《中考课件初中数学总复习资料》预测04 圆的综合（解析版）.doc

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1、 预测04 圆的综合圆的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，难度系数中等。1从考点频率看，圆是高频考点，中考对圆的知识点考查，综合能力要求极高！2从题型角度看，以解答题为主，分值10分左右！ 圆常见辅助线的作法1：连接半径，构造等腰三角形在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理。2：遇弦添加弦心距或半径根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角

2、等于圆心角的一半。在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。4：构造直角或直径直径所对的圆周角是90°。5：切线的性质有关的辅助线添加过切点的半径利用切线性质，可得半径与切线垂直6：切线的判定有关的辅助线（1） 有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。7：与三角形内切圆有关的辅助线遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。1（2019年湖南省常德市中考）如图，与的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，CE是的直径（1）求证：AB是的切线；（2）若求AC的长2（2019年福建省中考）如图，四边形ABCD内接于O，

3、AB=AC，BDAC，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.(1)求证：BAC=2DAC； (2)若AF10，BC4，求tanBAD的值. 3（2019年河南中考）如图，在ABC中，BA=BC，ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G（1）求证：ADFBDG；（2）填空：若AB=4，且点E是的中点，则DF的长为_；取的中点H，当EAB的度数为_时，四边形OBEH为菱形4（2019年湖北省黄石市中考）如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，延长交的延长线于点（1）

4、求证：是的切线；（2）求证：（3）若，求弦的长.5（湖南省益阳市2019年中考）如图，在RtABC中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使NDMN，连接AD、CD，CD交圆O于点E(1)判断四边形AMCD的形状，并说明理由；(2)求证：NDNE；(3)若DE2，EC3，求BC的长6.（江苏省苏州市2019年中考）如图，AB为的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F(1)求证：；(2)求证：;(3)若,求的值.7.（2019年广东省中考）如图1，在中，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.（1）求证：；（2）求证：是的切线；（3

5、）如图2，若点是的内心，求的长.1（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DFAC于点F，交AB的延长线于点G（1）求证：DF是O的切线；（2）已知BD，CF2，求DF和BG的长2（2019年四川省成都市中考一模数学试题） 如图，为的直径，于，点是弧上的任一点，过点作的切线交于点连接交于（1）求证：；（2）填空：当_时，四边形是正方形；当_时，四边形是菱形3（黑龙江齐齐哈尔市2019届九年级中考一模考试数学试题）.中，点在上，以直径作交于点，交于点，且点为切点，连接、.（1）求证：平分：（2）求

6、阴影部分面积.（结果保留）4.（2020年广东省初中学业水平考试数学模拟试题）如图，AD是O的直径，弧BA弧BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且BAFC（1）求证：AF是O的切线；（2）求证：ABEDBA；（3）若BD8，BE6，求AB的长来源:学科网5（2020年湖南省长沙市长郡滨江中学中考数学3月模拟试题）如图，在RtABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、AB相交于点D、E，连接AD，已知CADB.（1）求证：AD是O的切线；（2）若B30°，AC，求劣弧BD与弦BD所围阴影图形的面积；（3）若AC4，BD6，求AE的长6（2020年江西

7、中考数学四模试题）如图，AB是O的直径，弦CDAB于H，过CD延长线上一点E作O的切线交AB的延长线于F切点为G，连接AG交CD于K（1）如图1，求证：KE=GE；（2）如图2，若ACEF，试判断线段KG、KD、GE间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求O的半径7（安徽省首年地区2019-2020学中考第一次模拟预测数学试题）如图，在中，是边上的高线，平分交于点，经过，两点的交于点，交于点，为的直径（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的半径8.（广东省佛山市南海外国语学校2019-2020学年九年级下学期第一次月考数学试题）如图，O过ABCD的三顶点A、

8、D、C，边AB与O相切于点A，边BC与O相交于点H，射线AD交边CD于点E，交O于点F，点P在射线AO上，且PCD=2DAF（1）求证：ABH是等腰三角形；（2）求证：直线PC是O的切线；（3）若AB=2，AD=，求O的半径9.（2020年四川省凉山州中考数学模拟试题）如图O的直径AB10cm，弦BC6cm，ACB的平分线交O于D，交AB于E，P是AB延长线上一点，且PCPE(l)求证：PC是O的切线；(2)求AC、AD的长【参考答案与解析】【真题回顾】1.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】（1）连接OD、CD，根据圆周角定理得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出OA垂直平分CD，

9、根据垂直平分线的性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一的性质得出，进而证得AODAOC(SAS)，得到，即可证得结论； （2）易证BEDBDC，求得BE，得到BC，然后根据切线长定理和勾股定理列出关于y的方程，解方程即可【详解】证明：连接OD、CD，CE是的直径，OA垂直平分CD， ， AC是切线， 在和中，AODAOC(SAS)， OD是半径，AB是的切线；（2）解：BD是切线，易证BEDBDC， 设，解得或（舍去）， AD、AC是的切线， 设，在中， ， 解得， ， 故AC的长为62.【答案】(1)见解析；(2) tanBAD=.【解析】（1）根据等腰三角形的性质得出ABCACB，根据圆心

10、角、弧、弦的关系得到=，即可得到ABCADB，根据三角形内角和定理得到ABC（180°BAC）90°BAC，ADB90°CAD，从而得到BACCAD，即可证得结论；（2）易证得BCCF4，即可证得AC垂直平分BF，证得ABAF10，根据勾股定理求得AE、CE、BE，根据相交弦定理求得DE，即可求得BD，然后根据三角形面积公式求得DH，进而求得AH，解直角三角形求得tanBAD的值【详解】解：（1）ABAC，=，ABCACB，ABCADB，ABC（180°BAC）90°BAC，BDAC，ADB90°DAC，BACDAC，BAC2DAC；

11、 (2)DF=DC，BFC=BDC=BAC=FBC,CB=CF,又BDAC，AC是线段BF的中垂线，AB= AF=10, AC=10.又BC4，设AEx, CE=10x, AB2AE2=BC2CE2, 100x2=80(10x)2, x=6AE=6,BE=8,CE=4,DE=3,BDBEDE3811，作DHAB，垂足为H，ABDHBDAE，DH，来源:Zxxk.ComBH，AHABBH10，tanBAD=.【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相交弦定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握并灵活运用性质定理，属于中考压轴题3.

12、【解析】（1）BA=BC，ABC=90°，BAC=45°，AB是O的直径，ADB=AEB=90°，DAF+BGD=DBG+BGD=90°，DAF=DBG，ABD+BAC=90°，ABD=BAC=45°，AD=BD，ADFBDG（2）如图2，过F作FHAB于H，点E是的中点，BAE=DAE，FDAD，FHAB，FH=FD，=sinABD=sin45°=，即BF=FD，AB=4，BD=4cos45°=2，即BF+FD=2，（ +1）FD=2，FD=4-2，故答案为：4-2连接OH，EH，点H是的中点，OHAE，来源:Z

13、xxk.ComAEB=90°，BEAE，BEOH，四边形OBEH为菱形，BE=OH=OB=AB，sinEAB=，EAB=30°故答案为：30°4.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）连接OC，可证得CAD=BCD，由CAD+ABC=90°，可得出OCD=90°，即结论得证；（2）证明ABCAFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；（3）证明CBDDCA，可求出DA的长，求出AB长，设BC=a，AC=a，则由勾股定理可得AC的长【详解】（1）连，又，是的直径，且过半径的外端点，是的切线；（2）在和中，为公共边，RtAC

14、FRtACB，又，； （3）BCD=CAD，ADC=CDB，CBDDCA，DA=2，AB=AD-BD=2-1=1，设BC=a，AC=a，由勾股定理可得：a2+(a)212，解得：a=，AC来源:学|科|网Z|X|X|K【点睛】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线5【答案】(1)四边形AMCD是菱形，理由见解析；(2)证明见解析；(3)BC2【解析】(1)证明四边形AMCD的对角线互相平分，且CNM90°，可得四边形AMCD为菱形；(2)可证得CMNDEN，由CDCM可证出CDMCMN，则D

15、ENCDM，结论得证；(3)证出MDCEDN，由比例线段可求出ND长，再求MN的长，则BC可求出【详解】(1)四边形AMCD是菱形，理由如下：M是RtABC中AB的中点，CMAM，CM为O的直径，CNM90°，MDAC，ANCN，NDMN，四边形AMCD是菱形；(2)四边形CENM为O的内接四边形，CEN+CMN180°，CEN+DEN180°，CMNDEN，四边形AMCD是菱形，CDCM，CDMCMN，DENCDM，NDNE；(3)CMNDEN，MDCEDN，MDCEDN，设DNx，则MD2x，由此得，解得：x或x(不合题意，舍去)，MN为ABC的中位线，BC2

16、MN，BC2【点睛】本题考查了圆的综合知识，熟练运用圆周角定理、菱形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质是解题的关键6.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】（1）由D点为中点，易知OD垂直平分BC，又因AB为直径，所以ACB=90°，所以；（2）因为D点为中点，所以，可得，即有；（3）利用与，可得，设CD=，则DE=，又因为，得到，所以，得到，就有【详解】(1)证明：D为弧BC的中点，OD为的半径ODBC即BFO=90° 又AB为的直径 (2)证明：D为弧BC的中点 即 (3)解：， 设CD=，则DE=， 又 所以又 即

17、【点睛】本题主要考查圆的基本性质、相似三角形证明与性质、三角函数的计算等知识点，综合程度比较高，第三问的关键在于将CDA换成CBA，利用三角形相似求得sinCBA7.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BG=5.【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理以及可得，即可得ED=EC；(2)连接，可得，继而根据以及三角形外角的性质可以推导得出，可得，从而可得，问题得证；(3)证明ABECBA，可得，从而求得，连接，结合三角形内心可推导得出，继而根据等腰三角形的判定可得.【详解】(1)，又，；(2)连接，弧AB=弧AC，为的切线；(3)，ABECBA，连接，点为内心，又，

18、.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【名校预测】1【答案】（1）见解析；（2）DF=4，BG【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到ADBC，结合等腰三角形的性质知BDCD，再根据OAOB知ODAC，从而由DFAC可得ODDF，即可得证；（2）连接BEBEDF，可得DF是BEC的中位线，设AEx，则ACABx+4，根据勾股定理列方程可得x的值，证明GODGAF，列比例式可得BG的长【详解】（1）AB是O直径，ADB90°，连接OD，ADB90°，

19、即ADBC，ABAC，BDCD，又OAOB，ODAC，DFAC，ODDF，DF是圆O的切线；（2）连接BECDBD2，CF2，AB是直径，AEBCEB90°，BEAC，DFAC，DFBE，EFFC2，BE2DF8，设AEx，则ACABx+4由勾股定理得：AB2AE2+BE2，（x+4）282+x2，x6，AE6，AB4+610，ODAF，GODGAF，BG【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理等知识点，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键.2【答案】（1）见解析；（2），【解析】【分析】（1）连接BC，由AB为圆

20、的直径，可得 ，CE为O的切线，DBAB，可得EC=EB，可得，再利用等角的余角相等得到，因此CE=ED, （2）利用四边形OCEB是正方形，得CED=90°，结合CE=ED，利用等腰直角三角形的性质可得答案； 利用四边形OACF是菱形，得OAC为等边三角形，利用DBAB，直角三角形两锐角互余可得到答案【详解】（1）证明：如图，连接，为的直径， ， 为切线， ，（2）如图，若四边形OCEB是正方形， 则CEB=90°， CED=90°， CE=ED， D=DCE=45°， 故答案为45°； 若四边形OACF是菱形， 则OA=AC， OA=OC，

21、 OAC为等边三角形， A=60°， DBAB， A+D=90°， D=90°-60°=30°， 故答案30°【点睛】本题考查了圆的切线判定，圆周角定理，正方形的性质，平行线分线段定理，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，特殊三角函数的应用解题涉及几何知识点较多，需灵活掌握和运用各定理进行推理证明3【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OD，与交点为，根据切线性质可得ODBC，即可证明OD/AC，根据平行线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，即可得AD平分BAC；（2）连接OF，由AE是直径可得AFE=90

22、76;，即可证明EF/BC，进而可得OMEF，由BE=AE=2，可得OE=OD=2，根据OD=OB可得OBD=30°，即可得OEM=30°，可求出OM的长和EOM的度数，即可求出EOF的度数，根据即可得答案.【详解】（1）连接，与交点为.BC切于点，ODBC，又，又，平分.（2）连接AE为的直径，ODBC，OMEF，OA=OE，OE=OD=BE=2，OD=OB，OBD=30°，EF/BC，OM=OE=1，EOM=60°，EM=，.【点睛】本题考查切线性质、圆周角定理的讨论、含30°角的直角三角形的性质及扇形的面积的计算，圆的切线垂直于过切点的半

23、径；直径所对的圆周角等于90°；30°角所对的直角边等于斜边的一半；熟练掌握相关性质是解题关键.4【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AB4【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出ABD90°，CD，证出BAD+BAF90°，得出AFAD，即可得出结论；（2）由圆周角定理得出BACC，CD，得出BACD，再由公共角ABEDBA，即可得出ABEDBA；（3）由相似三角形的性质得出，代入计算即可得出结果【详解】（1）证明：AD是O的直径，ABD90°，BAD+D90°，BAFC，CD，BAFD，BAD+BAF90°，即FAD

24、90°，AFAD，AF是O的切线；（2）证明：弧BA=弧BC ，BACC，CD，BACD，即BAED，又ABEDBA，ABEDBA；（3）解：由（2）得：ABEDBA，即，解得：AB【点睛】本题考查了三角形与圆的综合问题，掌握圆周角定理、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键5【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）连接OD，由OD=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到1=3，求出4为90°，即可证AD是O的切线；（2）连接OD，作OFBD于F，由直角三角形的性质得出CDAC1，BCAC3， AC=3，得出BD=BC-CD=2

25、，由直角三角形的性质得出DFBFBD1，OFBF，得出OB2OF，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果；（3）证明ACDBCA，得出，求出CD=2，由勾股定理得出AD，求出AB=4，在RtAOD中，AD2 +OD2 =OA2，设O的半径为x，则OA=4-x，解关于x的方程，BE=2x，求出BE后，根据AE=AB-BE，直接计算AE的长即可；【详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：OBOD，3B，B1，13，在RtACD中，1+290°，4180°（2+3）90°，ODAD，则AD为O的切线；（2）解：连接OD，作OFBD于F，如图2所示：OBOD，B30&

26、#176;，ODBB30°，DOB120°，C90°，CADB30°，CDAC1，BCAC3，BDBCCD2，OFBD，DFBFBD1，OFBF，OB2OF，劣弧BD与弦BD所围阴影部分的面积扇形ODB的面积ODB的面积（3）解：CADB，CC，ACDBCA，AC2CD×BCCD（CD+BD），即42CD（CD+6），解得：CD2，或CD8（舍去），CD2，AD，AB4，ODAD，在RtAOD中，AD2 +OD2 =OA2，设O的半径为x，则OA=4-x，(2) 2+x2=(4-x) 2，AE=AB-BE=4-3=；【点睛】本题主要考查了勾股定

27、理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，扇形面积公式，掌握勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，扇形面积公式是解题的关键.6【答案】（1）见解析；（2）KG2=KDGE，见解析；（3）【解析】【分析】（1）如图1，连接OG根据切线性质及CDAB，可以推出KGE=AKH=GKE，根据等角对等边得到KE=GE；（2）如图2，根据平行得角相等，证明GKDEFG，列比例式可得结论；（3）如图3所示，连接OG，OC，由（1）得KE=GE，根据sinE，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，列式先求t的值，再求出圆的半径【详解】（1）如图1，连接OGEG为切线，KGE+OGA=90°C

28、DAB，AKH+OAG=90°又OA=OG，OGA=OAG，KGE=AKH=GKE，KE=GE（2）KG2=KDGE理由如下：连接GD，如图2ACEF，C=EC=AGD，E=AGDGKD=GKD，GKDEKG，KG2=KDEK，由（1）得：EK=GE，KG2=KDGE；（3）连接OG，OC，如图3所示，由（1）得：KE=GEACEF，E=ACHsinE=sinACH，设AH=3t，则AC=5t，CH=4tKE=GE，ACEF，CK=AC=5t，HK=CKCH=t在RtAHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即(3t)2+t2，解得：t设O半径为r在RtOCH中，OC=r，OH

29、=r3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即(r3t)2+(4t)2=r2，解得：rt，答：O的半径为【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解答本题的关键7【答案】（1）见解析；（2）的半径是.【解析】【分析】（1）连结，易证，由于是边上的高线，从而可知，所以是的切线（2）由于，从而可知，由，可知：，易证AOMABE，所以，再证明，所以，从而可求出.【详解】解：（1）连结平分，又，是边上的高线，是的切线.（2），是中点，AOMABE，又，在中，而，的半径是

30、.【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高，需要学生综合运用知识的能力8【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3） 【解析】【分析】（1）要想证明ABH是等腰三角形，只需要根据平行四边形的性质可得B=ADC，再根据圆内接四边形的对角互补，可得ADC+AHC=180°，再根据邻补角互补，可知AHC+AHB=180°，从而可以得到ABH和AHB的关系，从而可以证明结论成立；（2）要证直线PC是O的切线，只需要连接OC，证明OCP=90°即可，根据平行四边形的性质和边AB与O相切于点A，可以得到AEC的

31、度数，又PCD=2DAF，DOF=2DAF，COE=DOF，通过转化可以得到OCP的度数，从而可以证明结论；（3）根据题意和（1）（2）可以得到AED=90°，由平行四边形的性质和勾股定理，由AB=2，AD=，可以求得半径的长【详解】（1）证明：四边形ADCH是圆内接四边形，ADC+AHC=180°，又AHC+AHB=180°，ADC=AHB，四边形ABCD是平行四边形，ADC=B，AHB=B，AB=AH，ABH是等腰三角形；（2）证明：连接OC，如右图所示，边AB与O相切于点A，BAAF，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，CDAF，又FA经过圆心O，OEC=

32、90°，COF=2DAF，又PCD=2DAF，COF=PCD，COF+OCE=90°，PCD+OCE=90°，即OCP=90°，直线PC是O的切线；（3）四边形ABCD是平行四边形，DC=AB=2，FACD，DE=CE=1，AED=90°，AD=，DE=1，AE=，设O半径为r，则OA=OD=r，OE=AEOA=4r，OED=90°，DE=1，r2=（4r）2+12,解得，r=，即O的半径是考点：1.圆的综合题；2.平行四边形的性质；3.勾股定理；4同弧所对的圆心角和圆周角的关系.9.【答案】（1）见解析；（2）AC8cm，AD5cm

33、【解析】【分析】（1）连结OC，由PCPE得PCEPEC，利用三角形外角性质得PECEAC+ACEEAC+45°，加上CAB90°ABC，ABCOCB，于是可得到PCE90°OCB+45°90°（OCE+45°）+45°，则OCE+PCE90°，于是根据切线的判定定理可得PC为O的切线；（2）连结BD，如图，根据圆周角定理由AB为直径得ACB90°，则可利用勾股定理计算出AC8；由DC平分ACB得ACDBCD45°，根据圆周角定理得DABDBA45°，则ADB为等腰直角三角形，由勾股定

34、理即可得出AD的长【详解】（1）证明：连结OC，如图所示：PCPE，PCEPEC，PECEAC+ACEEAC+45°，而CAB90°ABC，ABCOCB，PCE90°OCB+45°90°（OCE+45°）+45°，OCE+PCE90°，即PCO90°，OCPC，PC为O的切线；（2）连结BD，如图所示，AB为直径，ACB90°，在RtACB中，AB10cm，BC6cm，AC8（cm）；DC平分ACB，ACDBCD45°，DABDBA45°来源:Z*xx*k.ComADB为等腰直角三角形，（cm）