《中考课件初中数学总复习资料》专题39第7章圆之三角形的内切圆备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）（解析版）.doc

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1、39第7章圆之三角形的内切圆一、单选题1若的外接圆半径为R，内切圆半径为，则其内切圆的面积与的面积比为（ ）ABCD【答案】B【分析】画好符合题意的图形，由切线长定理可得：结合勾股定理可得：再求解直角三角形的面积，从而可得直角三角形的内切圆的面积与直角三角形的面积之比【详解】解：如图，由题意得： ，由切线长定理可得： 设， ， 而 故选B【点评】本题考查的是三角形的内切圆与三角形的外接圆，切线长定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键2如图，O是等边ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是上一点，则EPF的度数是（ ）A65°B60°C58°

2、;D50°【答案】B【分析】连接OE，OF求出EOF的度数即可解决问题【详解】解：如图，连接OE，OFO是ABC的内切圆，E，F是切点，OEAB，OFBC，OEB=OFB=90°，ABC是等边三角形，B=60°，EOF=120°，EPF=EOF=60°，故选：B【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型3如图，已知矩形的周长为，和分别为和的内切圆，连接，若，则的长为（ ）ABCD【答案】B【分析】设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，由矩形的对称性知，结合直角三角形内切圆半

3、径与三角形面积间的关系得到x、y、r的关系式，再由推导出x、y、r的关系，从而分别求出r，xy、的值，最后由勾股定理求得EF值.【详解】如图，设AB=x，BC=y，内切圆半径为r，则AC=矩形的周长为，x+y=8和分别为和的内切圆，由矩形的对称性知，即由、联立方程组，解得：r=1，xy=14，作EHFH于H，由勾股定理得：=36-32+8=12，EF=，故选：B.【点评】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形内切圆性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形内切圆半径与面积、周长间的关系是解答的关键.4如图，中，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（ ）A5BC5或D

4、6【答案】B【分析】分APQABC，APQACB两种情况，结合相似三角形的性质和三角形内切圆求解即可.【详解】解：若APQABC，APQ=ABC，PQBC，PDB=DBC，BD平分ABC，PBD=CBD，PBD =PDB，PB=PD，同理，DQ=CQ，BC=，设AP=x，根据得,AQ=，PB=PD=8-x，CQ=DQ=6-，PQ=PD+QD=，即，解得：x=，PQ=；若APQACB，则，由题意知：D为ABC的内心，设ABC的内切圆交AB于M，交AC于N，可知四边形AMDN为正方形，A=AMD=AND=MDN=90°，AMDN，ANDM，MPD=NDQ，MDP=NQD，MPDNDQ，A

5、B=8，AC=6，BC=10，DM=DN=2，AM=AN=2，设PM=x，则，NQ=，即，解得：x=或-2（舍），AP=+2=，PQ=AP×BC÷AC=×10÷6=.综上：PQ的值为.故选B.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形内切圆，角平分线的定义，有一定难度，解题的关键是将三角形相似分两种情况讨论.5正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，则这个多边形的内角和为（ ）ABCD【答案】A【分析】设AB是正多边形的一边，OCAB，在直角AOC中，利用三角函数求得AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，求出边数，根据

6、内角和公式即可求出多边形的内角和.【详解】如图：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为，半径之比为，设AB是正多边形的一边，OCAB， ，在直角AOC中，AOC=30°，AOB=60°，则正多边形边数是：，多边形的内角和为：，故选：A【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算二、填空题6如图，在中，为的内切圆，与分别交于点，则劣弧的长是_【答案】【分析】先利用勾股定理计算出，再利用直角三角形内切圆半径的计算方法得到，接着三角形角平分线的性质得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长【详解

7、】解：，为的内切圆，平分，平分，劣弧的长故答案为【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角也考查了直角三角形内切圆半径的计算方法和弧长公式7如图，的内切圆与分别相切于点，且，则阴影部分的面积为_ (结果保留)【答案】【分析】先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再设的半径为r，根据三角形的面积公式得出r的值，然后根据正方形的判定与性质、扇形的面积公式、三角形的面积公式即可得【详解】是直角三角形，且设的半径为r，则内切圆与分别相切于点即解得又四边形AEOF是矩形，矩形AEOF是正方形则故答案为：【点评】本题考查了勾股定

8、理的逆定理、三角形内切圆的性质、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识点，掌握三角形内切圆的性质与扇形的面积公式是解题关键8若ABC的三边长为3、4、5，则ABC的外接圆半径R与内切圆半径r的差为_【答案】【分析】先证明ABC为直角三角形，然后可知外接圆的半径为斜边的一半，然后求出内切圆的半径，即可得到答案【详解】解：如图所示：连接DF，EF32+42=52，ABC为直角三角形它的外接圆的半径为：AB是圆的切线，DF是圆的半径，DFAB同理EFBCFDB=DBE=BEF=90°四边形DBEF是矩形DF=EF，四边形DBEF是正方形DB=BE设圆F的半径为r，则4-r+3-r=5解得

9、：r=1它的内切圆的半径为1故答案为：【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、外接圆，利用切线长定理列出方程是解题的关键9如图，是四边形的内切圆，连接、若，则的度数是_【答案】【分析】如图，设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，可以得到4对全等三角形，进而得到，根据这8个角和为360°，1+8=，即可求出=5+4=72°【详解】解：设四个切点分别为点，分别连接切点与圆心，则，且，在与中，同理可得：，故答案为：【点评】本题考查了切线的性质，添加辅助线构造全等等知识点，一般情况下，已知直线为圆的切线，构造过切点的半径是常见辅助线做法10如图，将边长为8的正方形纸片沿着折叠，使

10、点落在边的中点处。点落在点处，与交于点，则的内切圆半径的长为_【答案】【分析】由勾股定理可求ME5，BE3，通过证明AMGBEM，可得AG，GM，即可求解【详解】解：将边长为8的正方形纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，MECE，MBAB4AM，90°，在RtMBE中，ME2MB2 BE2，ME216（8ME）2，ME5,BE3，90°B，EMBBEM90°，90°,且90°，AMGBEM，AG，GM，AMG的内切圆半径的长故答案为：【点评】本题考查三角形内切圆和内心、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质求出A

11、G、GM的长度三、解答题11已知：问题一：请用圆规与直尺（无刻度）直接在内作内切圆，（要求清晰地保留尺规作图的痕迹，不要求写画法）问题二：若的周长是24，的面积是24，求的内切圆半径【答案】（1）见解析；（2）r=2【分析】（1）先作B和C的平分线交于点O，再过点O作OHAB于H，然后以点O为圆心，OH为半径作圆即可；（2）连结OA、OB、OC，作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，根据切线的性质得OD=OE=OF=r，则利用SABC=SAOB+SOBC+SOAC得到rAB+rBC+rAC=24，变形得到 r（AB+BC+AC）=24，然后把周长为24代入计算即可得到r的值【详解】解：（

12、1）如图，为所求作的的内切圆；（2）解：如下图，连结OA、OB、OC，作ODAB于D，OEBC于E，OFAC于F，设它的内切圆的半径为r，则OD=OE=OF=r，SABC=SAOB+SOBC+SOAC，rAB+rBC+rAC=24， r（AB+BC+AC）=24， r24=24，r=2即的内切圆的半径为2【点评】本题考查了如何作三角形的内切圆与求三角形内切圆的半径，在作内切圆的时先要明确如何确定三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，以及三角形的内心到三角形三边的距离是三角形内切圆的半径，掌握以上要点是完成作图的关键；三角形的内心到三角形三边的距离相等和切线的性质，是解答第（2）小题，建

13、立等式的关键12已知：如图，ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r求ABC的面积S【答案】S=(a+b+c)r【分析】设ABC与O相切与点D、E、F连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据SABC=SAOB+SOBC+SOAC，即可求解【详解】如图，设ABC与O相切与点D、E、F连接OA、OB、OC、OD、OE、OF则ODAB，OEAC，OFBCSAOB=ABOD=cr，同理，SOBC=ar，SOAC=brSABC=SAOB+SOBC+SOAC，即S=cr+ar+br=(a+b+c)r【点评】本题考查了三角形的内切圆的计算，正确作出辅助线，把ABC的面积的计算分解

14、成几个三角形的面积的计算是关键.13已知：如图，O是RtABC的内切圆，C=90°(1)若AC=12cm，BC=9cm，求O的半径r； (2)若AC=b，BC=a，AB=c，求O的半径r【答案】（1）r=3cm. (2) r=（a+b-c）【分析】首先设AC、AB、BC与O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OFCD是正方形；那么根据切线长定理可得： CD=CF=（AC+BC-AB），由此可求出r的长【详解】（1）如图,连接OD，OF；在RtABC中，C=90°，AC=12cm，BC=9cm；根据勾股定理AB=15cm；四边形OFCD中，OD=OF，ODC=OFC=C=90

15、°；则四边形OFCD是正方形；由切线长定理，得：AD=AE，CD=CF，BE=BF；则CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（12+9-15）=3cm（2）当AC=b，BC=a，AB=c，由以上可得： CD=CF=（AC+BC-AB）；即：r=（a+b-c）则O的半径r为：（a+b-c）【点评】此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法利用切线长定理得出四边形OFCD是正方形是解题关键14（特例感知）（1）如图（1），是的圆周角，BC为直径，BD平分交于点D，求点D到直线AB的距离（类比迁移）（2）如图（2），是的圆周角，BC为的弦，BD平分交于点D，过点D作，垂足为点E，探

16、索线段AB，BE，BC之间的数量关系，并说明理由（问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD为的内接四边形，BD平分，求的内心与外心之间的距离【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）【分析】（1）如图中，作于，于理由面积法求出，再利用角平分线的性质定理可得解决问题；（2）如图中，结论：只要证明，推出，推出即可解决问题；（3）如图，过点D作DFBA，交BA的延长线于点F，DEBC，交BC于点E，连接AC，作ABCABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为2，在中，理由勾股定理即可解

17、决问题；【详解】解：（1）如图中，作于，于 图平分，是直径，故答案为（2）如图中，结论： 图理由：作于，连接，平分，（3）如图，过点D作DFBA，交BA的延长线于点F，DEBC，交BC于点E，连接AC，作ABCABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线 图，正方形的边长为7，由（2）可知：，由切线长定理可知：，设内切圆的半径为，则解得，即， 在中，故答案为【点评】本题属于圆综合题，考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

18、题，属于中考压轴题15如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点在轴的正半轴上，为坐标原点，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为（）（1）当点落到轴正半轴上时，求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）若线段与轴的交点为（如图2），线段与直线的交点为，当时，求此时内切圆的半径；（3）设的周长为，试判断在正方形旋转的过程中值是否发生变化，并说明理由【答案】（1）；（2）；（3）不发生变化，理由见详解.【分析】（1）由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积由此计算即可（2）如图2中，在取一点，使得，首先证明是等腰直角三角形，推出，设，则，可得，解得，推出，同理可得，推出，设的内

19、切圆的半径为，则有，由此求出即可解决问题（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化如图3中，延长到使得只要证明，推出，再证明，推出，推出的周长【详解】解：（1）如图1中，由题意当点落到轴正半轴上时，边在旋转过程中所扫过的面积（2）如图2中，在取一点，使得，是等腰直角三角形，设，则，同理可得，设的内切圆的半径为，则有，（3）在正方形旋转的过程中值不发生变化理由：如图3中，延长到使得，的周长，的周长为定值【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内切圆、等腰直角三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题16如

20、图所示，等腰，求三角形的内切圆的半径.【答案】【解析】作ADBC，根据等腰三角形的性质可得BD的长，利用勾股定理可求出AD的长，即可求出ABC的面积，设ABC的内切圆与ABC各边的切点为E、F、G，根据SABC=SAOB+SBOC+SAOC列方程即可求出R的值，可得答案.【详解】在图（1）中，作，垂足为，BD=CD=3，AD=4，在图（2）中，设的内切圆切点分别为E、F、G，连接 OA、OE、OB、OG、OC、OF，OEAB，OGBC，OFAC，【点评】本题考查了三角形的内切圆、等腰三角形的性质，熟练掌握面积法求三角形内切圆的半径方法是解题的关键.17阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的A

21、BC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形 （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=21，CD=11，AD=13，O1与O2分别为ABD与BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.【答案】（1）（2）.【分析】（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，则AOB、BOC、COD和DOA都是以点O为顶点、高都是r的三角形，根据即可求得四边

22、形的内切圆半径r.（2）过点D作DEAB于点E，分别求得AE的长，进而BE 的长，然后利用勾股定理求得BD的长；然后根据，两式相除，即可得到的值.【详解】解：（1）如图（2），连接OA、OB、OC、OD. （2）如图（3），过点D作DEAB于点E，梯形ABCD为等腰梯形，在RtAED中，AD=13，AE=5，DE=12，ABDC，.又，.即. 18如图所示，在中，（1）求.（2）求内切圆半径.【答案】（1）；（2）内切圆半径为1.【解析】（1）由三角形内角和可得CBA+CAB=90°，由O为内切圆圆心可得OA、OB为CBA和CAB的角平分线，即可得出OAB+OBA=45°，

23、根据三角形内角和求出BOA的度数即可；（2）连接OD，OE、OF，由切线性质可得ODBC，OEAC，OFAB，由C=90°，OD=OE可证明四边形DCEO是正方形，可得OD=CD，利用勾股定理可求出AB的长，根据切线长定理可得CD=CE，AE=AF，BD=BF，设内切圆半径OD=r，根据AB=BF+AF列方程即可求出r的值，即可得答案.【详解】（1）C=90°，CBA+CAB=90°，O为内切圆圆心，OA、OB为CBA和CAB的角平分线，OAB+OBA=CBA+CAB=45°，BOA=180°-45°=135°.（2）连接OD，OE、OF，AB、AC、BC是切线，切点为D、E、F，ODBC，OEAC，OFAB，CD=CE，AE=AF，BD=BF，C=90°，OD=OE，四边形DCEO是正方形，CD=OD，设OD=r，AF=AE=3-r，BF=BD=4-r，AC=3，BC=4，AB=5，AB=BF+AF=3-r+4-r=5，解得r=1，即内切圆半径为1.【点评】本题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键