《中考课件初中数学总复习资料》专题15 利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc

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1、专题十五：利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值专题导例如图，O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切O于点Q，则PQ的最小值为（）A BC3D5【分析】因为PQ为切线，所以OPQ是Rt又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小根据垂线段最短，知OP3时PQ最小根据勾股定理得出结论即可方法剖析【模型讲解】圆的定义为平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合在一些题目中，我们可以通过分析条件得到相应动点轨迹是个圆（弧），也有相应的题目把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，利用圆与点的位置关系，有助于我们解决定一类定值问题。若已经确定了动点的轨迹圆，接下来求最最值的

2、问题就会变得简单了，如下图，在O外有一点P，在圆上找一点Q，使得PQ最短 解析：在O上任取一点Q，连接QO和OP，在OQP中，根据三角形三边关系，则0Q+QP>OP OP=0Q+QP，且OQ=0Q 0Q+QP>0Q+QP QP>QP所以连接OP，与圆的交点即为所求点Q，此时PQ最短.【类型变式】 点P在圆外，PQ最长 点P在圆内，PQ最长 点P在圆内，PQ最短导例答案 解：PQ切O于点Q，OQP90°，PQ2OP2OQ2，而OQ2，PQ2OP24，即PQ，当OP最小时，PQ最小，点O到直线l的距离为3，OP的最小值为3，PQ的最小值为故选：B典例剖析类型一：利用圆的

3、定义来作辅助圆定位置关系来求最值例1.如图，在边长为2的菱形ABCD中，A60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度最小值是 。【分析1】考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，可得MA=MA=1，所以A轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧。【分析2】根据题意，在N的运动过程中A在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当AC取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A、C三点共线，得出A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可类型二：利用已知点的轨迹为圆考查位置关系来求最值例2.如图，已知C的半径为2，圆外一

4、点O满足OC3.5，点P为C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OAOB，APB90°，l不经过点C，则AB的最小值为（）A2B2.5C3D3.5【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PCOC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB2OP，计算得到答案专题突破1.如图，ABC中，BAC90°，ABAC2，D为AC上一动点，以AD为直径的O交BD于E，则线段CE的最小值为（）2如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB2，AD4，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DHAC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A6BCD73.如图，

5、RtABC中，ABBC，AB8，BC6，P是ABC内部的一个动点，满足PABPBC，则线段CP长的最小值为（）ABCD4.如图，已知圆C的半径为3，圆外一定点O满足OC=5，点P为圆C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA=OB，APB=90°，l不经过点C，则AB的最小值为_5.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心、OA长为半径作O，点M在0上运动，连接MB，以MB为腰作等腰RtMBC，使MBC=90°，M、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围是_.6.如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，E是平面内的一个动点，且满足AEB9

6、0°，连接CE，则线段CE长的最大值为 7.如图，在RtABC中，C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_8.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AEDF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是 9.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则PAB面积的最大值是_.10.如图，在ABC中，AB5，AC4，BC3，以边AB的中点O

7、为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是 11在ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为 12.如图，正方形ABCD的边长为4，动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为 13.如果三角形的两个内角与满足2+90°，那么我们

8、称这样的三角形为“准互余三角形”（1）若ABC是“准互余三角形”，C90°，A60°，则B °；（2）如图，在RtABC中，ACB90°，AC4，BC5若AD是BAC的平分线，不难证明ABD是“准互余三角形”试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由（3）如图，在四边形ABCD中，AB7，CD12，BDCD，ABD2BCD，且ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长14如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将EBF沿EF

9、折叠，得到EBF（1）当BEF=45°时，求证：CF=AE；（2）当BD=BC时，求BF的长；（3）求CBF周长的最小值15.问题提出：如图1，在RtABC中，ACB=90°，CB=4，CA=6，C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求的最小值.尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又PCD=BCP，PCDBCP，.请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为的最小值为 .自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为 .拓展延伸：已知扇形COD中，COD=90°，OC=6，OA=3，

10、OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB的最小值.专题十五：利用轨迹特征建立点与圆的位置关系求最值例1.解法一：考虑AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，可得MA=MA=1，所以A轨迹是以M点为圆心，MA为半径的圆弧连接CM，与圆的交点即为所求的A，此时AC的值最小构造直角MHC，勾股定理求CM，再减去AM即可解法二：解：如图所示：MA是定值，AC长度取最小值时，即A在MC上时，过点M作MFDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A60°，M为AD中点，2MDADCD2，FDM60°，FMD30°，FDMD，FMDM×cos30°，MC，AC

11、MCMA1故答案为：1答案：。例2、解：连接OP，PC，OC，OPOCPC3.521.5，当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为1.5，OAOB，APB90°，AB2OP，当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP3，故选：C专题突破答案1.解：如图，连接AE，则AEDBEA90°，点E在以AB为直径的Q上，AB2，QAQB1，当点Q、E、C三点共线时，CE最小，AC2，QC，CEQCQE1，故选：D2解：如图，取AD的中点M，以点M为圆心，半径为2画圆，点A、D、H都在圆M上，连接BM，BD，AB是半圆的直径，ADB90°，在RtABD中，BD2，在Rt

12、BDM中，BM8，因为点C在弧BD上移动的过程中，始终保持了DHAC，所以当点B、H、M三点在同一条直线上时，BH最短，此时BHBMHM826所以BH的最小值为6故选：A3.解：取AB的中点O，连接OP，ABC90°，ABP+PBC90°，PABPBC，BAP+ABP90°，APB90°，OPOAOB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），点P在以AB为直径的O的一部分弧线上，连接OC交O于点P，此时PC最小，其最小值为OCOP，在RtBCO中，OBC90°，BC6，OPOB4，OC2，PCOCOP24PC最小值为24故选：D4.连接OP，根据AP

13、B为直角三角形且O是斜边AB中点，可得OP是AB的一半，若AB最小，则OP最小即可连接OC，与圆C交点即为所求点P，此时OP最小，AB也取到最小值答案：45.以AB为边向下作等腰RtABD，连接DMMBC与DBA均为等腰直角三角形MB=BC，BD=AB，MBC=DBA=90°MBC+ABM=DBA+ABMMBD=CBA ABCMBD 来源:Z&xx&k.ComAC=MD点M在圆上运动，DM的最小值为OD-r；DM的最大值为OD+r在RtOBD中，可计算出OD=5所以DM的最小值为4，DM的最大值为64AC66.解：AEB90°，点E在以AB为直径的圆上，如图

14、所示，设圆心为O，AB4，AB是O的直径，OE2，在RtOBC中，OC，当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，CE的最大值OE+OC2+2，CE的最大值2+2故答案为：2+27.考虑到将FCE沿EF翻折得到FPE，可得P点轨迹是以F点为圆心，FC为半径的圆弧过F点作FHAB，与圆的交点即为所求P点，此时点P到AB的距离最小由相似先求FH，再减去FP，即可得到PH答案：1.28.解：在正方形ABCD中，ABADCD，BADCDA，ADGCDG，在ABE和DCF中，ABEDCF（SAS），12，在ADG和CDG中，ADGCDG（SAS），23，13，BAH+3BAD90°，1+BAH9

15、0°，AHB180°90°90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OHAOAB2，在RtAOD中，OD2，根据三角形的三边关系，OH+DHOD，当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值ODOH22故答案为：229.过C作CMAB于M，连接AC，MC的延长线交C于N，则由三角形面积公式得，5×CM16，圆C上点到直线的最小距离是，PAB面积的最小值是 ，故答案是：10.解：如图，设O与AC相切于点E，连接OE，作OP1BC垂足为P1交O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1OQ1，AB5，AC4，BC3，AB2AC2+BC2

16、，C90°，OP1B90°，OP1ACAOOB，P1CP1B，OP1AC2，P1Q1最小值为OP1OQ10.5，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值2.5+1.54，PQ长的最大值与最小值的和是4.5故答案为：4.511设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值DE=4，四边形DEFG为矩形，GF=DE，MN=EF，NP=MNMP=EFMP=1，PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10故答案为：1012.首先考虑整个问题中的不变量，仅有AE=CF

17、，BGEF，但BGE所对的BE边是不确定的重点放在AE=CF，可得EF必过正方形中心O点，连接BD，与EF交点即为O点 BGO为直角且BO边为定直线，故G点轨迹是以BO为直径的圆记BO中点为M点，当A、G、M共线时，AG取到最小值，利用RtAOM勾股定理先求AM，再减去GM即可13.解：（1）ABC是“准互余三角形”，C90°，A60°，2B+A90°，解得，B15°，故答案为：15°；（2）如图中，在RtABC中，B+BAC90°，BAC2BAD，B+2BAD90°，ABD是“准互余三角形”，ABE也是“准互余三角形”，只

18、有2B+BAE90°，B+BAE+EAC90°，CAEB，CC90°，CAECBA，可得CA2CECB，CE，BE5（3）如图中，将BCD沿BC翻折得到BCFCFCD12，BCFBCD，CBFCBD，ABD2BCD，BCD+CBD90°，ABD+DBC+CBF180°，A、B、F共线，FAC+ACF90°2ACB+CAB90°，只有2BAC+ACB90°，FCBFAC，FF，FCBFAC，CF2FBFA，设FBx，则有：x（x+7）122，x9或16（舍弃），AF7+916，在RtACF中，AC2014（1）证明：

19、如图1中，当BEF=45°时，易知四边形BEBF是正方形，BF=BE，AB=BC，CF=AE=3（2）解：如图2中，作BNBC于N，NB的延长线交AD于M，作EGMN于G，则四边形MNCD、四边形AEGM都是矩形BD=BC，BDC=BCD，ADC=BCD=90°，BDM=BCN，BMD=BNC=90°，BMDBCN，BM=BN=8，AE=MG=3，GB=5，在RtEGB中，EBG+FBN=90°，FBN+BFN=90°，EBG=BFN，EGB=FNB=90°，EGBBNF，（3）解：如图3中，以E为圆心EB为半径画圆，在RtEBC中，

20、EBC=90°，EB=13，BC=16，CFB的周长=CF+FB+CB=BF+CF+CB=BC+CB=16+CB，欲求CFB的周长的最小值，只要求出CB的最小值即可，CB+EBEC，E、B、C共线时，CB的值最小，CB最小值为CFB的周长的最小值为15.(1)如图1，连接AD，,要使最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：最小值为AD，在RtACD中，CD=1，AC=6，的最小值为,故答案为；(2)如图2，连接CP,在CA上取点D,使，CD：CP=CP：CA=1：3，PCD=ACP，PCDACP，PD：AP=1：3，同(1)的方法得出的最小值为.故答案为：；(3)如图3，延长OA到点E，使CE=6，OE=OC+CE=12，连接PE、OP，OA=3，OA：OP=OP：OE=1：2，AOP=AOP，OAPOPE，AP：EP=1：2，EP=2PA，2PA+PB=EP+PB，当E. P、B三点共线时,取得最小值为：BE=.