矩阵的标准型 (2)讲稿.ppt
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1、关于矩阵的标准型(2)第一页,讲稿共六十八页哦 标准型的理论源自矩阵的相似性,因为相似矩阵有许多相似不标准型的理论源自矩阵的相似性,因为相似矩阵有许多相似不变量:特征多项式、特征值(包括代数重数和几何重数)、行列式、变量:特征多项式、特征值(包括代数重数和几何重数)、行列式、迹及秩等,并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。迹及秩等,并且特征向量也可以借助于可逆的相似变换矩阵互相求出。这自然导出了寻找相似矩阵集合中的这自然导出了寻找相似矩阵集合中的“代表矩阵代表矩阵”的问题。的问题。“代表矩代表矩阵阵”当然越简单越好。对于可对角化矩阵,当然越简单越好。对于可对角化矩阵,“代表矩阵代
2、表矩阵”就是特征值就是特征值组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是:组成的对角矩阵。但是令人非常遗憾的是:一般矩阵未必与对角矩阵相一般矩阵未必与对角矩阵相似!似!第二页,讲稿共六十八页哦预备知识:预备知识:v若存在多项式若存在多项式h(),使得,使得f()=d()h(),称称d()整除整除f(),用用d()|f()表示;表示;v设f()与g()为数域P上的两个一元多项式,若存在d()满足d()|f(),d()|g(),称,称d()为为f()与与g()的的公因式公因式;v若若f()与与g()的任一公因式都是的任一公因式都是d()的因式;称的因式;称d()为f()与与g()的的最大公因式,并用(f(
3、),g())表示)表示f()与与g()的的首项首项系数为系数为1的最大公因式的最大公因式.第三页,讲稿共六十八页哦2 矩阵及其在相抵下的标准型矩阵及其在相抵下的标准型 由于一般矩阵与对角矩阵不相似,因此我们由于一般矩阵与对角矩阵不相似,因此我们“退而退而求其次求其次”,寻找,寻找“几乎对角的几乎对角的”矩阵。这就引出了矩矩阵。这就引出了矩阵在相似下的各种标准型问题,其中阵在相似下的各种标准型问题,其中Jordan标准型是标准型是最最接近对角的矩阵接近对角的矩阵,只在第只在第1条对角线上取条对角线上取1或或0。弄清楚了。弄清楚了矩阵相似的本质,理论上、计算上以及应用上的许多问矩阵相似的本质,理论
4、上、计算上以及应用上的许多问题就容易处理了,当然花费也大了。题就容易处理了,当然花费也大了。第四页,讲稿共六十八页哦定义定义1 1 元素为元素为 的多项式的矩阵称为的多项式的矩阵称为-矩矩阵阵,记为,记为A()。即即A()=(aij()m n(i=1,2,m;j=1,2,.n),其中其中aij()是数域是数域P上的多项式。多项式上的多项式。多项式aij()的最高次数称为的最高次数称为A()的的次数次数,数域数域P上全体上全体m n的-矩阵记为记为P m n.注:注:数字矩阵是数字矩阵是-矩矩阵的特例。阵的特例。数字矩阵数字矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 I-A是是1次次-矩矩阵。阵。1.矩阵的基本
5、概念矩阵的基本概念第五页,讲稿共六十八页哦 矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应矩阵的加法、减法、乘法和数乘运算同数字矩阵的对应运算有相同的运算定律。运算有相同的运算定律。数字矩阵行列式的定义也可应用到数字矩阵行列式的定义也可应用到 矩阵,且性质相同矩阵,且性质相同。n阶阶 矩阵的行列式是矩阵的行列式是 的多项式,且满足的多项式,且满足|A()B()|=|A()|B()|第六页,讲稿共六十八页哦定义定义2 设A()P m n,如果A()中有一个r阶子式不为零,而所有r+1阶子式全为零,称A()的秩为r,记为rank(A()=rv数字矩阵数字矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 I-A是是 的
6、的n次行列式,所以是次行列式,所以是满秩的。满秩的。矩阵的秩矩阵的秩第七页,讲稿共六十八页哦 定义3 设A()P m n,如果存在一个存在一个n阶阶 矩阵B()使得 A()B()=B()A()=I 则称A()可逆,B()为A()的逆矩阵记作的逆矩阵记作A()-1。定理1 设设A()P m n,A()可逆的充要条件是可逆的充要条件是|A()|是非零常是非零常数数。矩阵的逆矩阵的逆第八页,讲稿共六十八页哦 矩阵的初等变换矩阵的初等变换定义定义4 4 初等变换初等变换(1)对换两行(列);对换两行(列);(2)某行(列)乘上非零的常数某行(列)乘上非零的常数k;(3)某一行某一行(列列)的的()倍加
7、到另一行,其中倍加到另一行,其中()是是 的多项式的多项式对应三种初等变换,有三种初等矩阵对应三种初等变换,有三种初等矩阵P(i,j).P(i(k),P(i,j()(1)做一次初等行(列)变换,相当于左(右)乘相应的初等矩阵做一次初等行(列)变换,相当于左(右)乘相应的初等矩阵;(2)初等矩阵都是可逆的:初等矩阵都是可逆的:P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k)-1=P(i(k-1),P(i,j()-1=P(i,j(-)第九页,讲稿共六十八页哦相抵(等价)相抵(等价)定义定义5 设设A(),B()P m n,若若A()经有限次行、列初等变换经有限次行、列初等变换化为化为B(),称称A()
8、与与B()相抵相抵(等价)(等价),记为,记为A()B()定理定理2 设设A(),B()P m n,A()与与B()相抵的充要条件是存相抵的充要条件是存在在m阶初等矩阵阶初等矩阵P1(),P2(),Pl(),与与n阶初等矩阵阶初等矩阵 Q1(),Q2(),Qt(),,使得,使得 A()=Pl()P1()B()Q1()Q2()Qt()第十页,讲稿共六十八页哦3.矩阵在相抵下的标准型矩阵在相抵下的标准型定义定义6 该标准型称为该标准型称为A()在在相抵下的标准型或相抵下的标准型或Smith标准型;标准型;称称smith标准型标准型“主对角线主对角线”上非零元上非零元d1(),d2(),dr()为为
9、A()的的不变不变因子因子定理定理 对任意一个秩为对任意一个秩为r的的m n 阶阶-阵阵A(),都相抵于一个标准型,都相抵于一个标准型di()为首项系数为为首项系数为1的的 多项式,且多项式,且di()|di+1()第十一页,讲稿共六十八页哦例例1 求求矩阵矩阵的Smith标准形 解题思路:经过一系列初等行变换或初等列变换使得左上角的元素次数逐渐降低,最后降低到可以整除其余所有的元素。第十二页,讲稿共六十八页哦 解解:第十三页,讲稿共六十八页哦 不变因子:不变因子:第十四页,讲稿共六十八页哦将其化成将其化成Smith标准形标准形。例例2第十五页,讲稿共六十八页哦解:解:第十六页,讲稿共六十八页
10、哦第十七页,讲稿共六十八页哦3 矩阵的行列式因子和初等因子定义1 设A()P m n,且rank(A()=r,对于正整数k(1k r),A()中的全部k阶子式的最大公因式称为A()的k阶行列式因子,记为Dk().定理定理1 相抵的相抵的 矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子因子第十八页,讲稿共六十八页哦例1 求求 矩阵矩阵的各阶行列式因子。第十九页,讲稿共六十八页哦解 由于由于(+1)2,)=1,所以所以D1()=1最后最后 D3()=det(A()=2(+1)3第二十页,讲稿共六十八页哦 行列式因子和不变因子的关系设 矩阵A()的Smith标准形为其中其中di
11、()(i=1,2r)是首项系数是是首项系数是1的不变因子,的不变因子,第二十一页,讲稿共六十八页哦则A()的各阶行列式因子如下:于是Di()|Di+1(),(i=1,2,r-1)di+1()=Di+1()/Di(),(i=1,2,r-1)定理2 矩阵A()的Smith标准型唯一。定理3 设A(),B()P m n,A()与B()相抵的充要条件是它们有相同的行列式因子,或它们有相同的不变因子。第二十二页,讲稿共六十八页哦例2 求下列 矩阵的行列式因子和不变因子 一般来说应用行列式因子求不变因子较复杂,但对一些特殊的矩阵先求行列式因子再求不变因子反而简单。其中 i是数域P中的常数。第二十三页,讲稿
12、共六十八页哦解 由于由于A()的一个的一个m-1阶子式阶子式 故故Dm-1()=1,根据行列式因子的依次整除性,有根据行列式因子的依次整除性,有 D1()=D2()=Dm-2()=1 而而Dm()=(-i)m,因此,因此A()的不变因子为的不变因子为 d1()=d2()=dm-1()=1,dm()=(-i)m第二十四页,讲稿共六十八页哦 设设 矩阵矩阵A()的不变因子为的不变因子为d1(),d2(),dr(),在复数域内将它们分,在复数域内将它们分解成一次因式的乘积解成一次因式的乘积其中,其中,1 s是互异的复数,是互异的复数,eij是非负整数,满足是非负整数,满足初等因子初等因子第二十五页,
13、讲稿共六十八页哦定义定义2 在不变因子的分解式中,所有指数大于在不变因子的分解式中,所有指数大于0的因子的因子称为称为 矩阵矩阵A()的初等因子。的初等因子。注:注:在在A()的秩已知的情况下,不变因子和初等因子相互确定的秩已知的情况下,不变因子和初等因子相互确定第二十六页,讲稿共六十八页哦例3 如果如果 矩阵矩阵A()的不变因子为的不变因子为则则A()的初等因子为的初等因子为,2,-1,(-1)2,(-1)3,(+1)2,(+1)3,-2第二十七页,讲稿共六十八页哦 反过来,如果知道了A()的秩和初等因子,因为A()的秩确定了不变因子的个数,则同一个一次因式的方幂做成的初等因子中,方次最高的
14、必在dr()的分解中,方次次高的必在dr-1()的分解中,如此顺推,可知属于同一一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中唯一确定。第二十八页,讲稿共六十八页哦例如 如果A()的秩为4,且其初等因子为则A()的不变因子依次不变因子依次为为d4()=2(-1)3(-i)3(+i)3d3()=(-1)2,d2()=(-1),d1()=1,2,-1,(-1)2,(-1)3,(-i)2,(+i)3第二十九页,讲稿共六十八页哦定理定理7 设设 矩阵矩阵为块对角形矩阵,则B()与C()的初等因子的全体是A()的全部初等因子。v该定理可以推广到n个分块的情形定理定理6 设设A(),B()P m n,A()
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