第二章行列式精选PPT.ppt

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1、第二章行列式第1页，本讲稿共66页2.1 n 阶行列式 1.二阶、三阶行列式二阶、三阶行列式（对角线法则）对角线法则）第2页，本讲稿共66页横排称为行行，纵排称为列.其中aij称为行列式的元素第一个下标表示该元素所在的行数，第二个下标表示表示该元素所在的列数.第3页，本讲稿共66页例例1 1 计算三阶行列式解：解：第4页，本讲稿共66页二阶和三阶行列式是最简单的行列式.下面介绍n阶行列式.首先需要弄清楚二阶和三阶行列式的结构规律，分析它们的共性,然后加以推广,给出n阶行列式的定义.为此,需要一些预备知识 .第5页，本讲稿共66页2.排列定义:n个数码1,2,n的一个排列指的是由这n个数码组成的

2、一个有序组，记为j1j2 jn n个数码的不同排列共有n(n1)21=n！种例如1234,2314 都是四个数码的排列例如1,2,3这三个数码的所有不同的排列共有3！6种123,132,231,213,312,321第6页，本讲稿共66页例如，排列132有一个反序，321有三个反序在一 (132)=1 (321)=3在一个排列里，如果某一个较大的数码排在某一个较小的数码前面，就说这两个数码构成一个逆序(反序)记为(j1j2 jn)(451362)=个排列里出现的反序总数叫做反序数,反序数为奇数的排列称为奇排列,反序数为偶数的排列称为偶排列.2+4+2+0+0+0=8 (523146879)=3

3、+1+1+1+0+0+1+0+0=7第7页，本讲稿共66页在一个排列里，如果交换两个数码 i 和 j 的位置，称为进行了一次对换.定理定理1 定理定理2 在n个数码的所有排列中,奇偶排列各占一半.任一对换(i,j)改变排列的奇偶性.（各为 个）第8页，本讲稿共66页3.n阶行列式 有了前面的准备工作,我们可以对二阶和三阶行列式作进一步的研究,从而得出它们的结构规律,利用这些规律来定义 n 阶行列式.仅对三阶行列式加以研究第9页，本讲稿共66页1.三阶行列式共有3！项.总结三阶行列式规律如下:3.每一项的元素都有两个下标,第一个下标都是按自然分析二阶行列式也会发现完全类似的规律,根据这个规律来定

4、义n阶行列式.2.三阶行列式的每一项都是三个元素的乘积,这三个元素既位于不同的行,也位于不同的列,而且所有既位于不同的行也位于不同的列的三个元素的乘积都在行列式中出现.顺序排列的,而第二个下标构成三个数码的一切排列,与偶排列对应的项取正号,与奇排列对应的项取负号.第10页，本讲稿共66页定义定义 表示的n阶行列式指的是 n！项的代数和.用符号也就是说,当j1j2jn是偶排列时,这一项的符号为正,当j1j2jn是奇排列时,这一项的符号为负.这些项是一切可能的取自的不同的行和不同的列上的n个元素的乘积项 的符号为第11页，本讲稿共66页这一定义又可写成表示对所有的n阶排列求和.一个n阶行列式正是前

5、面二阶和三阶行列式的推广.这里特别地,n=1时,一阶行列式|a|=a (与绝对值不同)注意：对角线法则只适用于二阶和三阶行列式的计算第12页，本讲稿共66页例1 计算解：这是一个四阶行列式，展开后应该有4！项，但是由于出现很多0，所以不为0的项就大大减少了.展开式中项的一般形式为第13页，本讲稿共66页显然，如果 j14,则从而这一项就等于0，因此，只能是 j1=4.同理，只能是 j2=3，j3=2，j4=1即行列式中不为0的项只有因此，D=第14页，本讲稿共66页例2 计算n阶下三角形行列式解:项的一般形式为显然，只能是 j1=1,j2=2,jn=n因此，D=即下三角形行列式等于其主对角线上

6、元素的乘积.第15页，本讲稿共66页同理，上三角形行列式也等于其主对角线上元素的乘积.例3 计算第16页，本讲稿共66页思考题：如何计算下面的行列式和第17页，本讲稿共66页定理3 项在行列式中的符号为其中，s=(i1i2in),t=(j1j2jn)推论 项在行列式中的符号为第18页，本讲稿共66页性质1 行列式与它的转置行列式相等，即该性质表明，行列式中的行与列具有同等的地位，行列式的性质凡对行成立的对列也成立，反之亦然例如容易算出 D=60，DT=60.2.2 行列式的性质第19页，本讲稿共66页性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号推论 若行列式两行(列)完全相同，则此行列式为零第2

7、0页，本讲稿共66页将 阶矩阵 的元素 所在的第 行第 列处的元素划去后，中剩下的 个元素按原来的排列顺序组成 阶矩阵所确定的行列式记作 ，称之为 的余子式余子式，为 的代数余子式代数余子式第21页，本讲稿共66页性质3 行列式按行（列）展开法则 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和，即 或 第22页，本讲稿共66页推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和 或 即等于零.第23页，本讲稿共66页性质4 把行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一常数，等于用此数乘行列式推论1 行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面推

8、论2 若行列式的某一行（列）的元素全为零，则此行列式为零；若行列式某两行(列)成比例，则此行列式等于零第24页，本讲稿共66页性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，第 行的元素都是两数之和：第25页，本讲稿共66页则D等于下面两个行列式之和：第26页，本讲稿共66页计算行列式的一种基本方法是利用性质将其化成三角行列式后计算性质6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一常数后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变第27页，本讲稿共66页例1 计算第28页，本讲稿共66页解：第29页，本讲稿共66页第30页，本讲稿共66页例2 计算解：把第2，3，4列均加到第一列上，得到第3

9、1页，本讲稿共66页第32页，本讲稿共66页例3 计算第33页，本讲稿共66页解:第34页，本讲稿共66页例4 计算第35页，本讲稿共66页例5计算设A41+A42+A43+A44(Aij为aij的代数余子式)解:根据性质3的推论,第2行各元素与第4行对应元素的代数余子式乘机之和等于0,所以A41+A42+A43+2A44=0 A41+A42+A43+A44=A44即第36页，本讲稿共66页又因为所以A41+A42+A43+A44=9第37页，本讲稿共66页*例6这里记号“”表示全体同类因子的乘积证明范德蒙（Vandermode）行列式第38页，本讲稿共66页证:用数学归纳法为此，从第n行开始

10、，后行减去前行的 x1倍，所以,当n=2时等式成立.现假设等式对 n1阶范德蒙行列式成立.要证明等式对n阶范德蒙行列式也成立,因为则有第39页，本讲稿共66页就有按第一列展开，并把每列的公因子提出，第40页，本讲稿共66页故上式右端的行列式是一个 n1阶范德蒙行列式,其中按归纳法假设，它等于所有 因子的乘积第41页，本讲稿共66页解 行列式中每行元素之和均为 ，从第第2列起，把每列均加到第1列上，提出公因子，然后各行减去第1行：例7 计算n阶行列式第42页，本讲稿共66页第43页，本讲稿共66页第44页，本讲稿共66页 在上述诸例的计算过程中，起关键作用的是性质3，6，特别是性质6，即运算 r

11、i+krj,其它几种运算只是使计算过程变得简单一点而已 稍作分析，便不难发现任何行列式总能利用运算ri+krj化为上三角行列式，或化为下三角行列式类似地，利用运算ci+kcj也可把行列式化为上三角行列式或下三角行列式第45页，本讲稿共66页例8 设证明证明 第46页，本讲稿共66页证 对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为对 作运算 ，把 化为下三角行列式，设为第47页，本讲稿共66页于是，对 的前 行作运算 ，再对 的后 列作运算 ，把 化成下三角行列式即第48页，本讲稿共66页例9 计算n阶行列式第49页，本讲稿共66页解：按第1列展开，得第50页，本讲稿共66页这个式子对于任何n(n2

12、)都成立.因此有而所以第51页，本讲稿共66页第52页，本讲稿共66页2.3 克克莱姆（Cramer）法则）法则对于方程个数与未知量的个数相等的如下的线性方程组有下面的定理第53页，本讲稿共66页定理定理1（克（克莱姆法则）法则）如果线性方程组（1）的系数矩阵的行列式D=|A|0，那么线性方程组（1）有解并且解是唯一的，解可以通过系数表示为第54页，本讲稿共66页注意：将行列式注意：将行列式 按第按第 列展开，显然列展开，显然其中 是把矩阵 中的第 列换成方程组的常数项 所成的矩阵行列式，即 第55页，本讲稿共66页对于齐次线性方程组显然 一定是解，称为零解.将克克莱姆法则用于齐次线性方程组（

13、5），可得定理1 如果线性方程组（1）无解或至少有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。第56页，本讲稿共66页定理2 如果齐次线性方程组（5）的系数矩阵的行列式D=|A|0，那么它只有零解.也就是说，如果方程组（5）有非零解，那么必有D=|A|=0第57页，本讲稿共66页例例1:解方程组解方程组 第58页，本讲稿共66页因为因为D0,所以，根据所以，根据Cramer 规则规则，它有唯，它有唯一解一解 解解:系数行列式系数行列式第59页，本讲稿共66页因此第60页，本讲稿共66页解：由定理2，如果方程组有非零解，那么它的系数矩阵的行列式例2：为何值时，齐次线性方程组有非零解？第61页，本讲稿共

14、66页由此得第62页，本讲稿共66页将行列式化为上（下）三角行列式来计算，这是计算行列式的最常用方法.第二章第二章 小结小结计算行列式的方法计算行列式的方法特殊的行列式或者是大多数元素为零的行列式的计算.(1)利用行列式的定义计算：但这种方法只适用于一些(2)利用行列式的性质计算：利用行列式的基本性质(3)利用降阶法计算：利用按行（列）展开公式将高阶行列式化为低阶行列式来计算.第63页，本讲稿共66页(4)利用递推关系计算：利用行列式的性质或展开公式找出递推关系来进行计算，此方法一般适用于含有字母的行列式的计算。(5)利用升阶法计算：在行列式值不变的情况下，加上特殊的一行和一列进行计算。(6)

15、利用范德蒙行列式计算：此方法仅适用于特殊的行列式的计算。第64页，本讲稿共66页例例1:填空题填空题(1)在五阶行列式中,项a12 a31 a54 a43 a25的符号为 (2)在四阶行列式中，带负号且包含因子a23和a31的项为(3)在n阶行列式中，如果负项的个数为偶数，则n (4)如果n阶行列式中等于0的元素个数大于n2n，那么此行列式的值为 (5)若a1i a23 a35 a5j a44是五阶行列式中带正号的一项,则i=,j=.第65页，本讲稿共66页(8)排列i1i2in可经过 次对换变为inin1i2i1.(7)设，是方程 x3+px+q=0的三个根，则行列式(6)在n阶行列式D中，当ij时，aij=0(ij=1,2,n)，则D=解：解：(1)正(2)a14 a23 a31 a42(4)0(3)4(5)1,2(6)a11 a22 ann(7)0(8)第66页，本讲稿共66页