《中考课件初中数学总复习资料》第02讲 旋转问题专题-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)解析版.doc

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1、硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点一、旋转的理解1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如AOBA1OB1；3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰AOA1等腰BOB'1；5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形等；6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB与A1

2、B1所在直线的夹角等于AOA1；7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如AA1与BB1)的夹角等于AOB。 图1 图2二、位似的理解1. 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于同一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比，如图2所示；2. 位似前后的两个图形相似，即位似不改变图形的形状，它可以将一个图形进行放大或缩小；3. 图形的位似，本质上是图形上的点在共顶点的直线上的同步运动。旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等1. 如图1-1，ABC绕点A旋转到AB1C1，则有ABB1ACC1（SAS）

3、；2. 如图1-2，若ABC与AED式等边三角形，则ABEACD（SAS）；3. 如图1-3，若ABC与AED式等腰直角三角形，则ABDACE（SAS）； 图1-1 图1-2 图1-3旋转运用<2>：角含半角旋转模型1. 如图2-1，在正方形 ABCD中，若EBF=45°，将BAE绕点B旋转至BCG，则有EF=AE+CF；BE平分AEF；BF平分教EFC.2. 如图2-2，在四边形ABCD中，若BA=BC， ABC+D=180°，且EBF=ABC， 图2-1则有EF=AE+CF；BE平分AEF；BF平分教EFC.3. 如图2-3，在等腰RtABC中，若交DAE=

4、45°，可将ABD绕点A旋转至ACF，则有DE2=BD2+CE2；4. 如图2-4，在等腰RtABC中，若交DAE=45°，可将ABD绕点A旋转至ACF，仍有DE2=BD2+CE2；5. 如图2-5，在等腰RtABC中，若交DAE=135°， 图2-2可将ABD绕点A旋转至ACF，则有DE2=BD2+CE2；图2-3 图2-4 图2-5旋转运用<3>：对角互补模型1. 如图3-1，已知四边形ABCD中，BDC=BAC=90°，且DB=DC，则有AB+AC=AD；2. 如图3-2，已知四边形ABCD中，BDC=BAC=90°，且DB=

5、DC，则有AB-AC=AD； 图3-1 图3-23. 如图3-3，已知等边ABC，且BPC=120°，则有PA=PB+PC；4. 如图3-4，已知等边ABC，且BPC=30°，则有PA2=PB2+PC2； 图3-3 图3-45. 如图3-5，已知等腰ABC，且BAC=120°，且BPC=60°，则有PB+PC=PA；6. 如图3-6，已知等腰ABC，且BAC=120°，且BPC=120°，则有PC-PB=PA； 图3-5 图3-6旋转运用<4>：旋转相似模型1. 如图4-1，已知等腰ABC，AB=AC，将ABD旋转至ACE

6、，则有ADEABC；2. 如图4-2，若ADEABC，则有ADEABC； 图4-1 图4-2旋转运用<5>：费马旋转模型1. 如图5-1，在ABC中找一点P，使得AP+BP+CP的值最小，将APC绕点A逆时针旋转60°至AQE，则有AP+BP+CP=PQ+BP+QEBE，当且仅当B、P、Q、E四点共线时取得最小值为BE，且此时有APB=BPC=APC=120°. 图5-1 2. 如图5-2，等腰ABC中，BAC=120°，P是ABC内部一点，且AP=1，CP=，APC=120°，求BP的长。（将APB绕点A逆时针旋转120°至ADC

7、，连接PD计算可得BP=）3. 如图5-3，等腰RtABC中，BAC=90°，P是ABC内部一点，且CP=1，AP=，BP=，求APC的度数。（将APB绕点A逆时针旋转90°至ADC，连接PD计算可得APC=135°） 图5-2 图5-3 【例题1】（1）如图1，已知ACBDCE90°，ACBC6，CDCE，AE3，CAE45°，求AD的长（2）如图2，已知ACBDCE90°，ABCCEDCAE30°，AC3，AE8，求AD的长【解答】解：（1）如图1，连接BE，ACBDCE90°，ACB+ACEDCE+ACE，即

8、BCEACD，又ACBC，DCEC，在ACD和BCE中，ACDBCE，ADBE，ACBC6，AB6，BACCAE45°，BAE90°，在RtBAE中，AB6，AE3，BE9，AD9；（2）如图2，连接BE，在RtACB中，ABCCED30°，tan30°，ACBDCE90°，BCEACD，ACDBCE，BAC60°，CAE30°，BAE90°，又AB6，AE8，BE10，AD【例题2】（1）如图1，已知等腰RtABC，BAC=90°，且ADB=45°，BD=4，CD=，求AD的长.（2） 如图2

9、，已知等腰RtABC，BAC=90°，且ADB=75°，BD=6，AD=，求CD的长.（3） 如图3，在四边形ABCD中，BC=CD，BCD=90°，若AB=4，AD=3，求对角线AC的最大值. 图1 图2 图3 解：如图（1）AD=；（2）CD=BE=14；（3）AC最大值=【例题3】如图，在ABC中，BAC=90°，AB=，AC=，将ABC绕着点A旋转得到ADE，连接DB、EC，直线DB、EC相交于点F，点P是AC中点，线段PF的最大值为_.解：旋转相似，辅助圆，答案为【例题4】（1）如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若ACBACDABDA

10、DB60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？（2）如图2，如果把“ACBACDABDADB60°”改为“ACBACDABDADB45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？（3）如图3，如果把“ACBACDABDADB60°”改为“ACBACDABDADB”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ 图1 图2 图3【解答】解：（1）如图，延长CB到E，使BECD，连接AE，证得ABEADC，从而容易证明ACE是等边三角形，故ACCE，所以ACBC+CD（2）BC+CDAC；理由：如图1，延长CD

11、至E，使DEBC，连接AE，易得，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），ACBAED45°，ACAE，ACE是等腰直角三角形，CEAC，CECD+DECD+BC，BC+CDAC；（3）BC+CD2ACcos理由：如图2，延长CD至E，使DEBC，ABDADB，ABAD，BAD180°ABDADB180°2，ACBACD，ACB+ACD2，BAD+BCD180°，ABC+ADC180°，ADC+ADE180°，ABCADE，在ABC和ADE中，ABCADE（SAS），ACBAED，ACAE，AEC，过点A作AFCE于F，CE2CF

12、，在RtACF中，ACD，CFACcosACDACcos，CE2CF2ACcos，CECD+DECD+BC，BC+CD2ACcos【例题5】【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB4，BC3将BAD绕着点B顺时针旋转度（0°360°）得到BEF，点A、D的对应点分别为E、F若点E落在BD上，如图，则DE【探究】当点E落在线段DF上时，CD与BE交于点G其它条件不变，如图（1）求证：ADBEDB；（2）CG的长为【拓展】连结CF，在BAD的旋转过程中，设CEF的面积为S，直接写出S的取值范围【解答】【操作】解：四边形ABCD是矩形，A90°，ADBC3，BD5，由旋

13、转的性质得：BEBA4，DEBDBE541；故答案为：1；【探究】（1）证明：由旋转的性质得：BEFBAD，BEFA90°，BEBA，BED180°BEF90°A，在RtADB和RtEDB中，RtADBRtEDB（HL）；（2）解：四边形ABCD是矩形，ABCD，CDAB4，BCD90°，ABDCDB，由折叠的性质得：ABDEBD，CDBEBD，DGBG，设CGx，则DGBG4x，在RtBCG中，由勾股定理得：x2+32（4x）2，解得：x，即CG；故答案为：；【拓展】解：CEF的边长EFAD3，点C到EF的距离最小时，CEF的面积最小；点C到EF的距离

14、最大时，CEF的面积最大；当点E在BC的延长线上时，点C到EF的距离最小，如图所示：此时CEEF，CEBEBC431，CEF的面积S最小EF×CE×3×1；当点E在CB的延长线上时，点C到EF的距离最大，如图所示：此时CEEF，CEBE+BC4+37，CEF的面积S最大EF×CE×3×7；S的取值范围为s【例题6】如图，在ABC中，ABAC2，BAC120°，点D、E都在边BC上，DAE60°若BD2CE，则DE的长为【解答】解：（方法一）将ABD绕点A逆时针旋转120°得到ACF，连接EF，过点E作EM

15、CF于点M，过点A作ANBC于点N，如图所示ABAC2，BAC120°，BNCN，BACB30°在RtBAN中，B30°，AB2，ANAB，BN3，BC6BAC120°，DAE60°，BAD+CAE60°，FAEFAC+CAEBAD+CAE60°在ADE和AFE中，ADEAFE（SAS），DEFEBD2CE，BDCF，ACFB30°，设CE2x，则CMx，EMx，FM4xx3x，EFED66x在RtEFM中，FE66x，FM3x，EMx，EF2FM2+EM2，即（66x）2（3x）2+（x）2，解得：x1，x2（不

16、合题意，舍去），DE66x33故答案为：33 【例题7】如图，如四边形ABCD中，AD=CD，ABC=75°，ADC=60°，AB=2，BC=，求四边形ABCD的面积.1如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则ABC的面积为（）ABCD【解答】解：ABC为等边三角形，BABC，可将BPC绕点B逆时针旋转60°得BEA，连EP，且延长BP，作AFBP于点F如图，BEBP4，AEPC5，PBE60°，BPE为等边三角形，PEPB4，BPE60°，在AEP中，AE5，AP3，PE4，AE2PE2+PA2，

17、APE为直角三角形，且APE90°，APB90°+60°150°APF30°，在直角APF中，AFAP，PFAP在直角ABF中，AB2BF2+AF2（4+）2+（）225+12则ABC的面积是AB2（25+12）故选：A2（2019巴中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP6，BP8，CP10则SABP+SBPC24+16【解答】解：如图，将BPC绕点B逆时针旋转60°后得AP'B，连接PP，根据旋转的性质可知，旋转角PBPCAB60°，BPBP，BPP为等边三角形，BPBP8PP

18、9;；由旋转的性质可知，APPC10，在BPP中，PP8，AP6，由勾股定理的逆定理得，APP是直角三角形，SABP+SBPCS四边形AP'BPSBP'B+SAP'PBP2+×PP'×AP24+16故答案为：24+163（2019绵阳）如图，ABC、BDE都是等腰直角三角形，BABC，BDBE，AC4，DE2将BDE绕点B逆时针方向旋转后得BDE，当点E恰好落在线段AD上时，则CE【解答】解：如图，连接CE，ABC、BDE都是等腰直角三角形，BABC，BDBE，AC4，DE2，ABBC2，BDBE2，将BDE绕点B逆时针方向旋转后得BDE，D

19、BBEBD2，DBE90°，DBDABE，ABDCBE，ABDCBE（SAS），DCEB45°，过B作BHCE于H，在RtBHE中，BHEHBE，在RtBCH中，CH，CE+，故答案为：4（2019十堰）如图，正方形ABCD和RtAEF，AB5，AEAF4，连接BF，DE若AEF绕点A旋转，当ABF最大时，SADE6【解答】解：作DHAE于H，如图，AF4，当AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，当BF为此圆的切线时，ABF最大，即BFAF，在RtABF中，BF3，EAF90°，BAF+BAH90°，DAH+BAH90°，DAH

20、BAF，在ADH和ABF中，ADHABF（AAS），DHBF3，SADEAEDH×3×46故答案为65（2019营口）如图，ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BDDC2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DEBC，连接AE，AG若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为8【解答】解：过点A作AMBC于M，BDDC2，DC4，BCBD+DC2+46，ABC是等边三角形，ABACBC6，AMBC，BMBC×63，DMBMBD321，在RtABM中，AM3，当点E在DA延长线上时，AEDEAD此时AE取最小值，在RtADM中，AD2，在RtADG

21、中，AG8；故答案为：86如图，RtABC中，ACB90°，将ABC绕点B顺时针旋转90°至EBD，连接DC并延长交AE于点F，若CF1，CD2，则AE的长为2【解答】解：延长AC交DE于H，连接BH、BF，BH与DF交于N，如图所示：ACB90°，BCH90°，ABC绕点B顺时针旋转90°至EBD，ABE90°，ABBE，CBD90°，BDE90°，BCBD，四边形BCHD是正方形，ABE是等腰直角三角形，HCDDBH45°，AHD90°，BHDF，BNCNDNCD1，AHE90°，

22、FNCF+CN1+12，BF，AHEABE90°，A、B、H、E四点共圆，EAHEBH，EFDEAH+FCAEBH+HCDEBD，B、D、E、F四点共圆，BDE90°，BFE90°，BFAE，ABE是等腰直角三角形，AE2BF2，（或者FEB=FDB，故E、F、D、B四点共圆可得BFE=90°）故答案为：27如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB8，CBA30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DFDE于点D，并交EC的延长线于点F（1）求证：CECF；（2）求线段EF的最小值；（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段

23、EF扫过的面积（直接写出结果）【解答】（1）证明：如图1，设AC于点DE交于点G，则EGDG，且EDAC，DFDE，EGCEDF90°，ACDF，且G为ED中点，ECFC；（2）解：由（1）知，EF2CD，当线段EF最小时，线段CD也最小，根据垂直线段最短的性质，当CDAD时线段CD最小，AB是半圆O 的直径，ACB90°，AB8，CBA30°，AC4，BC4，当CDAD时，CDBC2，此时EF2CD4，即EF的最小值为4；（3）解：当点D从点A运动到点B时，如图2，EF扫过的图形就是图中的阴影部分，线段EF扫过的面积是ABC面积的2倍，由（2）知AC4，BC4，

24、SABCACBC×4×48，线段EF扫过的面积是168类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件（2）问题探究小红提出了一个猜想：对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形她的猜想正确吗？请说明理由（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，ABAD，BAD+BCD90°，AC，BD为对角线，试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论【解答】解：（1）ABBC，理由：四边形ABCD是凸四边形，且ABBC，四边形AB

25、CD是“等邻边四边形”（2）正确；理由为：四边形的对角线互相平分且相等，四边形ABCD是矩形四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，四边形ABCD是菱形对角线互相平分且相等的等邻边四边形是正方形，（3）BC2+CD22BD2证明：如图，ABAD，将ADC线绕点A旋转到ABF，连接CF，则ABFADC，ABFADC，BAFDAC，AFAC，FBCD，BADCAF，ACFABD，BAD+ADC+BCD+ABC360°，ABC+ADC360°（BAD+BCD）360°90°270°ABC+ABF270°，CBF90°，

26、BC2+CD22BD29如图1，已知ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，ADAE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点（1）观察猜想在图1中，线段PM与PN的数量关系是PMPN，MPN的度数是120°；（2）探究证明把ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，判断PMN的形状，并说明理由；求MPN的度数；（3）拓展延伸若ABC为直角三角形，BAC90°，ABAC12，点DE分别在边AB，AC上，ADAE4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点把ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3PMN的是等腰三角形直接利用中的结论，求PMN面积的最大

27、值【解答】解：（1）结论：PMPN，120°理由：如图1中，ABC是等边三角形，ABAC，ADAE，BDEC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，PMEC，PNBD，PMAC，PNAB，PMPN，MPDACD，PNCB60°MPNMPD+DPNACD+DCB+PNC120°故答案为PMPN，120°（2）如图2中，连接BD、ECBACDAE60°，BADCAE，BACA，DAEA，BADCAE（SAS），BDCE，ABDACE，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，PNBD，PMEC，PNBD，PMCE，PNPM，PMN是等腰三角形P

28、NBD，PMECPNCDBC，DPMAECD，MPNMPD+DPNECD+PNC+DCBECD+DCB+DBCACE+ACD+DCB+DBCABD+ACB+DBCACB+ABC120°（3）PMN是等腰直角三角形；PMPNBD，BD最大时，PM最大，PMN面积最大，点D在BA的延长线上，BDAB+AD16，PM8，SPMN最大PM2×823210在ABC中，ABC60°（1）ABAC，PA5，PB3如图1，若点P是ABC内一点，且PC4，求BPC的度数如图2，若点P是ABC外一点，且APB60°，求PC的长（2）如图3，ABAC，点P是ABC内一点，AB

29、6，BC8，则PA+PB+PC的最小值是2【解答】解：（1）在ABC中，ABC60°，ABAC，ABC是等边三角形，如图1，将ABP绕点B顺时针旋转60°得到CBP，连接PP，BPBP，PBPABC60°，BPP是等边三角形；PPPB，BPP60°，由旋转的性质得，PCPA5，PP2+PC232+4225PC2，CPP是直角三角形，CPP90°，BPCBPP+CPP60°+90°150°；如图2中，以AP为边向上作等边PAE，作EFBP交BP的延长线于FEAPBAC60°，EABPAC，AEAP，ABAC

30、，EABPAC（SAS），BEPC，APEAPB60°，EPF180°60°60°120°，PEPA5，PFPEcos60°，EFPEsin60°，BFBP+PF3+，BE7，PCPE7（2）如图3中，将PBF绕点B逆时针旋转60°得到BFE，作EHCB交CB的延长线于HABC60°，PBF60°，ABPEBF，EBF+BC60°，EBC120°，PBBF，PBF60°，PBF是等边三角形，PBPF，PAEF，PA+PB+PCCP+PF+EF，根据两点之间线段最短可

31、知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值EC的长，在RtEBH中，EBH60°，EB6，BHBEcos60°3，EHEBsin60°3，CHBH+CB3+811，EC211（2018天津）在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F（）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证ADBAOB；求点H的坐标（）记K为矩形AOBC对角线的交点，S为KDE的面积，

32、求S的取值范围（直接写出结果即可）【解答】解：（）如图中，A（5，0），B（0，3），OA5，OB3，四边形AOBC是矩形，ACOB3，OABC5，OBCC90°，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，ADAO5，在RtADC中，CD4，BDBCCD1，D（1，3）（）如图中，由四边形ADEF是矩形，得到ADE90°，点D在线段BE上，ADB90°，由（）可知，ADAO，又ABAB，AOB90°，RtADBRtAOB（HL）如图中，由ADBAOB，得到BADBAO，又在矩形AOBC中，OABC，CBAOAB，BADCBA，BHAH，设AHBHm，则HCBCBH5m，在RtAHC中，AH2HC2+AC2，m232+（5m）2，m，BH，H（，3）（）如图中，当点D在线段BK上时，DEK的面积最小，最小值DEDK×3×（5），当点D在BA的延长线上时，DEK的面积最大，最大面积×DE×KD×3×（5+）综上所述，S