《中考课件初中数学总复习资料》专题28 锐角三角函数（解析版）.docx

《《中考课件初中数学总复习资料》专题28 锐角三角函数（解析版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《中考课件初中数学总复习资料》专题28 锐角三角函数（解析版）.docx（36页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、专题28 锐角三角函数知识点一：锐角三角函数1三角函数定义在RtABC中，若C=90° 2.同角三角函数的关系（1）平方关系：（2）商数关系： （3）倒数关系：3.互为余角的三角函数关系， ，或者：若A+B=90°，则sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB4. 特殊角的三角函数值sinCostancot0°010不存在30°45°1160°90°10不存在05.锐角三角函数的增减性(0°-90°)（1）锐角的正弦值（或正切值）随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减

2、小。（2）锐角的余弦值（或余切值）随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大。6.锐角三角函数的取值范围0sin1，0cos1，tan0，cot0.知识点二：解直角三角形1.直角三角形中边角关系在直角三角形ABC中，如果C=90°，A，B，C所对的边分别为a，b，c，那么（1）三边之间的关系为（勾股定理）（2）锐角之间的关系为A+B=90°（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）2.其他有关公式（1）=（2）Rt面积公式：（3）直角三角形外接圆的半径，内切圆半径结论：直角三角形斜边

3、上的高3.实际问题中术语的含义(1)仰角与俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。(2)坡度：如图，我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.（3）坡角：坡面与水平面的夹角；（4）坡度与坡角（用表示）的关系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。（5）方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角 每年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、cotA表示直角三角形两边的比，并且要熟记0°、30°、45°、60°、90

4、°角的各个三角函数值理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面一、解直角三角形问题的依据与类型（1）解直角三角形的的定义：已知边和角(其中必有一条边)，求所有未知的边和角.（2）解直角三角形的依据：角的关系：两个锐角互余；边的关系：勾股定理；边角关系：锐角三角函数；（3）解直角三角形的常见类型及一般解法RtABC中的已知条件一般解法两边两直角边a，b(1)；(2)由求出A；(3)B=90°A.一直角边a，斜边c(1)；(2)由求出A；(3)B=90°A.一边

5、一锐角一直角边a，锐角A(1)B=90°A；(2)；(3).斜边c，锐角A(1)B=90°A；(2)a=c·sin A；(3)b=c·cos A.二、解直角三角形需要注意的问题1.正确理解锐三角函数的概念，能准确表达各三角函数，并能说出常用特殊角的三角函数值。2.在完成锐角三角函数的填空、选择题时，要能根据题意画出相关图形，结合图形解题更具直观性。3.能将实际问题转化为相关的直角三角形问题，即把实际问题抽象为几何问题，研究图形，利用数形结合思想、方程思想等解决生活问题。4.注重基础，不断创新，掌握解直角三角形的基本技能，能灵活应对在测量、航海、定位等现代

6、生活中常见问题，这也是以后中考命题的趋势。5.解决实际问题的关键在于建立数学模型，要善于把实际问题的数量关系转化为解直角三角形的问题在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，应根据题目要求的精确度定答案【例题1】（2020南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sinBAC（）A26B2626C2613D1313【答案】B【分析】作BDAC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角ABD中根据三角函数的意义求解【解析】如图，作BDAC于D，由勾股定理得，AB=32+22=13，AC=32+32=32，SABC=12ACBD=12×32BD=12&#

7、215;1×3，BD=22，sinBAC=BDAB=2213=2626【例题2】如图，在菱形ABCD中，DEAB，BE=2，则tanDBE的值是（ ）A B2 C D【答案】B【解析】将A和DBE分别置身于RtAED和RtEDB中DEAB，AED=DEB= 90°在RtAED中，cosA=设AE=3k，则AD=5k，由勾股定理，得DE=4k四边形ABCD为菱形，AB=AD，即3k+2=5k解得k=1，DE=4在RtEDB中，tanDBE=2即选B【点拨】在将锐角三角函数表示成“比”的形式时，常借助参数法，即把“比”的每一份用一个字母来表示，从而建立方程，实现所求【例题3】（

8、2020重庆）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i1：2.4，则信号塔AB的高度约为（）（参考数据：sin43°0.68，cos43°0.73，tan43°0.93）A23米B24米C24.5米D25米【答案】D【分析】过点E作EFDC交DC的延长线于点F，过点E作EMAC于点M，根

9、据斜坡DE的坡度（或坡比）i1：2.4可设EFx，则DF2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的长，故可得出CF的长由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EMFC，CMEF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案【解析】过点E作EFDC交DC的延长线于点F，过点E作EMAC于点M，斜坡DE的坡度（或坡比）i1：2.4，DECD78米，设EFx，则DF2.4x在RtDEF中，EF2+DF2DE2，即x2+（2.4x）2782，解得x30，EF30米，DF72米，CFDF+DC72+78150米EMAC，ACCD，EFCD，四边形EFCM是矩形，EMCF15

10、0米，CMEF30米在RtAEM中，AEM43°，AMEMtan43°150×0.93139.5米，ACAM+CM139.5+30169.5米ABACBC169.5144.525米锐角三角函数单元精品检测试卷本套试卷满分120分，答题时间90分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1（2020杭州）如图，在ABC中，C90°，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（）AcbsinBBbcsinBCabtanBDbctanB【答案】B【解析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题RtABC中，C90°，A、B、C所对的边分别为a、b、c，si

11、nB=bc，即bcsinB，故A选项不成立，B选项成立；tanB=ba，即batanB，故C选项不成立，D选项不成立2（2020济宁）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处灯塔C在海岛A的北偏西42°方向上，在海岛B的北偏西84°方向上则海岛B到灯塔C的距离是（）A15海里B20海里C30海里D60海里【答案】C【解析】根据题意画出图形，根据三角形外角性质求出CCAB42°，根据等角对等边得出BCAB，求出AB即可如图根据题意得：CBD84°，CAB42°，CCBDCAB42°CAB，BCAB，AB1

12、5×230，BC30，即海岛B到灯塔C的距离是30海里3（2020深圳）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A200tan70°米B200tan70°米C200sin 70°米D200sin70°米【答案】B【解析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及PQT的度数，进而得到PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长在RtPQT中，QPT90°，PQT90°70°2

13、0°，PTQ70°，tan70°=PQPT，PT=PQtan70°=200tan70°，即河宽200tan70°米4（2020黔西南州）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到AB的位置，已知AO的长为4米若栏杆的旋转角AOA，则栏杆A端升高的高度为（）A4sin米B4sin米C4cos米D4cos米【答案】B【解析】过点A作ACAB于点C，由题意可知：AOAO4，sin=A'CA'O，AC4sin5.（2020乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地

14、面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m则自动扶梯的垂直高度BD（ ）m（结果保留根号）A.3 B.2 C.23 D.2+3【答案】C【解析】据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到BCAC4，根据三角函数的定义即可得到结论BCDBAC+ABC，BAC30°，BCD60°，ABCBCDBAC30°，BACABC，BCAC4，在RtBDC中，sinBCD=BDBC，sin60°=BD4=32，BD23（m），自动扶梯的垂直高度BD23m6.已知ABC中，三边之比a：b：c=1：2，则sinA+tanA的值为（ ）A./2 B.

15、+2 C.2 D.【答案】D【解析】根据题意，设a=k，b=k，c=2k（k0），a2+b2=c2，C=90°sinA=，tanA=，sinA+tanA=【点拨】在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转换成直角三角形7.如图，在等腰RtABC中，C=90o，AC=6，D是AC上一点，若tanDBA=，则AD的长为（ ） A.2 B. C. D.1 【答案】A 【解析】DBA没有在直角三角形中 ，无法使用正切定义转换成边的比现设法将其置身在一个直角三角形中过点D作DE

16、AB，垂足为E在RtBDE中，tanDBA=tanDBA=，=设DE= k ，则BE=5k，在RtADE中，A=45°，AE=DE= k，AB=6 k在等腰RtABC中， C=90o，AC=6，AB=6 ，解得k= ，即DE=在 RtADE 中， A=45° ，AD=DE =2 【点拨】构造直角三角形，将所考察的角置身在这个直角三角形中8.如图，CD是RtABC斜边上的高，AC=4，BC=3则cosBCD的值是（ ）A B C D【答案】D【解析】求cosBCD的值，用定义法不能直接求出根据同角或等角的三角函数值相等，考虑先用等角替换，再用定义去求 AB=5ACB=90&#

17、176;，B+A=90°，CDAB，BCD+B=90°，A=BCDcosBCD=cosA=【点拨】依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角函数值替换9.（2019湖南长沙）如图所示，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）A30nmileB60nmileC120nmileD（30+30）nmile【答案】D 【解析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以

18、转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长过C作CDAB于D点，ACD30°，BCD45°，AC60在RtACD中，cosACD，CDACcosACD60×30在RtDCB中，BCDB45°，CDBD30，ABAD+BD30+30答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile10（2020苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角ACE；（2）量得测角仪的高度CDa；（3）量得测角

19、仪到旗杆的水平距离DBb利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）Aa+btanBa+bsinCa+btanDa+bsin【答案】A【解析】过C作CFAB于F，则四边形BFCD是矩形，根据三角函数的定义即可得到结论过C作CFAB于F，则四边形BFCD是矩形，BFCDa，CFBDb，ACF，tan=AFCF=AFb，AFbtan，ABAF+BFa+btan，二、填空题（每空3分，共30分）11.（2019湖北省鄂州市）如图，已知线段AB4，O是AB的中点，直线l经过点O，160°，P点是直线l上一点，当APB为直角三角形时，则BP 【答案】2或2或2【解析】本题考查勾股

20、定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2分APB90°、PAB90°、PBA90°三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可AOOB2，当BP2时，APB90°，当PAB90°时，AOP60°，APOAtanAOP2，BP2，当PBA90°时，AOP60°，BPOBtan12，故答案为：2或2或212. （2019贵州省毕节市）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，ABCF，FACB90°，E45°，

21、A60°，AC10，则CD的长度是【答案】155【解析】考查含30度角的直角三角形；勾股定理过点B作BMFD于点M，在ACB中，ACB90°，A60°，AC10，ABC30°，BC10×tan60°10 ，ABCF，BMBC×sin30°10×5，CMBC×cos30°15，在EFD中，F90°，E45°，EDF45°，MDBM5 ，CDCMMD155 故答案是：15513. (2019海南)如图,将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转(0°&l

22、t;<90°)得到AE,直角边AC绕点A逆时针旋转(0°<<90°)得到AF,连接EF,若AB3,AC2,且+B,则EF_.【答案】【解析】+B,EAFBAC+B90°,AEF是直角三角形,且AEAB3,AFAC2,EF14.（2019山东东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2，则它的周长是_【答案】【解析】如图，过A作ADBC于D，则ADBADC90°，ABAC2，B30°，ADAB，由勾股定理得：BD3，同理CD3，BC6，ABC的周长为BC+AB+AC6+2+26+415.（2019海南省）如图

23、，将RtABC的斜边AB绕点A顺时针旋转（0°90°）得到AE，直角边AC绕点A逆时针旋转（0°90°）得到AF，连结EF若AB3，AC2，且+B，则EF【答案】【解析】由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，由勾股定理可求EF的长由旋转的性质可得AEAB3，ACAF2，B+BAC90°，且+B，BAC+90°EAF90°EF16（2019山东临沂）如图，在ABC中，ACB120°，BC4，D为AB的中点，DCBC，则ABC的面积是 【答案】8【解析】根据垂直的定义得到BCD90°，得到长CD到H使DHC

24、D，由线段中点的定义得到ADBD，根据全等三角形的性质得到AHBC4，HBCD90°，求得CD2，于是得到结论DCBC，BCD90°，ACB120°，ACD30°，延长CD到H使DHCD，D为AB的中点，ADBD，在ADH与BCD中，ADHBCD（SAS），AHBC4，HBCD90°，ACH30°，CHAH4，CD2，ABC的面积2SBCD2××4×28，故答案为：817（2020自贡）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DCABBC长6米，坡角为45°，AD的坡角为30°

25、;，则AD长为 米（结果保留根号）【答案】62【分析】过点D作DEAB于E，过点C作CFAB于F首先证明DECF，解直角三角形求出CF，再根据直角三角形30度角的性质即可解决问题【解析】过点D作DEAB于E，过点C作CFAB于FCDAB，DEAB，CFAB，DECF，在RtCFB中，CFBCsin45°32（米），DECF32（米），在RtADE中，A30°，AED90°，AD2DE62（米）18（2020济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°若斜面坡度为1：3，则斜坡AB的长是 米【答案】203【分析

26、】如图所示：过点A作AFBC于点F，根据三角函数的定义得到ABF30°，根据已知条件得到HPB30°，APB45°，求得HBP60°，解直角三角形即可得到结论【解析】如图所示：过点A作AFBC于点F，斜面坡度为1：3，tanABF=AFBF=13=33，ABF30°，在P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，HPB30°，APB45°，HBP60°，PBA90°，BAP45°，PBAB，PH30m，sin60°=PHPB=30PB=32，

27、解得：PB203，故AB203（m），答：斜坡AB的长是203m19（2020金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为则tan的值是 【答案】19315【分析】如图，作ATBC，过点B作BHAT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=32a求出BH，AH即可解决问题【解析】如图，作ATBC，过点B作BHAT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=32a观察图象可知：BH=192a，AH=532a，ATBC，BAH，tan=BHAH=192a532a=193152

28、0（2020黔东南州）cos60° 【答案】12【解析】根据记忆的内容，cos60°=12即可得出答案cos60°=12三、解答题（8个小题，共60分）21.（5分）（2020贵州黔西南）计算：(2)2|2cos45°(2020)0；【答案】5【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案。原式42×1415【点拨】此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键22（5分）（2020盐城）如图，在ABC中，C90°，tanA=33，ABC的平分线BD交AC于点D，CD=3，求AB的长？【答案

29、】见解析。【分析】根据C90°，tanA=33，可求出A30°，ABC60°，再根据BD是ABC的平分线，求出CBDABD30°，在不同的直角三角形中，根据边角关系求解即可【解析】在RtABC中，C90°，tanA=33，A30°，ABC60°，BD是ABC的平分线，CBDABD30°，又CD=3，BC=CDtan30°=3，在RtABC中，C90°，A30°，AB=BCsin30°=6答：AB的长为623（8分）（2020株洲）某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行

30、安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患该斜坡横断面示意图如图所示，水平线l1l2，点A、B分别在l1、l2上，斜坡AB的长为18米，过点B作BCl1于点C，且线段AC的长为26米（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡角为60°，过点M作MNl1于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？【答案】见解析。【分析】（1）运用勾股定理解题即可；（2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解【解析】（1）在RtABC中，BC=AB2-AC2=324-24=103；（2）60°，

31、AMN30°，AM2MN，在RtABC中，AN2+MN2AM2，AN2+3004AN2,AN10，AM20，AMAB20182综上所述，长度增加了2米24（8分）（2020陕西）如图所示，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角2的度数，竟然发现1与2恰好相等已知A，B，C三点共线，CAAM，NMAM，AB31m，BC18m，试求商业大厦的高MN【答案】见解析。【分析】过点C作C

32、EMN于点E，过点B作BFMN于点F，可得四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，可以证明BFNCEM，得NFEM49，进而可得商业大厦的高MN【解析】如图，过点C作CEMN于点E，过点B作BFMN于点F，CEFBFE90°，CAAM，NMAM，四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形，CEBF，MEAC，12，BFNCEM（ASA），NFEM31+1849，由矩形性质可知：EFCB18，MNNF+EMEF49+491880（m）答：商业大厦的高MN为80m25（8分）（2020内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60

33、海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】见解析。【分析】（1）在ABP中，求出PAB、PBA的度数即可解决问题，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）作PHAB于H求出PH的值即可判定【解析】（1）PAB30°，ABP120°，APB180°PABABP30°，PBAB60海里；（2）作PHAB于HBAPBPA30°，BA

34、BP60，在RtPBH中，PHPBsin60°60×32=303，30350，海监船继续向正东方向航行是安全的26（8分）（2020鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上其中tan2，MC503米（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD（结果精确到1米，参考数据：21.41，31.73）【答案】见解析。【

35、分析】（1）在RtACM中，由tan2，MC503，可求出AM即可；（2）在RtBND中，BDM30°，BN1003，可求出DN，进而求出DM和CD即可【解析】过点B作BNMD，垂足为N，由题意可知，ACM，BDM30°，ABMN50，（1）在RtACM中，tan2，MC503，AM2MC1003=BN，答：无人机的飞行高度AM为1003米；（2）在RtBND中，tanBDN=BNDN，即：tan30°=1003DN，DN300，DMDN+MN300+50350，CDDMMC350503264，答：河流的宽度CD约为264米27（9分）（2020辽阳）如图，我国某

36、海域有A，B两个港口，相距80海里，港口B在港口A的东北方向，点C处有一艘货船，该货船在港口A的北偏西30°方向，在港口B的北偏西75°方向，求货船与港口A之间的距离（结果保留根号）【答案】见解析。【分析】过点A作ADBC于D，求出ABC60°，在RtABD中，DAB30°，由三角函数定义求出ADABsinABD403，求出DACCABDAB45°，则ADC是等腰直角三角形，得出AC=2AD406海里即可【解析】过点A作ADBC于D，如图所示：由题意得：ABC180°75°45°60°，ADBC，ADBA

37、DC90°，在RtABD中，DAB90°60°30°，ADABsinABD80×sin60°80×32=403，CAB30°+45°75°，DACCABDAB75°30°45°，ADC是等腰直角三角形，AC=2AD=2×403=406（海里）答：货船与港口A之间的距离是406海里28（9分）（2020南京）如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得ABD45

38、6;、C37°求轮船航行的距离AD（参考数据：sin26°0.44，cos26°0.90，tan26°0.49，sin37°0.60，cos37°0.80，tan37°0.75）【答案】见解析。【分析】过点D作DHAC于点H，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离AD【解析】如图，过点D作DHAC于点H，在RtDCH中，C37°，CH=DHtan37°，在RtDBH中，DBH45°，BH=DHtan45°，BCCHBH，DHtan37°-DHtan45°=6，解得DH18，在RtDAH中，ADH26°，AD=DHcos26°20答：轮船航行的距离AD约为20km