《中考课件初中数学总复习资料》专题9 辅助圆—90°圆周角所对直径的妙用-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

《《中考课件初中数学总复习资料》专题9 辅助圆—90&amp#176;圆周角所对直径的妙用-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《中考课件初中数学总复习资料》专题9 辅助圆—90&amp#176;圆周角所对直径的妙用-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc（16页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题九：辅助圆90°圆周角所对直径的妙用专题导例如图，已知点A（6，0），B（2，0），点C在直线上，则使ABC是直角三角形的点C的个数为（）A1B2C3D4方法剖析【分析】根据A为直角，B为直角与C为直角三种情况进行分析我们知道，已知线段AB，如下图，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有个数为 个，顶点C的轨迹是 方法：见直角找斜边（定长）想直径定外心现“圆”形解直角三角形的存在性问题，一般分三步走：（1） 第一步：寻找分类标准：（2） 第二步：尝试作圆；（3） 第三步：依据勾股或相似来列方程；（4） 第四步：解方程并点的合理性导例解析：如图，当A为直角时，过点A作垂线与直线的交点

2、W（6，4），当B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），若C为直角，则点C在以线段AB为直径、AB中点E（2，0）为圆心、4为半径的圆与直线的交点上在直线中，当x0时y2，即Q（0，2），当y0时x6，即点P（6，0），则PQ4，过AB中点E（2，0），作EF直线l于点F，则EFPQOP90°，EPFQPO，EFPQOP，即，解得：EF4，以线段AB为直径、E（2，0）为圆心的圆与直线恰好有一个交点所以直线上有一点C满足C90°综上所述，使ABC是直角三角形的点C的个数为3，故选：C典例剖析类型一：确定直角三角形的个数例1在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），B（

3、2，0），若点C在一次函数yx+2的图象上，且ABC为直角三角形，则满足条件的点C有（）A1个B2个C3个D4个【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C类型二：利用直径所对圆周角为90°来解决相应问题例2在平面直角坐标系中，抛物线yx2+（k1）xk与直线ykx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧（1）如图1，当k1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线yx2+（k1）xk（k0

4、）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线ykx+1上是否存在唯一一点Q，使得OQC90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由【分析】方法一：（1）当k1时，联立抛物线与直线的解析式，解方程求得点A、B的坐标；（2）如答图2，作辅助线，求出ABP面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标；（3）“存在唯一一点Q，使得OQC90°”的含义是，以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，由圆周角定理可知，此时OQC90°且点Q为唯一以此为基础，构造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C

5、点，此时亦存在唯一一点Q，使得OQC90°方法二：（1）联立直线与抛物线方程求出点A，B坐标（2）利用面积公式求出P点坐标（3）列出定点O坐标，用参数表示C，Q点坐标，利用两直线垂直的性质构建方程求出k的值专题突破1如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是矩形内部的一个动点，且AEBE，则线段CE的最小值为 2如图，在RtABC中，BCAC2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的O交BM于N，则线段AN的最小值为 3.如图，O是ABC的外接圆，AD是O的直径，BC的延长线于过点A的直线相交于点E，且BEAC（1）求证：AE是O的切线；（2）过点C作CGAD，垂足为F，与

6、AB交于点G，若AGAB36，tanB，求DF的值4.如图，O是ABC的外接圆，ADBC于点D，直径CFAB于点E，AD、CF交于点H（1）求证：EFEH；（2）若，AC4，求BD的值5学习与探究：（1）请在图1的正方形ABCD中，作出使APB=90°的所有点P，并简要说明做法我们可以这样解决问题：利用直径所对的圆周角等于90°，作以AB为直径的圆，则正方形ABCD内部的半圆上所有点（A、B除外）为所求（2）请在图2的正方形ABCD内（含边），画出使APB=60°的所有的点P，尺规作图，不写作法，保留痕迹；（3）如图3，已知矩形ABCD中，AB=4，AC=3，请在

7、矩形内（含边），画出APB=60°的所有的点P，尺规作图，不写作法，保留痕迹6如图，抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），B（0，2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）若MCB为直角三角形，请求出点M的坐标；（3）在抛物线上找出点P，使得以M、C、B、P为顶点的四边形为平行四边形，并直接写出点P的坐标7.如图1，在直角坐标系中，直线l与x、y轴分别交于点A（2，0）、B（0，）两点，BAO的角平分线交y轴于点D点C为直线l上一点，以AC为直径的G经过点D，且与x轴交于另一点E（1）求

8、出G的半径r，并直接写出点C的坐标；（2）如图2，若点F为G上的一点，连接AF，且满足FEA45°，请求出EF的长？8.如图，矩形ABCD的边AB3，AD4，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连结EF、CF，过点E作EGEF，EG与圆O相交于点G，连结CG（1）求证：四边形EFCG是矩形；（2）求tanCEG的值；（3）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，求四边形EFCG面积的取值范围专题九：辅助圆90°圆周角所对直径的妙用例1 解：由题意知，直线yx+2与x轴的交点为（4，0），与y轴的交点为（0，2）

9、，过点A作垂线与直线的交点W（4，4），过点B作垂线与直线的交点S（2，1），过AB中点E（1，0），作垂线与直线的交点为F（1，2.5），则EF2.53，所以以3为半径，以点E为圆心的圆与直线必有两个交点共有四个点能与点A，点B组成直角三角形例2【解答】方法一：解：（1）当k1时，抛物线解析式为yx21，直线解析式为yx+1联立两个解析式，得：x21x+1，解得：x1或x2，当x1时，yx+10；当x2时，yx+13，A（1，0），B（2，3）（2）设P（x，x21）如答图2所示，过点P作PFy轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）PFyFyP（x+1）（x21）x2+x+2SABPSPF

10、A+SPFBPF（xFxA）+PF（xBxF）PF（xBxA）PFSABP（x2+x+2）（x）2+当x时，yPx21ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，）（3）设直线AB：ykx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，则E（，0），F（0，1），OE，OF1在RtEOF中，由勾股定理得：EF令yx2+（k1）xk0，即（x+k）（x1）0，解得：xk或x1C（k，0），OCk.假设存在唯一一点Q，使得OQC90°，如答图3所示，则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时OQC90°设点N为OC中点，连接NQ，则NQEF，NQCNONENOEONNEQFEO，

11、EQNEOF90°，EQNEOF，即：，解得：k±，k0，k存在唯一一点Q，使得OQC90°，此时k.若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得OQC90°，将C（k，0）代入ykx+1中，可得k1，k1（舍去），故存在唯一一点Q，使得OQC90°，此时k1综上所述，k或1时，存在唯一一点Q，使得OQC90°方法二：（1）略（2）过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，设P（t，t21），则F（t，t+1）SABP（FYPY）（BXAX），SABP（t+1t2+1）（2+1），SABPt2+t+3，当t时

12、，SABP有最大值，SABP（3）yx2+（k1）xk，y（x+k）（x1），当y0时，x1k，x21，C（k，0），D（1，0），当点A和点C重合时，将C（k，0）代入ykx+1中，可得k1，k1（舍去），故存在唯一一点Q，使得OQC90°，此时k1当点A和点C不重合时，点Q在ykx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），OQC90°，CQOQ，KCQ×KOQ1，（k2+1）t2+3kt+10有唯一解，（3k）24（k2+1）0，k1，k2（k0故舍去），k综上所述，k或1时，存在唯一一点Q，使得OQC90°专题突破1如图，AEBE，点E在以AB为

13、直径的半O上连接CO交O于点E当点E位于点E位置时，线段CE取得最小值，AB4，OAOBOE2BC6，OCBC2+OB262+22210CEOCOE2102故答案为21022如图1，连接CNCM是O的直径，CNM90°CNB90°点N在以BC为直径的O上O的半径为1，当点O，N，A共线时，AN最小，如图2在RtAOC中，OC1，AC2，OAO'C2+AC25ANAOON51，即线段AN长度的最小值为51故答案为513.（1）证明：连接CDBD，AD是直径，ACD90°，D+190°，B+190°，BEAC，EAC+190°，O

14、AAE，AE是O的切线（2）CGADOAAE，CGAE，23，2B，3B，CAGCAB，ABCACG，AC2AGAB36，AC6，tanDtanB，在RtACD中，tanDCD6，AD6，DD，ACDCFD90°，ACDCFD，DF4，4.解：如图1，连接AF，AEHCDH90°，AHECHD，BADBCF，BCFBAF，BADBAF，即FAEHAE，在AEF和AEH中，AEFAEH（ASA），EFEH；（2）如图2，连接AF，直径CFAB于点E，ACD2BCF，BOF2BCF，BOECAD，ADCBEO90°，BEOADC，AC4，BO，FC2BO5，在RTCA

15、F中，AF3，CEACAF，即，CE，AE，BEAE，AD，在RTADB中，BD5（1）在以AB为直径的半圆上，A，B两点除外；（2）如图2，作ABP的外接圆O，分别与AD、BC交于点E,F，弧EF上所有的点均可来源:Z#xx#k.Com理由：同圆中同弧所对的圆周角相等，（3）如图3，画法如图：来源:学科网ZXXK连接AC；来源:Z#xx#k.Com以AB为边作等边ABE；作等边ABE的外接圆O，交AC于点P；在AC上截取AP'=CP则点P,P为所求6.解：（1）把A（1，0），B（0，2）代入抛物线yx2+bx+c中得：，解得：，抛物线所表示的二次函数的表达式为：yx2x2；（2）当

16、MCB90°时，由题意A（1，0），B（0，2），C（2，0）直线BC的解析式为yx2，直线MC的解析式为yx+2M（，）当MBC90°时，直线BM的解析式为yx2，M（，）当BMC90°时，设M（，m）设BC的中点为K，则MKBC×2，K（1，1），（1）2+（m+1）22，解得m，M（，）或（，）综上所述，满足条件的点M的坐标为M（，）或（，）或（，）或（，）（3）如图1，当四边形PCBM是平行四边形时，MPBC，且MPBC，由点C向右平移个单位到P，可知：点B向右平移个单位到M，当x时，y（）22，P（，）；如图2中，当四边形PMCB是平行四边形时

17、，由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P点P的横坐标为，当x时，y（）2+2，P（，）当BC为对角线时，对角线的中点坐标为（1，1），点M的横坐标为，则点P的横坐标为，P（，）综上所述，满足条件的点P坐标为（，）或（，）或（，）7.解：（1）连接GD，ECOAB的角平分线交y轴于点D，GADDAO，GDGA，GDAGAD，GDADAO，GDOA，BDGBOA90°，GD为半径，y轴是G的切线；A（2，0），B（0，），OA2，OB，在RtAOB中，由勾股定理可得：AB设半径GDr，则BGr，GDOA，BDGBOA，r2（r），r，AC是直径，AECAOB90

18、76;，ECOB，EC2，AE，OE2，C的坐标为（，2）；（2） 过点A作AHEF于H，连接CE、CF，AC是直径，AC2×AECAFC90°FEA45°FCA45°在RtAEH中，由勾股定理可知：AFCF，设OEaAE2aCEOBACEABO，CE2，CE2+AE2AC2，22+（2a）2a或a（不合题意，舍去）AE在RtAEH中，由勾股定理可得，AHEH，在RtAEH中，由勾股定理可知：FH2AF2AH2（）2（）22，FH，EFEH+FH8. 解：（1）证明：CE为O的直径，CFECGE90°，EGEF，FEG90°，CFEC

19、GEFEG90°，四边形EFCG是矩形（2）由（1）知四边形EFCG是矩形CFEG，CEGECF，ECFEDF，CEGEDF，在RtABD中，AB3，AD4，tan，tanCEG；（3）四边形EFCG是矩形，FCEGFCECEG，tanFCEtanCEG，CFE90°，EFCF，S矩形EFCG；连结OD，如图2，GDCCEG，FCEFDE，GDCFDEFDE+CDB90°，GDC+CDB90°，GDB90°（）当点E在点A（E）处时，点F在点B（F）处，点G在点D（G）处，如图2所示此时，CFCB4（10分）（）当点F在点D（F）处时，直径FGBD，如图2所示，此时O与射线BD相切，CFCD3（）当CFBD时，CF最小，如图2所示SBCDBC×CDBD×CF，4×35×CF，CF，CF4，S矩形EFCG，×（）2S矩形EFCG×42，S矩形EFCG12