移弹塑性问题中，应力应变关系可写成：把把 视为初应变，则与弹性问题中存在初应变的情况相似，只要在基本方程视为初应变，则与弹性问题中存在初应变的情况相似，只要在基本方程的右边加上由的右边加上由 引起的初载荷矢量。由于使用的只是弹性矩阵引起的初载荷矢量。由于使用的只是弹性矩阵 ，所以其，所以其相应的刚度矩阵计

45、算与弹性时相同。相应的刚度矩阵计算与弹性时相同。(4-74)(4-75)第102页，此课件共107页哦把塑性应变增量视为初应变，则把塑性应变增量视为初应变，则:由式由式4-17 4-17 与式与式4-21 4-21 可得：可得：写作增量形式为：写作增量形式为：(4-76)(4-78)(4-77)第103页，此课件共107页哦应用式应用式 4-76 4-76 和式和式 4-78 4-78 的关系，式的关系，式4-72 4-72 可写成：可写成：(4-79)这样，初载荷矢量不仅与加载前的应力有关，而且与这次加载的应力这样，初载荷矢量不仅与加载前的应力有关，而且与这次加载的应力增量有关。因此在基本方

46、程式增量有关。因此在基本方程式 4-67 4-67 的等式两边都有未知数，必须用迭代的等式两边都有未知数，必须用迭代的方法求解。迭代公式与初应力相似，即：的方法求解。迭代公式与初应力相似，即：(4-80)第104页，此课件共107页哦 当当 i=0 i=0 时，时，0 0=0=0，RR0=0=0，按纯弹性计算，当迭代中相，按纯弹性计算，当迭代中相邻二次计算所得的邻二次计算所得的p p 相差很小时，则迭代完成。每次加相差很小时，则迭代完成。每次加载时，载时，的计算可利用本次加载前的应力进行计的计算可利用本次加载前的应力进行计算。算。第105页，此课件共107页哦以上表明以上表明:对于对于变刚度法

47、变刚度法，每次加载都必须，每次加载都必须重新计算刚度矩阵重新计算刚度矩阵。对于对于初应力或初应变法初应力或初应变法，每一步加载只需求解一个具有相同刚度矩阵的问题每一步加载只需求解一个具有相同刚度矩阵的问题。所以，所以，变刚度法的计算量一般比初应力法或初应变法大一些变刚度法的计算量一般比初应力法或初应变法大一些。但是，后两种。但是，后两种 方法每加载一步都必须对初应力或初应变进行迭代，于是就存在方法每加载一步都必须对初应力或初应变进行迭代，于是就存在迭代是否收迭代是否收 敛敛的问题。的问题。对于应变强化的材料，对于应变强化的材料，初应力法初应力法一定收敛；一般一定收敛；一般初应变法初应变法也是收

48、敛的。也是收敛的。但对理想塑性材料但对理想塑性材料初应力法和初应变法初应力法和初应变法是发散的；事实上，当材料的硬化程是发散的；事实上，当材料的硬化程 度接近理想塑性材料时，用初应力法或初应变法，迭代过程收敛也是极缓慢的。度接近理想塑性材料时，用初应力法或初应变法，迭代过程收敛也是极缓慢的。因此，因此，选择什么方法进行计算，应根据求解问题的特点来决定选择什么方法进行计算，应根据求解问题的特点来决定。第106页，此课件共107页哦4.7 4.7 残余应力和残余应变的计算残余应力和残余应变的计算 在塑性加工中，当载荷卸去以后，在在塑性加工中，当载荷卸去以后，在工件工件内部有时保留有残余应力和残内部

49、有时保留有残余应力和残余应变，这对产品质量会产生影响，因此需要计算残余应力和残余应变。余应变，这对产品质量会产生影响，因此需要计算残余应力和残余应变。对部分进入塑性状态后再卸载的对部分进入塑性状态后再卸载的构件构件，也有残留残余应变和残余应力的问题。，也有残留残余应变和残余应力的问题。设卸载前的位移、应变和应力状态分别为设卸载前的位移、应变和应力状态分别为u u、，它们是通过，它们是通过前述前述逐步加载的弹塑性应力计算逐步加载的弹塑性应力计算而得到的。为了求解残余应力和应变，应在而得到的。为了求解残余应力和应变，应在此基础上进行卸载，并采用相应的此基础上进行卸载，并采用相应的逐次卸载逐次卸载的方法来进行。的方法来进行。第107页，此课件共107页哦