福建省厦门外国语学校2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题含答案.pdf

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1、高三数学第 12023届厦门外国语学校高三第一次月考届厦门外国语学校高三第一次月考数学本试卷共 4 页，共 22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：注意事项：1答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2请在答题卡上各题号对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3选择题用 2B 铅笔把所选答案的标号涂黑，非选择题用黑色签字笔作答。一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中

2、，只有一项是符合题目要求的.1已知M =x|x A 且x B，若集合A =1,2,3,4,5，B =2,4,6，则M =（）A1,3,5,6B1,3,5C2,4D 62已知22ab，且02ab，则112abab的最小值为（）A2B3C4D53为了进一步提高广大市民的生态文明建设意识，某市规定每年4月25日为“创建文明城生态志愿行”为主题的生态活动日，现有5名同学参加志愿活动，需要携带勾子、铁锹、夹子三种劳动工具，要求每人都要携带一个工具，并且要求：带一个勾子，铁锹至少带2把，夹子至少带一个，则不同的安排方案共有（）A50种B60种C70种D80种4ABC中，若235CACBABAB ，则tan

3、tanAB的值为（）A2B4C3D2 35已知11sin65a,11sin56b,15cos156c,则（）AabcBbacCacbDcab6在ABC中，45,3,tan3ABACA，点M N分别在边AB BC上移动，且MNBN，沿MN将BMN折起1页（共 3页）来得到棱锥BAMNC，则该棱锥的体积的最大值是（）A16 215B16 315C16 615D3091287抛物线 C：220ypx p的焦点为 F，准线 l 交 x 轴于点2,0Q，过焦点的直线 m 与抛物线 C 交于 A，B两点，则（）A2p B10AB C直线 AQ 与 BQ 的斜率之和为 0D准线 l 上存在点 M，若MAB为

4、等边三角形，可得直线 AB 的斜率为8已知函数 lnexaf xxax，2g xxx，当0,x时，f xg x恒成立，则实数a的取值范围是（）A21,eB1,eC1,De,二二 选选择择题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.在在每每小小题题给给出出的的选选项项中中，有有多多项项符符合合题题目目要要求求.全全部部选选对对的的得得 5 分分，部部分分选选对对的的得得 2 分分，有有选选错错的的得得 0 分分.9已知数列 na满足11a，123nnnaanaN，则（）A13na为等比数列B na的通项公式为1123nnaC na为递增数列D1na的前 n 项和2

5、234nnTn10已知函数 sin4f xx（0）在区间0,上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（）A fx在区间0,上有且仅有3个不同的零点B fx的最小正周期可能是2C的取值范围是13 17,44D fx在区间0,15上单调递增答案第 2页11在棱长为 2 的正方体1111ABCDA BC D中，E、F、G 分别为 BC、1CC、1BB的中点，则下列选项正确的是（）A1D DAFB直线1AG与 EF 所成角的余弦值为1010C三棱锥GAEF的体积为13D存在实数、使得1AGAFAE 12已知函数()exxf x，过点(,)a b作曲线()f x的切线，下列说法正确的是（）A当0

6、0ab，时，有且仅有一条切线B当0a 时，可作三条切线，则240ebC当2a，0b 时，可作两条切线D当02a时，可作两条切线，则b的取值范围为24ea或eaa三三 填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分.13已知36(13i)i(,R)(1 i)aba b，则ab_14已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足ln12nSn，则数列 na的通项公式为_15设0ia i（，1，2，2022）是常数，对于Rx，都有20220122022112122022xaaxaxxaxxx（），则012345202120222!3!4!2020!2021!aaaaa

7、aaa=_.16已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与 C 的右支交于 A，B 两点，页，共 3页若1221F AFAF F，222F BF A，则 C 的离心率为_.四四 解解答答题题：本本题题共共 6 小小题题，共共 70 分分.解解答答应应写写出出文文字字说说明明 证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤.17如图，在ABC 中，D 是 AC 边上一点，ABC 为钝角，DBC=90(1)证明：cossin0ADBC；(2)若2 7AB，2BC，再从下面中选取一个作为条件，求ABD 的面积3 21sin14ABC；AC3AD18已知数列 na各

8、项都是正数，11a，对任意 nN*都有222211213nnaaaa数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*）(1)求数列 na，nb的通项公式；(2)数列 nc满足 cn21nnba，数列 nc的前 n 项和为nT，若不等式24 393nnnT对一切 nN*恒成立，求的取值范围19如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是矩形，SAD是正三角形，且平面SAD 平面ABCD，1AB，P为棱AD的中点，四棱锥SABCD的体积为2 33(1)若E为棱SB的中点，求证：/PE平面SCD；(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为2 35？若存在，指出点M的

9、位置并给以证明；若不存在，请说明理由.高三数学第 320某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下：改造前：19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21；改造后：32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36.(1)完成下面的列联表，并依据小概率值0.010的独立性检验，分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异？技术改造设备连续正常运行

10、天数合计超过 30不超过 30改造前改造后合计(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产设备设定维护周期为T天（即从开工运行到第KT天，Nk）进行维护，生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费，经测算，正常维护费为0.5万元/次，保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产设备一个生产周期（以120天计）内的维护方

11、案：30T，1,2,3,4k.以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.0.150.100.050.0250.0100.0050.001x2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822n adbcabcdacbd（其中nabcd）3页（共 3页）21已知2222:10 xyCabab的上顶点到右顶点的距离为3，离心率为22，右焦点为 F，过点 F 的直线（不与 x 轴重合）与椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线:2l x 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作ADl，垂足为 D(1)求椭圆 C 的标准

12、方程；(2)求四边形 OAHB（O 为坐标原点）面积的取值范围；证明直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标22已知函数()exf xax.(1)讨论()f x的单调性；(2)当1a 时，判断曲线()yf x与曲线4ln(2)yx 交点的个数，并说明理由.数学参考答案第 1 页（共 8 页）厦门外国语学校高三第一次月考厦门外国语学校高三第一次月考数学参考答案选择题选择题：本题共本题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.1B2A3A4B5A6C7C8B二二 选择选择题：本

13、题共题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9AD10BC11BD12ABD三三 填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.1311431e1,1e 1 e,2nnnan1520211653四四 解答题解答题：本题共本题共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤

14、.17（1）解：因为90ADBC，所以coscos 90sin()ADBCC，故cossin0ADBC；（2）选，3 21sin14ABC因为90ABC，所以27cos1 sin14ABCABC，在ABC中，由余弦定理可得72842 2 72()614AC ，由正弦定理可得2 763 2114sinC，所以3sin2C，因为角C为锐角，故60C，在RtCBD中，因为2BC，所以tan2tan602 3BDBCC，数学参考答案第 2 页（共 8 页）又7sinsin(90)cos14ABDABCABC，所以117sin2 72 332214ABDBDABBDSA；选，AC3AD，设ADx，则2D

15、Cx，在RtCBD中，22221BDDCBCx，由（1）cossin0ADBC得，222244282102221xxxxxx，解得2x，即2,2 3,4ADBDCD，在RtCBD中，2 3tan3,0902BDCCBC，所以60C，所以6090150ADBCDBC ，所以111sin22 33222ABDADBDADSB 18（1）数列 na各项都是正数，11a，对任意 nN*都有222211213nnaaaa，当2n 时，222212113nnaaaa，可得22213nnnaaa，因为数列 na各项都是正数，所以可化为12nnaa，因为2221121,1,03aaaa，所以22a，所以212

16、aa，所以数列 na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，所以12nna-=，nN*；数列 nb满足11b，121nnbbn（nN*），可得2132bb，当2n 时，121nnbbn，又121nnbbn，数学参考答案第 3 页（共 8 页）两式相减可得112nnbb，所以 nb的奇数项和偶数项均为公差为 2 的等差数列，可得奇数项为 1，3，5，7，.，2n1，.，偶数项为 2，4，6，.，2n，.，所以nbn；（2）因为22112nnnnbcna，所以21111123416642nnTn ，所以222111111123(1)4166412822nnnTnn 两式相减可得2223111114

17、4166422nnnTn2211(1)1441214nnn化为4341994nnnT，若不等式24 393nnnT对一切 nN*恒成立，即为39(34)4nn恒成立，设3(34)4nndn，1nndd113(37)()43(34)()4nnnn19211216nn1351216nn，当1n 时，21dd，当2n 时，1nndd，所以2n 时，nd取得最大值458，则9458，解得58，数学参考答案第 4 页（共 8 页）即的取值范围是5,8 19（1）取SC中点F，连接,EF FD，,E F分别为,SB SC的中点，/EFBC，12EFBC底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点，/PDBC

18、，12PDBC/EFPD，EFPD，故四边形PEFD是平行四边形，/又FD 平面SCD，PE 平面SCD，/PE平面SCD（2）假设在棱SA上存在点M满足题意，在等边SAD中，P为AD的中点，所以SPAD，又平面SAD 平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，SP 平面SAD，SP平面ABCD，则SP是四棱锥SABCD的高设0ADm m，则32SPm，ABCDSm矩形，1132 33323ABCDSABCDVSSPmm矩形四棱锥，所以2m.数学参考答案第 5 页（共 8 页）以点P为原点，PA，PS 的方向分别为,x z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0P，1,0,0A，

19、1,1,0B，0,0,3S，故?=1,0,0，?=1,1,0，?=1,0,3 设,0,301AMAS ，1,0,3PMPAAM 设平面 PMB 的一个法向量为1,nx y z，则11(1)300nPMxznPBxy 取13,3,1n 易知平面SAD的一个法向量为2?=0,1,0，cos 1?,2?=1?2?1?2?=3722+1=2 35，01，23故存在点M，位于AS靠近点S的三等分点处满足题意.20（1）列联表为：技术改造设备连续正常运行天数合计超过30不超过30改造前51520改造后15520合计202040数学参考答案第 6 页（共 8 页）零假设0H：技术改造前后的连续正常运行时间无

20、差异.2240(5 5 15 15)106.63520202020，依据小概率值0.010的独立性检验分析判断0H不成立，即技术改造前后的连续正常运行时间有差异；（2）由题知，生产周期内有 4 个维护周期，一个维护周期为 30 天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14P，设一个生产周期内需保障维护的次数为，则14,4B，一个生产周期内的正常维护费为0.5 42万元，保障维护费为20.210.10.12万元，一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为20.10.12万元，设一个生产周期内的生产维护费为X，则X的所有可能取值为2,2.2,2.6,3.2,4，4181214256P X314

21、11272.2C14464P X222411272.6C144128P X 3341133.2C14464P X41144256P X所以，X的分布列为X22.22.63.24P8125627642712836412568127273122.22.63.242566412864256E X162237.6 140.438.44256582.42.275256一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元.21（1）数学参考答案第 7 页（共 8 页）由题可知：22222322abcaabc，所以2a，1b，故椭圆的标准方程为2212xy；（2）由题1,0F，设直线:1AB xmymR，11,A

22、 x y，22,B xy，联立22112xmyxy，消去 x，得222210mymy，因为224420mm，12222myym，12212y ym，则2212121222 2142myyyyy ym所以四边形 OAHB 的面积21212212 2122mSOHyyyym，令21mt，1t，22 22 211tSttt因为12tt（当且仅当1t 即0m 时取等号），所以02S，所以四边形 OAHB 的面积取值范围为0,2；22,B xy，12,Dy，所以直线 BD 的斜率1222yykx，所以直线 BD 的方程为121222yyyyxx，令0y，可得2121212121222x yymy yyy

23、xyyyy，由（1）可得12222myym，12212y ym，12122yymy y化简可得12121212121323222yyyyyyxyyyy则直线 BD 过定点3,02E22（1）fx的定义域为R，exfxa，当0a 时，数学参考答案第 8 页（共 8 页）0fx，则 fx在,上为增函数；当0a 时，令 0fx，得lnxa，令 0fx可得lnxa，所以 fx在,lna上单调递减，在ln,a上单调递增.（2）因为1a ，所以 exf xx，设 e4ln 2xg xxx，则其定义域为,2，422eee12221exxxxxxgxxxx，且 00g.设 21(2)2exxm xxx，则 2

24、20(2)exxm xx，当且仅当0 x 时 0mx，所以 m x在,2上单调递减，所以当0 x 时，00m xm；当02x时，00m xm，即当0 x 时，e0 xgxm x；当02x时，e0 xgxm x，所以 g x在,0上单调递增，在0,2上单调递减，故 max()014ln2g xg，取2e2402e,2x，则22e2e224404ln 24ln 22e4lnee2x，所以022000e4ln 2e2e20 xg xxx，即00g x；1414e144ln16g，考虑到316e，则ln163，即4ln1612，又14e1，所以140g，所以 g x在14,0和00,x上各有一个零点，即 g x有两个零点，故曲线 yf x与曲线4ln 2yx 有两个交点.