《中考课件初中数学总复习资料》专题16二次函数的存在性问题(解析版).doc
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1、决胜2020中考数学压轴题全揭秘精品专题16二次函数的存在性问题【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线与x轴分别交于,两点,与y轴交于点C(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标;(2)点F是线段AD上一个动点如图1,设,当k为何值时,.如图2,以A,F,O为顶点的三角形是否与相似?若相似,求出点F的坐标;若不相似,请说明理由【答案】(1),D的坐标为;(2);以A,F,O为顶点的三角形与相似,F点的坐标为或【解析】(1)将A、B两点的坐标代入二次函数解析式,用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式,可求得顶点;(2)由A、C、D三点的坐标求出,可得为直角三角形,若,则点
2、F为AD的中点,可求出k的值;由条件可判断,则,若以A,F,O为顶点的三角形与相似,可分两种情况考虑:当或时,可分别求出点F的坐标【详解】(1)抛物线过点,解得:,抛物线解析式为;,顶点D的坐标为;(2)在中,为直角三角形,且,F为AD的中点,;在中,在中,若以A,F,O为顶点的三角形与相似,则可分两种情况考虑:当时,设直线BC的解析式为,解得:,直线BC的解析式为,直线OF的解析式为,设直线AD的解析式为,解得:,直线AD的解析式为,解得:,当时,直线OF的解析式为,解得:,综合以上可得F点的坐标为或【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性
3、质和直角三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题【变式1-1】如图,抛物线经过,两点,且与轴交于点,抛物线与直线交于,两点(1)求抛物线的解析式;(2)坐标轴上是否存在一点,使得是以为底边的等腰三角形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,说明理由(3)点在轴上且位于点的左侧,若以,为顶点的三角形与相似,求点的坐标【答案】(1);(2)存在,或,理由见解析;(3)或【解析】(1)将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式;(2)先求出E点坐标,然后作AE的垂直平分线,与x轴交于Q,与y轴交于Q',根据垂直平分线的性质可知Q、与A、
4、E,Q'与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形,设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),根据距离公式建立方程求解即可;(3)根据A、E坐标,求出AE长度,然后推出BAE=ABC=45°,设,由相似得到或,建立方程求解即可【详解】(1)将,代入得:,解得抛物线解析式为(2)存在,理由如下:联立和,解得或E点坐标为(4,-5),如图,作AE的垂直平分线,与x轴交于Q,与y轴交于Q',此时Q点与Q'点的坐标即为所求,设Q点坐标(0,x),Q'坐标(0,y),由QA=QE,Q'A= Q'E得:,解得,故Q点坐标为或(3),当时
5、,解得或3B点坐标为(3,0),由直线可得AE与y轴的交点为(0,-1),而A点坐标为(-1,0)BAE=45°设则,和相似 或,即或解得或,或【点睛】本题考查二次函数的综合问题,是中考常见的压轴题型,熟练掌握待定系数法求函数解析式,等腰三角形的性质,以及相似三角形的性质是解题的关键【变式1-2】如图,已知抛物线(m0)与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.(1)若抛物线过点(2,2),求抛物线的解析式;(2)在(1)的条件下,抛物线的对称轴上是否存在一点H,使AH+CH的值最小,若存在,求出点H的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在第四象限内,抛物线上是否存在
6、点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与ACB相似?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1);(2)点H的坐标为(1,);(3)当m=时,在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与ACB相似. 【解析】分析:(1)把点(2,2)代入中,解出m的值即可得到抛物线的解析式;(2)由(1)中所得解析式求出点A、B、C的坐标,由题意可知,点A、B关于抛物线的对称轴对称,这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H,根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标;(3)由解析式可得点A、B、C的坐标分别为(-2,0)、(m,0)和(0,2),如下图,由图可知AC
7、B和ABM是钝角,因此存在两种可能性:当ACBABM,ACBMBA,分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.详解:(1)把点(2,2)代入抛物线,得2=. 解得m=4. 抛物线的解析式为. (2)令,解得.则A(-2,0),B(4,0). 对称轴x=-. 中当x=0时,y=2,点C的坐标为(0,2).点A和点B关于抛物线的对称轴对称,连接BC与对称轴的交点即为点H,此时AH+CH的值最小,设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(4,0),C(0,2)代入得: ,解得: ,直线BC的解析式为y=. 当x=1时,y=.点H的坐标为(1,). (3)假设存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角
8、形与ACB相似.如下图,连接AC,BC,AM,BM,过点M作MNx轴于点N,由图易知,ACB和ABM为钝角,当ACBABM时,有=,即.A(-2,0),C(0,2),即OA=OC=2,CAB=BAM=.MNx轴,BAM=AMN=45°,AN=MN. 可设M的坐标为:(x,-x-2)(x0),把点M的坐标代入抛物线的解析式,得:-x-2=.化简整理得:x=2m,点M的坐标为:(2m,-2m-2).AM=.,AC=,AB=m+2,.解得:m=.m0,m=. 当ACBMBA时,有=,即.CBA=BAM,ANM=BOC=,ANMBOC,=.BO=m,设ON=x,=,即MN=(x+2).令M(
9、x,)(x0),把M点的坐标代入抛物线的解析式,得=.解得x=m+2.即M(m+2,).,CB=,MN=,.化简整理,得16=0,显然不成立. 综上所述,当m=时,在第四象限内抛物线上存在点M,使得以点A,B,M为顶点的三角形与ACB相似. 点睛:本题是一道二次函数和几何图形综合的题目,解题的要点有以下两点:(1)“知道点A、B是关于抛物线的对称轴对称的,连接BC与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键;(2)“能根据题意画出符合要求的图形,知道ACB和ABM为钝角,结合题意得到存在:当ACBABM,ACBMBA这两种可能情况”是解答第3小题的关键.【考点2】二次函数与直角三角形问题
10、【例2】如图,抛物线的顶点坐标为,图象与轴交于点,与轴交于、两点求抛物线的解析式;设抛物线对称轴与直线交于点,连接、,求的面积;点为直线上的任意一点,过点作轴的垂线与抛物线交于点,问是否存在点使为直角三角形?若存在,求出点坐标,若不存在,请说明理由【答案】(1) ;(2)2;(3)见解析.【解析】(1)可设抛物线解析式为顶点式,把C点坐标代入可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得A、B坐标,利用待定系数法可求得直线BC解析式,利用对称轴可求得D点坐标,则可求得AD2、AC2和CD2,利用勾股定理的逆定理可判定ACD为直角三角形,则可求得其面积;(3)根据题意可分DFE=90°
11、和EDF=90°两种情况,当DFE=90°时,可知DFx轴,则可求得E点纵坐标,代入抛物线解析式可求得E点坐标;当EDF=90°时,可求得直线AD解析式,联立直线AC和抛物线解析式可求得点E的横坐标,代入直线BC可求得点E的坐标【详解】解:抛物线的顶点坐标为,可设抛物线解析式为,把代入可得,解得,抛物线解析式为;在中,令可得,解得或,设直线解析式为,把代入得:,解得,直线解析式为,由可知抛物线的对称轴为,此时,是以为斜边的直角三角形,;由题意知轴,则,为直角三角形,分和两种情况,当时,即轴,则、的纵坐标相同,点纵坐标为,点在抛物线上,解得,即点的横坐标为,点在直线
12、上,当时,当时,点坐标为或;当时,直线解析式为,直线解析式为,直线与抛物线的交点即为点,联立直线与抛物线解析式有,解得或,当时,当时,点坐标为或,综上可知存在满足条件的点,其坐标为或或或【点睛】考查了待定系数法求函数解析式,利用已知的顶点坐标,列出方程组,可以求出函数解析式.【变式2-1】如图,经过轴上两点的抛物线()交轴于点,设抛物线的顶点为,若以为直径的G经过点,求解下列问题:(1)用含的代数式表示出的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)能否在抛物线上找到一点,使为直角三角形?如能,求出点的坐标,若不能,请说明理由。【答案】(1)点的坐标为,点的坐标为;(2) 抛物线的解析式为;(3)满足
13、题意的点有三个:、和 【解析】【试题分析】(1)是顶点式,则顶点的坐标为,当x=0,则y=-3m,即点的坐标为;(2)连接CD 、 BC,过点作轴于,如图所示:根据直径所对的圆周角是直角,得 ,出现“一线三等角模型”,得 得: ,解得,则抛物线的解析式为.(3)分三种情况分类讨论: (图)显然与点重合,点坐标为 ;=(图)作轴于,轴于,根据两角对应相等,两三角形相似,得,则,由于点坐标,则,解得:由得坐标: ;=(图)延长交轴于,作轴于,轴于,同理可证:,则,即,得,点的坐标为,设所在的直线解析式为y=kx+b,用待定系数法,把M和D(1,4)代入得: 解得:则直线DM的解析式为 ,把代入得:
14、,解得,最后把代入 得,点的坐标为综上述,点有三个:、和 【试题解析】(1)y是顶点式点的坐标为当x=0时,y= -3m点的坐标为(2) 连接CD 、 BC,过点作轴于,如图所示:BD是G的直径DCB=ECD+BCO=ECD+EDC=BCO=EDCDEC=BOC= 抛物线的解析式为(3)能在抛物线上找到一点Q,使BDQ为直角三角形很明显,点即在抛物线上,又在G上,这时与点重合点坐标为 如图,若为,作轴于,轴于同理可证:点坐标化简得:,解得:(不合题意,舍去),由得坐标: 若为,如图,延长交轴于,作轴于,轴于,同理可证:则,得,点的坐标为设所在的直线解析式为y=kx+b,把M和D(1,4)代入得
15、: 解得:直线DM的解析式为 ,把代入得:解为:(不合题意,舍去),把代入 得,点的坐标为 综合上述,满足题意的点有三个:、和 【方法点睛】本题目是一道二次函数的综合题,涉及到顶点坐标,与坐标轴的交点,一线三等角证相似,并且多次运用相似三角形的对应边成比例,直角三角形的确定(3种情况分类讨论),难度较大.【变式2-2】已知抛物线与轴只有一个交点,且与轴交于点,如图,设它的顶点为B(1)求的值;(2)过A作x轴的平行线,交抛物线于点C,求证:ABC是等腰直角三角形;(3)将此抛物线向下平移4个单位后,得到抛物线,且与x轴的左半轴交于E点,与y轴交于F点,如图请在抛物线上求点P,使得是以EF为直角
16、边的直角三角形?【答案】(1)m = 2;(2)证明见解析;(3)满足条件的P点的坐标为(,)或(,)【解析】试题分析:(1)根据抛物线与x轴只有一个交点可知的值为0,由此得到一个关于m的一元一次方程,解此方程可得m的值;(2)根据抛物线的解析式求出顶点坐标,根据A点在y轴上求出A点坐标,再求C点坐标,根据三个点的坐标得出ABC为等腰直角三角形;(3)根据抛物线解析式求出E、F的坐标,然后分别讨论以E为直角顶点和以F为直角顶点P的坐标试题解析:(1)抛物线y=x2-2x+m-1与x轴只有一个交点,=(-2)2-4×1×(m-1)=0,解得,m=2;(2)由(1)知抛物线的解
17、析式为y=x2-2x+1=(x-1)2,易得顶点B(1,0),当x=0时,y=1,得A(0,1)由1=x2-2x+1,解得,x=0(舍)或x=2,所以C点坐标为:(2,1)过C作x轴的垂线,垂足为D,则CD=1,BD=xD-xB=1在RtCDB中,CBD=45°,BC=同理,在RtAOB中,AO=OB=1,于是ABO=45°,AB=ABC=180°-CBD-ABO=90°,AB=BC,因此ABC是等腰直角三角形;(3)由题知,抛物线C的解析式为y=x2-2x-3,当x=0时,y=-3;当y=0时,x=-1或x=3,E(-1,0),F(0,-3),即OE=
18、1,OF=3第一种情况:若以E点为直角顶点,设此时满足条件的点为P1(x1,y1),作P1Mx轴于MP1EM+OEF=EFO+OEF=90°,P1EM=EFO,得RtEFORtP1EM,则,即EM=3P1MEM=x1+1,P1M=y1,x1+1=3y1由于P1(x1,y1)在抛物线C上,则有3(x12-2x1-3)=x1+1,整理得,3x12-7x1-10=0,解得,x1,或x2=-1(舍去)把x1代入中可解得,y1=P1(,)第二种情况:若以F点为直角顶点,设此时满足条件的点为P2(x2,y2),作P2Ny轴于N同第一种情况,易知RtEFORtFP2N,得,即P2N=3FNP2N=
19、x2,FN=3+y2,x2=3(3+y2)由于P2(x2,y2)在抛物线C上,则有x2=3(3+x22-2x2-3),整理得3x22-7x2=0,解得x2=0(舍)或x2把x2代入中可解得,y2P2(,)综上所述,满足条件的P点的坐标为:(,)或(,).【考点3】二次函数与等腰三角形问题【例3】如图,已知:二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(3,0),与y轴交于点C,点D(2,3)在抛物线上(1)求抛物线的表达式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求出PA+PD的最小值;(3)若抛物线上有一动点M,使ABM的面积等于ABC的面积,求M点坐标(4)抛物线的对称轴上
20、是否存在动点Q,使得BCQ为等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由【答案】(1)yx2+2x3;(2);(3)点M的坐标为(1,3),(1+,3),(2,3);(4)存在;点Q的坐标为(1,),(1,),(1,0),(1,6),(1,1)【解析】(1)由点A,D的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,连接BD,交抛物线的对称轴于点P,由抛物线的对称性及两点之间线段最短可得出此时PA+PD取最小值,最小值为线段BD的长度,再由点B,D的坐标,利用两点间的距离公式可求出PA+PD的最小值;(3)利用二次函数图象上点的坐标特
21、征可求出点C的坐标,设点M的坐标为(x,x2+2x-3),由ABM的面积等于ABC的面积可得出关于x的一元二次方程,解之即可求出点M的坐标;(4)设点Q的坐标为(-1,m),结合点B,C的坐标可得出CQ2,BQ2,BC2,分BQ=BC,CQ=CB及QB=QC三种情况,找出关于m的一元二次(或一元一次)方程,解之即可得出点Q的坐标【详解】解:(1)将A(3,0),D(2,3)代入yx2+bx+c,得:,解得:,抛物线的表达式为yx2+2x3(2)当y0时,x2+2x30,解得:x13,x21,点B的坐标为(1,0)连接BD,交抛物线的对称轴于点P,如图1所示PAPB,此时PA+PD取最小值,最小
22、值为线段BD的长度点B的坐标为(1,0),点D的坐标为(2,3),BD3,PA+PD的最小值为3(3)当x0时,yx2+2x33,点C的坐标为(0,3)设点M的坐标为(x,x2+2x3)SABMSABC,|x2+2x3|3,即x2+2x60或x2+2x0,解得:x11,x21+,x32,x40(舍去),点M的坐标为(1,3),(1+,3),(2,3)(4)设点Q的坐标为(1,m)点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,3),CQ2(10)2+m(3)2m2+6m+10,BQ2(11)2+(m0)2m2+4,BC2(01)2+(30)210分三种情况考虑(如图2所示):当BQBC时,m2+41
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