《中考课件初中数学总复习资料》专题27第5章相似三角形之母子型备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

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1、27第5章相似三角形之母子型一、单选题1如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A1对B2对C3对D4对【答案】C【解析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形【解答】ACB90°，CDABABCACD，ACDCBD，ABCCBD所以有三对相似三角形，故选：C【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似2如图，ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，ENBC交AD于N，若BD=2，则CD长度为(

2、) A6B7C8D9【答案】A【解析】根据平行线的性质得到相等的角，再结合BF=EF先证明NEFDBF，即可得到NE=BD=2，再证明ANEADC，根据相似三角形的对应边成比例求解【解答】解：NEBC， NEF=DBF，ENF=BDF， 又BF=EF， NEFDBF， NE=BD=2 NEBC， ANEADC， ， CE=2AE， ， CD=6故答案选：A【点睛】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，主要注意数形结合思想的应用3如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（ ）A3BCD【答案】A【解析】过

3、D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长【解答】如下图，过D做于点H 正方形ABCD 且 又 又正方形ABCD 于点G 且 故选：A方法二：BEC+FCD=90°，DFC+FCD=90°，BEC=DFC，又CDF=BCE,BC=CD,BCECDF，CE=DF=4-1=3;【点睛】本题考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解4如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）ABCD【答案】D【解析】在与中，已知有一对公共角B，只需再添加

4、一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误【解答】A已知B=B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；B已知B=B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；C已知B=B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；D若，但夹的角不是公共等角B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，故选：D【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键二、填空题5如图，在边长为4正方形中，以为腰向正方形内部作等腰，点在上，且连接并延长，与交于点，与延长线交于点连接交于点若，则_【答案】【解析】作于，交于，根据勾股定理可得BG，再由相似三角形的

5、性质可得BH，继而判定，并求得BF的长，由全等三角形的性质可得ME，利用线段的和差求得EN，进而由三角形面积公式即可求解【解答】作于，交于，如图，则，在中，即解得，而，即，而，BFAE， BMEEFB，MBEFEB，BEEB，BMEEFB（AAS），故答案为：【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线求得关键线段的长解决问题6如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,DAC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2则BO的长是_【答案】4【解析】连结OC，设

6、O的半径为r，由DC2=CECA和ACD=DCE，可判断CADCDE，得到CAD=CDE，再根据圆周角定理得CAD=CBD，所以CDB=CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OCAD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可【解答】解：连结，如图，设的半径为，而，即，即OB=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据

7、基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可也考查了圆周角定理7如图，在中，则CD的长为_【答案】5【解析】在CD上取点F，使，证明，求解 再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案.【解答】解：在CD上取点F，使，由，且， ，又， ， ，又，或舍去，经检验：符合题意，故答案为：5本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.8如图D、E分别是AB、AC上的点，DEBC，ABC的内角平分线AQ交

8、DE于点P，过点P作直线交AB、AC于R、S，若，则DE=_【答案】6【解析】由 ，且RAS=CAB，可证得ARSACB，所以ARS=ACB，再由BAP=CAQ可证得ARPACQ，再由DEBC，可知，把BC的值代入可求得DE【解答】解：，且RAS=CAB，ARSACB，ARS=ACB，又AQ为角平分线，BAP=CAQ，ARPACQ，DEBC，BC=9，DE=6【点睛】本题主要考查三角形相似的判定和性质，解题的关键是能利用条件两次证得三角形相似，从而得到DE和BC的比值9如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF若点E，F，D在同一条直线上，A

9、E2，则DF_，BE_【答案】2 1 【解析】先根据矩形的性质得到，再根据折叠的性质得到，然后根据全等三角形的性质得到；最后根据相似三角形的性质即可得BE的值【解答】四边形ABCD是矩形，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，在和中，即解得或（不符题意，舍去）则故答案为：2，【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键10如图，在中，AB=AC=4，点D为边AC上一动点（点C除外），将线段BD绕点D顺时针旋转至ED，连接CE，则面积的最大值为_【答案】【解析】设CD=x，

10、过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，由得到，再利用勾股定理求出NC，证出，即可得出结果；【解答】设CD=x，过A作与Z，过B作的延长线于N，过E作的延长线于M，如图所示：AB=AC，AC=4，又，解得，根据勾股定理得，根据题意可得，即可得到,线段BD绕点D顺时针旋转至ED，ME=DN=CN-CD=，面积最大时，此时【点睛】本题主要考查了相似三角形、等腰三角形的性质以及勾股定理的灵活应用，做出辅助线是解题的关键三、解答题11如图，在ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD4，BD2，求证：ACDBCA【答案】证明见解析【解析】根据AC=，CD4，BD2，可得，根据C =C，即

11、可证明结论【解答】解：AC=，CD4，BD2，C =CACDBCA【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键12已知，如图，ABC中，AB2，BC4，D为BC边上一点，BD1，AD+AC=8（1）找出图中的一对相似三角形并证明；（2）求AC长【答案】（1）BADBCA，理由见详解；（2）【解析】（1）由题意易得，然后由B是公共角，问题可证；（2）由（1）可得，再由AD+AC=8可求解【解答】解：（1）BADBCA，理由如下： AB2，BC4，BD1，又B=B，BADBCA；（2）由（1）得：，即， AD+AC=8，解得：，【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握

12、相似三角形的判定与性质是解题的关键13如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A，C不重合），连接DE，作EFDE交射线BA于点F，过点E作MNBC分别交CD，AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G（1）求证：EFDE；（2）当AF2时，求GE的长【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据正方形的性质以及EFDE，证明DMEENF即可；（2）根据勾股定理计算出DF，根据平行线的性质得到，计算出DG，FG的值，利用特殊角的锐角三角函数计算出DE的值，最后证明DGEAGF，利用相似比列出方程即可求出GE的值【解答】（1）证明：四边形ABCD是正方形，且MNBC

13、，四边形ANMD是矩形，BAC=45°，ANM=DMN=90°，EN=AN=DM，DEM+EDM=90°，EFDE，DEM+FEN=90°，EDM=FEN，在DME与ENF中DME=ENF=90°，DM=EN，EDM=FEN，DMEENF（ASA），EFDE；（2）四边形ABCD是正方形，ABDC，DAB=90°，DF=，即，解得：DG=，FG=DF-DG=，又DE=EF，EFDE，DEF是等腰直角三角形，EDF=45°，DE=EF=，GAF=GDE=45°，又DGE=AGF，DGEAGF，即，解得：，【点睛】本题

14、考查了正方形的性质以及相似三角形的性质及判定，第（1）问的解题关键是证明DMEENF，第（2）问的解题关键是通过相似三角形的性质列出方程14如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根标杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过标杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，标杆顶端离地面2.4m，小明到标杆的距离DF=2m，标杆到塔底的距离DB=30m，求这座古塔的高度【答案】14.3m【解析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EHAB可知，BH=DG=EF=1.5m，再小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CDAB可得出EGCEHA，再根据相似三角形的对应边成比

15、例可求出AH的长，进而得出AB的长【解答】解：小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EHAB，BH=DG=EF=1.5m，EG=DF，GH=DB，小明眼睛离地面15m，竹杆顶端离地面24m，CG=CD-EF=23-15=08m，CDAB，EGCEHADF=2m DB=30m，即= ，解得：AH=128m，AB=AH+BH=128+15=143m，答：古塔的高度是143m【点睛】本题考查了相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解题的关键15如图，已知双曲线经过斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为3，求的值【答案】【解析】过点做轴,可得，再根据可得，最后根

16、据即可求得k的值【解答】解：过点做轴，垂足为，中，为斜边的中点，为的中位线且双曲线的解析式是，解得【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，相似三角形的性质和判定.过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义16如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域（2）当t等于何值时，

17、APQ与ABC相似？【答案】（1），；（2）在中，当时，在中，当时，【解析】（1）本题可结合三角形的周长，根据路程=速度×时间求出AP的长和AQ的长关于时间t的时间函数。（2）分0t6，6t16两种情况，根据相似三角形的性质求出所用的时间。【解答】解：（1）由题意得：，；（2）当时，若，则有，解得：，若，则有，解得：（不符合题意，舍去）；当时，点与重合，只有当时，有，解得：，在中，当时，在中，当时，【点睛】本题考查了动点函数的问题的题型，关键点是把握住题目条件给出的等量关系，还考查了相似三角形的性质（2）中能分类讨论是解题关键17如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B（1）

18、求直线的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为C，交于点D，求的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线向右平移得到抛物线，直线与抛物线交于M，N两点，若点A是线段的中点，求抛物线的解析式【答案】（1）直线的解析式为，抛物线顶点坐标为；（2）当时，的最大值为； ；（3）【解析】（1）先根据函数关系式求出A、B两点的坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出AB的解析式，将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标；（2）过点D作轴于E，则求得AB=5，设点P的坐标为，则点D的坐标为，ED=x，证明，由相似三角形的性质求出

19、，用含x的式子表示PD，配方求得最大值，即可求得点P的坐标；（3）设平移后抛物线的解析式，将L的解析式和直线AB联立，得到关于x的方程，设，则是方程的两根，得到，点A为的中点，可求得m的值，即可求得L的函数解析式【解答】（1）在中，令，则，解得，令，则，设直线的解析式为，则，解得：，直线的解析式为，抛物线顶点坐标为（2）如图，过点D作轴于E，则，设点P的坐标为，则点D的坐标为，而，由二次函数的性质可知：当时，的最大值为， （3）设平移后抛物线的解析式，联立，整理，得：，设，则是方程的两根， 而A为的中点，解得：抛物线的解析式【点睛】本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数

20、法求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质18如图，在ABC中，ACB=90°，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连接CD交AB于点ME是线段CM上的点，连接BEF是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF，（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：BEFBCA；（3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】(1)想办法证明BEF=90°即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）(2)根据两角对应相等两三角形相似证明(3)证明四边形AFBE是平行四

21、边形，推出FJ=BD=m，EF=m，由ABCCBM，可得BM=，由BEFBCA，推出，由此构建方程求解即可.【解答】（1）证明：由折叠可知，ADB=ACB=90°EFB=EDB，EBF=EDF，EFB+EBF=EDB+EDF=ADB=90°，BEF=90°，BEF是直角三角形(2) 证明：BC=BD，BDC=BCD，EFB=EDB，EFB=BCD，AC=AD，BC=BD，ABCD，AMC=90°，BCD+ACD=ACD+CAB=90°，BCD=CAB，BFE=CAB，ACB=FEB=90°，BEFBCA(3) 设EF交AB于J连接AE

22、，如下图所示：EF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，EFA=FEB=90°，即EFAD，BDAD，EFBD，AJ=JB，AF=DF， FJ= EF= ABCCBM BC:MB=AB:BC BM=， BEJBME， BE:BM=BJ:BE BE=， BEFBCA，即解得(负根舍去).故答案为：【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题19如图，在中，点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，点到达点时，两点同时停止运动点不与点重合时，以

23、为邻边作设点的运动时间为秒（1）用含的代数式表示的长；（2）当点落在边上时，求的值；（3）当点在边上时，设与重叠部分图形面积为求与之间的函数关系式.（4）连结，当射线平分面积时，直接写出的值【答案】（1）当时，；当时，；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；（4）或【解析】（1）点从点出发，沿运动，所以的长有两种情况，分别表示即可；（2）根据已知得到，所以，再利用得到关于t的方程求解即可；（3）根据题意画出图形，求解即可；（4）若射线平分面积，则线段AR的延长线经过AB的中点，或者线段AR经过AB的中点，画出图形即可求解【解答】（1）当时，；当时，.（2）此时状态如图：四边形APRQ是平行四边

24、形，且，即，当时，无解；当时，解得（3）当时，与重叠部分图形为，过点Q作于点M，如图：，即当时， ，当时，；当时，与重叠部分图形如图，当时， ；（4）若射线平分面积，则线段AR的延长线经过AB的中点，或者线段AR经过AB的中点，当线段AR的延长线经过AB的中点时，可得，当线段AR经过AB的中点时，可得，综上，或【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质等内容，解题的关键是根据题意画出每个状态的图形20 （1）问题感知 如图1，在ABC中，C90°，且ACBC，点P是边AC的中点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD连接AD过点P作PEAB交BC于点E，则图中与B

25、EP全等的三角形是 ，BAD °；（2）问题拓展 如图2，在ABC中，ACBCAB，点P是CA延长线上一点，连接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得BPDC，连接AD，则线段CP与AD之间存在的数量关系为CPAD，请给予证明；（3）问题解决 如图3，在ABC中，ACBCAB2，点P在直线AC上，且APB30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出ADP的周长【答案】（1）PAD，90；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）由“SAS”可证PADBEP，可得PAD=BEP=135°，依据ABC=45°，可得

26、BAD=90°；（2）过点P作PHAB，交CB的延长线于点H，由“SAS”可证APDHBP，可得PH=AD，通过证明CABCPH，可得，即可得结论；（3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质和相似三角形的性质可求解【解答】证明：（1）点P是边AC的中点，PEAB，点E是BC的中点，CEBE，ACBC，BEAP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PDPBPD，APD+BPC90°，EBP +BPC90°，EBPAPD，又PBPD，PADBEP（SAS），PADBEP，C90°，ACBC，BACABC45°，PEAB，ABCPEC45&

27、#176;，BEP135°，BADPADBAC135°45°90°，故答案为：PAD，90；（2）如图，过点P作PHAB，交CB的延长线于点H，CBACHP，CABCPH，CBCA，CBACAB，CHPCPH，CHCP，BHAP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PDPBPD，BPDC，BPD+BPCC+BPC，PBHAPD，APDHBP（SAS），PHAD，PHAB，CABCPH，ACBCAB， ，CPPHAD；（3）当点P在CA的延长线上时，ACBCAB2，ABC是等边三角形，ACB60°，将线段PB绕点P顺时针旋转60

28、76;到线段PD，BPPD，BPD60°ACB，过点P作PEAB，交CB的延长线于点E，ACBAPB+ABP，ABPAPB30°，ABAP2，CP4，ABPE，CPPE4，由（2）得，PEAD4，APDAPB+BPD90°，DP，ADP的周长AD+AP+DP+6，当点P在AC延长线上时，如图，同理可求ADP的周长6+，综上所述：ADP的周长为6+【点睛】本题几何变换综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算