常微分方程数值解PPT讲稿.ppt
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1、常微分方程数值解1第1页,共151页,编辑于2022年,星期日2第2页,共151页,编辑于2022年,星期日9.1 引引 言言 考虑一阶常微分方程的初值问题(1.1)(1.2)如果存在实数 ,使得(1.3)则称 关于 满足利普希茨利普希茨(Lipschitz)条件条件,称为 的利普希茨常利普希茨常数数(简称Lips.常数).3第3页,共151页,编辑于2022年,星期日 定理定理1 1 设 在区域 上连续,关于 满足利普希茨条件,则对任意 ,常微分方程(1.1),(1.2)式当 时存在唯一的连续可微解 .关于解对扰动的敏感性,有以下结论.定理定理2 2 设 在区域 (如定理1所定义)上连续,且
2、关于 满足利普希茨条件,设初值问题的解为 ,则4第4页,共151页,编辑于2022年,星期日两者的区别:1.问题 5第5页,共151页,编辑于2022年,星期日6第6页,共151页,编辑于2022年,星期日7第7页,共151页,编辑于2022年,星期日左矩形右矩形梯形公式单步法:对初值问题,计算yn+1时只用到前一点的值yn,即yn+1=f(yn)k步法:计算yn+1时需要用到前k点的值yn,yn-1,yn-k+1,即yn+1=f(yn,yn-1,yn-k+1)对方程 离散化,建立求数值解的递推公式.描述这类算法,只要给出用已知信息 计算 的递推公式.8第8页,共151页,编辑于2022年,星
3、期日9.2 简单的数值方法简单的数值方法 求解一阶微分方程初值问题:9第9页,共151页,编辑于2022年,星期日几何意义:它是用一条自点(x0,y0)出发的折线段去逼近积分曲线y=y(x)如下图9-1P28010第10页,共151页,编辑于2022年,星期日 例例1 1 求解初值问题(2.2)解解 欧拉公式的具体形式为 取步长 ,计算结果见表9-1.初值问题(2.2)的解为 ,按这个解析式子算出的准确值 同近似值 一起列在表9-1中,两者相比较可以看出欧拉方法的精度很差.11第11页,共151页,编辑于2022年,星期日 还可以通过几何直观来考察欧拉方法的精度.假设 ,即顶点 落在积分曲线
4、上,那么,按欧拉方法做出的折线 便是 过点 的切线(图9-2).12第12页,共151页,编辑于2022年,星期日图9-2 从图形上看,这样定出的顶点 显著地偏离了原来的积分曲线,可见欧拉方法是相当粗糙的.误差分析:误差分析:为了分析计算公式的精度,通常可用泰勒展开将 在 处展开,则有 13第13页,共151页,编辑于2022年,星期日在 的前提下,称为此方法的局部截断误差.于是可得欧拉法(2.1)的误差(2.3)(2.1)估算=精确14第14页,共151页,编辑于2022年,星期日(2.5)称为后退的欧拉法后退的欧拉法(隐式欧拉公式隐式欧拉公式).欧拉公式是关于 的一个直接的计算公式,这类公
5、式称作是显式的显式的;后退欧拉公式的右端含有未知的 ,它是关于 的一个函数方程,这类公式称作是隐式的隐式的.15第15页,共151页,编辑于2022年,星期日 隐式方程通常用迭代法求解,而迭代过程的实质是逐步显示化.设用欧拉公式 给出迭代初值 ,用它代入(2.5)式的右端,使之转化为显式,直接计算得 然后再用 代入(2.5)式,又有 16第16页,共151页,编辑于2022年,星期日如此反复进行,得(2.6)由于 对 满足利普希茨条件(1.3).由(2.6)减(2.5)得 由此可知,只要 迭代法(2.6)就收敛到解 .17第17页,共151页,编辑于2022年,星期日 9.2.2 梯形方法梯形
6、方法 (2.7)称为梯形方法梯形方法.梯形方法是隐式隐式单步法,可用迭代法求解.18第18页,共151页,编辑于2022年,星期日 为了分析迭代过程的收敛性,将(2.7)与(2.8)式相减,得(2.8)同后退的欧拉方法一样,仍用欧拉方法欧拉方法提供迭代初值初值,则梯形法的迭代公式为(2.7)19第19页,共151页,编辑于2022年,星期日如果选取 充分小,使得 则当 时有 ,这说明迭代过程(2.8)是收敛的.于是有 式中 为 关于 的利普希茨常数.20第20页,共151页,编辑于2022年,星期日 9.2.3 改进欧拉公式改进欧拉公式 梯形方法虽然提高了精度,但其算法复杂.在应用迭代公式(2
7、.8)进行实际计算时,每迭代一次,都要重新计算函数 的值.为了控制计算量,通常只迭代一两次就转入下一步的计算,这就简化了算法.具体地,先用欧拉公式求得一个初步的近似值 ,而迭代又要反复进行若干次,计算量很大,而且往往难以预测.称之为预测值预测值,21第21页,共151页,编辑于2022年,星期日 这样建立的预测-校正系统通常称为改进的欧拉公式:改进的欧拉公式:预测值 的精度可能很差,再用梯形公式(2.7)将它校正一次,即按(2.8)式迭代一次得 ,这个结果称校正校正值值.预测校正(2.9)也可以表为下列平均化形式(2.7)(2.8)22第22页,共151页,编辑于2022年,星期日 例例2 2
8、 用改进的欧拉方法求解初值问题(2.2).解解 这里 改进的欧拉公式为(2.2)23第23页,共151页,编辑于2022年,星期日仍取 ,计算结果见表9-2.同例1中欧拉法的计算结果比较,改进欧拉法明显改善了精度.24第24页,共151页,编辑于2022年,星期日 9.2.4 单步法的局部截断误差与阶单步法的局部截断误差与阶 初值问题(1.1),(1.2)的单步法可用一般形式表示为(2.10)其中多元函数 与 有关,当 含有 时,方法是隐式的,若不含 则为显式方法,(2.11)称为增量函数,所以显式单步法可表示为 例如对欧拉法(2.1)有 它的局部截断误差已由(2.3)给出.(1.1)(1.2
9、)(2.1)(2.3)25第25页,共151页,编辑于2022年,星期日 对一般显式单步法则可如下定义.定义定义1 1 设 是初值问题(1.1),(1.2)的准确解,称(2.12)为显式单步法(2.11)的局部截断误差局部截断误差.之所以称为局部的,是假设在 前各步没有误差.当 时,计算一步,则有(1.1)(1.2)(2.11)26第26页,共151页,编辑于2022年,星期日在前一步精确的情况下用公式(2.11)计算产生的公式误差.根据定义,欧拉法的局部截断误差 即为(2.3)的结果.这里 称为局部截断误差主项.局部截断误差可理解为用方法(2.11)计算一步的误差,即显然(2.11)(2.3
10、)27第27页,共151页,编辑于2022年,星期日 定义定义2 2 设 是初值问题(1.1),(1.2)的准确解,若存在最大整数 使显式单步法(2.11)的局部截断误差满足(2.13)则称方法(2.11)具有 阶精度阶精度.若将(2.13)展开式写成 则 称为局部截断误差主项局部截断误差主项.以上定义对隐式单步法(2.10)也是适用的.(1.1)(1.2)(2.11)(2.10)28第28页,共151页,编辑于2022年,星期日 对后退欧拉法(2.5)其局部截断误差为 这里 ,是1 1阶方法,局部截断误差主项为 .(2.5)29第29页,共151页,编辑于2022年,星期日 对梯形法(2.7
11、)有 所以梯形方法是二阶的,其局部误差主项为(2.7)30第30页,共151页,编辑于2022年,星期日9.3 龙格龙格-库塔方法库塔方法31第31页,共151页,编辑于2022年,星期日一、Taylor展开法取等式右边前p+1项32第32页,共151页,编辑于2022年,星期日例例 取h=0.1,用三阶Taylor展开法求解33第33页,共151页,编辑于2022年,星期日从计算高阶导数的公式知道,方法的截断误差提高一阶,需要增加的计算量很大.下面我们用区间上若干点的导数f,而不是高阶导数,将它们作线性组合得到平均斜率,将其与解的Taylor展开相比较,使前面若干项吻合,从而得到提高阶的方法
12、34第34页,共151页,编辑于2022年,星期日2 龙格龙格-库塔法库塔法(Runge-Kutta(Runge-Kutta法法)35第35页,共151页,编辑于2022年,星期日(2)龙格龙格-库塔法的一般形式库塔法的一般形式36第36页,共151页,编辑于2022年,星期日37第37页,共151页,编辑于2022年,星期日38第38页,共151页,编辑于2022年,星期日将以上结果代入局部截断误差公式则有 要使公式(3.6)具有 阶,必须使(3.6)39第39页,共151页,编辑于2022年,星期日即 非线性方程组(3.9)的解是不唯一的.令 ,则得 这样得到的公式称为二阶R-K方法,如取
13、 ,则这就是改进欧拉法(3.1).(3.9)40第40页,共151页,编辑于2022年,星期日若取 ,则 得计算公式.称为中点公式中点公式,相当于数值积分的中矩形公式.(3.10)也可表示为(3.10)41第41页,共151页,编辑于2022年,星期日 9.3.3 三阶与四阶显式三阶与四阶显式R-K方法方法 要得到三阶显式R-K方法,必须 .(3.11)其中 及 均为待定参数.此时(3.4),(3.5)的公式表示为 公式(3.11)的局部截断误差为(3.4)(3.5)42第42页,共151页,编辑于2022年,星期日只要将 按二元函数泰勒展开,使 ,可得待定参数满足方程(3.12)43第43页
14、,共151页,编辑于2022年,星期日这是8个未知数6个方程的方程组,解也不是唯一的.所以这是一簇公式.满足条件(3.12)的公式(3.11)统称为三阶R-K公式.一个常见的公式为 此公式称为库塔库塔三阶方法.44第44页,共151页,编辑于2022年,星期日 继续上述过程,经过较复杂的数学演算,可以导出各种四阶龙格-库塔公式,下列经典公式是其中常用的一个:可以证明其截断误差为 .四阶龙格-库塔方法的每一步需要计算四次函数值 ,(3.13)45第45页,共151页,编辑于2022年,星期日 谢 谢!46第46页,共151页,编辑于2022年,星期日47第47页,共151页,编辑于2022年,星
15、期日 9.3.4 变步长的龙格变步长的龙格-库塔方法库塔方法 单从每一步看,步长越小,截断误差就越小,但随着步长的缩小,在一定求解范围内所要完成的步数就增加了.步数的增加不但引起计算量的增大,而且可能导致舍入误差的严重积累.因此同积分的数值计算一样,微分方程的数值解法也有个选择步长的问题.在选择步长时,需要考虑两个问题:1 怎样衡量和检验计算结果的精度?48第48页,共151页,编辑于2022年,星期日 2 如何依据所获得的精度处理步长?考察经典的四阶龙格-库塔公式(3.13)从节点 出发,先以 为步长求出一个近似值 ,49第49页,共151页,编辑于2022年,星期日(3.14)然后将步长折
16、半,即取 为步长从 跨两步到 ,再求得一个近似值 ,每跨一步的截断误差是 ,因此有(3.15)比较(3.14)式和(3.15)式我们看到,步长折半后,由于公式的局部截断误差为 ,故有 误差大约减少到 ,50第50页,共151页,编辑于2022年,星期日由此易得下列事后估计式 这样,可以通过检查步长,折半前后两次计算结果的偏差 即有来判定所选的步长是否合适.具体地说,将区分以下两种情况处理:51第51页,共151页,编辑于2022年,星期日 1.对于给定的精度 ,如果 ,反复将步长折半进行计算,直至 为止.这时取最终得到的 作为结果;2.如果 ,反复将步长加倍,直到 为止,这种通过加倍或折半处理
17、步长的方法称为变步长方法变步长方法.这时再将步长折半一次,就得到所要的结果.表面上看,为了选择步长,每一步的计算量增加了,但总体考虑往往是合算的.52第52页,共151页,编辑于2022年,星期日9.4 单步法的收敛性与稳定性单步法的收敛性与稳定性 9.4.1 收敛性与相容性收敛性与相容性 数值解法的基本思想是通过某种离散化手段将微分方程转化为差分方程,如单步法(2.11),即(4.1)它在 处的解为 ,而初值问题(1.1),(1.2)在 处的精确解为 ,记 称为整体截断误差.(1.1)(1.2)53第53页,共151页,编辑于2022年,星期日 收敛性就是讨论当 固定且 时的问题.定义定义3
18、 3 若一种数值方法对于固定的 ,当 时有 ,其中 是(1.1),(1.2)的准确解,则称该方法是收敛收敛的.显然数值方法收敛是指 .对单步法(4.1)有下述收敛性定理:(1.1)(1.2)(4.1)54第54页,共151页,编辑于2022年,星期日 定理定理3 3 假设单步法(4.1)具有 阶精度,且增量函数 关于 满足利普希茨条件(4.2)又设初值 是准确的,即 ,则其整体截断误差整体截断误差(4.3)证明证明 设以 表示取 用公式(4.1)求得的结果,即(4.4)则 为局部截断误差,(4.1)(4.1)55第55页,共151页,编辑于2022年,星期日由于所给方法具有 阶精度,按定义2,
19、存在定数 ,使又由式(4.4)与(4.1),得 利用假设条件(4.2),有 从而有(4.2)(4.1)(4.4)56第56页,共151页,编辑于2022年,星期日即对整体截断误差 成立下列递推关系式(4.5)反复递推,可得(4.6)再注意到当 时 最终得下列估计式(4.7)57第57页,共151页,编辑于2022年,星期日由此可以断定,如果初值是准确的,即 ,则(4.3)式成立.依据这一定理,判断单步法(4.1)的收敛性,归结为验证增量函数 能否满足利普希茨条件(4.2).对于欧拉方法,由于其增量函数 就是 ,故当 关于 满足利普希茨条件时它是收敛的.再考察改进的欧拉方法,其增量函数给出,这时
20、有(4.3)(4.2)(4.1)58第58页,共151页,编辑于2022年,星期日假设 关于 满足利普希茨条件,记利普希茨常数为 ,设 为定数),上式表明 关于 的利普希茨常数则由上式推得 因此改进的欧拉方法也是收敛的.59第59页,共151页,编辑于2022年,星期日 类似地,也可验证其他龙格-库塔方法的收敛性.定理3表明 时单步法收敛,并且当 是初值问题(1.1),(1.2)的解,(4.1)具有 阶精度时,有展开式 所以 的充要条件是 ,(4.1)(1.1)(1.2)60第60页,共151页,编辑于2022年,星期日而 ,于是可给出如下定义:定义定义4 4 若单步法(4.1)的增量函数 满
21、足 则称单步法(4.1)与初值问题(1.1),(1.2)相容相容.相容性是指数值方法逼近微分方程(1.1),即微分方程(1.1)离散化得到的数值方法当 时可得到61第61页,共151页,编辑于2022年,星期日 定理定理4 4 阶方法(4.1)与初值问题(1.1),(1.2)相容的充分必要条件是 由定理3可知单步法(4.1)收敛的充分必要条件是(4.1)是相容的.以上讨论表明 阶方法(4.1)当 时与(1.1),(1.2)相容,反之相容方法至少是1阶的.62第62页,共151页,编辑于2022年,星期日 9.4.2 绝对稳定性与绝对稳定域绝对稳定性与绝对稳定域 定义定义5 5 若一种数值方法在
22、节点值 上大小为 的扰动,于以后各节点值 上产生的偏差均不超过 ,则称该方法是稳定稳定的.以欧拉法为例考察计算稳定性.例例4 4 考察初值问题 其准确解 是一个按指数曲线衰减得很快的函数,如图9-3所示.63第63页,共151页,编辑于2022年,星期日若取 ,则欧拉公式的具体形式为 计算结果列于表9-4的第2列.可以看到,欧拉方法的解 (图9-3中用号标出)在准确值 的上下波动,计算过程明显地不稳定.图9-3 用欧拉法解方程 得 64第64页,共151页,编辑于2022年,星期日再考察后退的欧拉方法,取 时计算公式为 计算结果列于表9-4的第3列(图9-3中标以号),这时计算过程是稳定的.但
23、若取 则计算过程稳定.65第65页,共151页,编辑于2022年,星期日 这表明稳定性不但与方法有关,也与步长 的大小有关,当然也与方程中的 有关.为了只考察数值方法本身,通常只检验将数值方法用于解模型方程的稳定性,(4.8)其中 为复数.例如在 的邻域,可展开为 模型方程为 对一般方程可以通过局部线性化化为这种形式.66第66页,共151页,编辑于2022年,星期日略去高阶项,再做变换即可得到 的形式.对于 个方程的方程组,也可线性化为 ,这里 为 的雅可比矩阵 .若 有 个特征值 ,则 还可能是复数,为保证微分方程本身的稳定性,还应假定 .先研究欧拉方法的稳定性.模型方程 的欧拉公式为 所
24、以,为了使模型方程结果能推广到方程组,方程中 应为复数.67第67页,共151页,编辑于2022年,星期日(4.9)设在节点值 上有一扰动值 ,它的传播使节点值 产生大小为 的扰动值,假设用 按欧拉公式得出 的计算过程不再有新的误差,则扰动值满足 可见扰动值满足原来的差分方程(4.9).如果差分方程的解是不增长的,即有 则它就是稳定的.68第68页,共151页,编辑于2022年,星期日即图9-4 显然,为要保证差分方程(4.9)的解不增长,只要选取 充分小,(4.10)在 的复平面上,这是以 为圆心,1为半径的单位圆内部(图9-4).这个圆域称为欧拉法的绝对稳定域,一般情形可由下面定义.定义定
25、义6 6 单步法(4.1)用于解模型方程(4.8),若得到的解 ,满足 ,则称方法(4.1)是绝对稳定绝对稳定的.(4.9)使(4.1)(4.8)69第69页,共151页,编辑于2022年,星期日 在 的平面上,使 的变量围成的区域,称为绝对稳定域绝对稳定域,对欧拉法,给出,绝对稳定区间为 .它与实轴的交称为绝对稳定区间绝对稳定区间.其绝对稳定域由 在例5中 ,即 为绝对稳定区间.当取 时 例4中取 故它是不稳定的,它是稳定的.70第70页,共151页,编辑于2022年,星期日故 绝对稳定域由 得到.绝对稳定区间为 ,即 .类似可得三阶及四阶的R-K方法的 分别为 用二阶R-K方法解模型方程
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