解析函数的泰勒展开及洛朗展开优秀课件.ppt

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1、解析函数的泰勒展开及洛朗展开第1页，本讲稿共24页上次课主要内容回顾上次课主要内容回顾关于关于 的幂级数，其中的幂级数，其中 为常数为常数.定理定理1 1（Abel Abel第一定理）若幂级数（第一定理）若幂级数（1 1）在）在 处收敛，处收敛，则它在圆则它在圆 内每一点处绝对收敛内每一点处绝对收敛.推论推论 若幂级数（若幂级数（1 1）在）在 处发散，则它在处发散，则它在内每一点处发散内每一点处发散.定理定理3 3 对幂级数（对幂级数（1 1），若下述极限之一成立，），若下述极限之一成立，则幂级数（则幂级数（1 1）的收敛半径为）的收敛半径为第2页，本讲稿共24页定理定理4 4 设幂级数（设

2、幂级数（1 1）的收敛半径为）的收敛半径为 ，它在圆盘，它在圆盘 内的和函数为内的和函数为 ，则，则（1 1）在在 内解析；内解析；（2 2）在在 内可逐项求导数，即内可逐项求导数，即（3 3）在在 内可逐项积分，即内可逐项积分，即推论推论 在定理在定理4 4条件下，有条件下，有 或或提问提问:幂级数在收敛圆内的性质是什么幂级数在收敛圆内的性质是什么?上次课主要内容回顾上次课主要内容回顾第3页，本讲稿共24页思考下列问题思考下列问题:(1)(1)函数满足怎样的条件才能展开为幂级数函数满足怎样的条件才能展开为幂级数?(2)(2)如果函数能够展开为幂级数如果函数能够展开为幂级数,那么它的系数应如何

3、确定那么它的系数应如何确定?(3)(3)函数的幂级数展开式是否唯一函数的幂级数展开式是否唯一?(4)(4)如何确定展开式的收敛半径如何确定展开式的收敛半径?3 3 泰勒级数泰勒级数第4页，本讲稿共24页3 3 泰勒级数泰勒级数定理定理（Taylor)设函数设函数 在圆盘在圆盘 内解析，则内解析，则证明过程证明过程:第5页，本讲稿共24页人物简介人物简介 18 18世世纪纪早期英早期英国国牛牛顿学顿学派最派最优优秀代表人物之一的秀代表人物之一的英英国数学国数学家泰勒（家泰勒（Brook TaylorBrook Taylor）,于于16851685年年8 8月月1818日日在在米德尔塞克斯米德尔塞

4、克斯的埃德蒙的埃德蒙顿顿出生。出生。1709 1709年年后后移居移居伦伦敦，敦，获获法法学硕学硕士士学学位。位。17121712年年当当选为选为英英国国皇家皇家学会会员学会会员，并于两并于两年年后获后获法法学学博士博士学学位。位。同年同年(即即17141714年年)出任英出任英国国皇家皇家学会学会秘秘书书，四年，四年后后因健因健康理由康理由辞退职务辞退职务。他是有限差分理论的奠基人。他是有限差分理论的奠基人。1717 1717年，他以泰勒定理求解了年，他以泰勒定理求解了数数值方程值方程,他提出的泰勒定理他提出的泰勒定理使任意单变量函数可展为幂级数。使任意单变量函数可展为幂级数。最最后后在在1

5、7311731年年1212月月2929日日于伦于伦敦逝世。敦逝世。泰勒定理泰勒定理第6页，本讲稿共24页n n情况一情况一情况一情况一:找找找找 到区域边界最短距离到区域边界最短距离到区域边界最短距离到区域边界最短距离 .n n情况二情况二情况二情况二:找找找找 与函数离与函数离与函数离与函数离 最近的一个奇点最近的一个奇点最近的一个奇点最近的一个奇点 之间的距离之间的距离之间的距离之间的距离 .3 3 泰勒级数泰勒级数推论推论 函数函数 在在 处解析的充要条件是处解析的充要条件是 可在可在 的某的某邻域内展开成幂级数邻域内展开成幂级数.Note.实际上该推论是从级数的角度深刻地反映出解析函数

6、的本质实际上该推论是从级数的角度深刻地反映出解析函数的本质.we can use we can use Taylors theorem and property of the power series to obtain this corollary.提问提问提问提问:当已知函数在某个区域内解析若要将函数当已知函数在某个区域内解析若要将函数当已知函数在某个区域内解析若要将函数当已知函数在某个区域内解析若要将函数展开成展开成展开成展开成 幂级数幂级数幂级数幂级数,则如何确定收敛半径则如何确定收敛半径则如何确定收敛半径则如何确定收敛半径R R值值值值?第7页，本讲稿共24页Note.We can

7、use Taylors theorem and corollary to obtain this result.3 3 泰勒级数泰勒级数基本结论基本结论:函数在某一点的泰勒展开式是唯一的函数在某一点的泰勒展开式是唯一的.Example1.Example1.2)2)泰勒公式法泰勒公式法1)1)代换运算代换运算第8页，本讲稿共24页几个例题几个例题Example2.Example2.第9页，本讲稿共24页几个例题几个例题Example3.Example3.Note.我们考虑的对象是单值函数所以应取幂函数的主值分支我们考虑的对象是单值函数所以应取幂函数的主值分支.第10页，本讲稿共24页Exampl

8、e4.Example4.3 3 泰勒级数泰勒级数3)3)逐项积分法与逐项求导法逐项积分法与逐项求导法第11页，本讲稿共24页3 3 泰勒级数泰勒级数Example2.Example2.同理可得余弦函数在原点的泰勒级数同理可得余弦函数在原点的泰勒级数.4)4)其它方法其它方法第12页，本讲稿共24页3 3 泰勒级数泰勒级数基本初等函数在原点处的泰勒级数基本初等函数在原点处的泰勒级数:利用利用MATHEMATICAMATHEMATICA求幂级数展开求幂级数展开*第13页，本讲稿共24页3 3 泰勒级数泰勒级数Exercise1.Exercise1.Exercise2.Exercise2.(1)(1

9、)(1)(1)利用幂级数的运算性质利用幂级数的运算性质利用幂级数的运算性质利用幂级数的运算性质(2)(2)(2)(2)利用逐项求导逐项积分的性质利用逐项求导逐项积分的性质利用逐项求导逐项积分的性质利用逐项求导逐项积分的性质(3)(3)(3)(3)利用代换运算利用代换运算利用代换运算利用代换运算(4)(4)(4)(4)利用以知的结论即基本函数的展开式利用以知的结论即基本函数的展开式利用以知的结论即基本函数的展开式利用以知的结论即基本函数的展开式间接展开法间接展开法泰勒公式法泰勒公式法总结函数在某一点展开的方法总结函数在某一点展开的方法:第14页，本讲稿共24页4 4 洛朗级数洛朗级数关于关于 的

10、的双边幂级数双边幂级数（或（或洛朗级数洛朗级数），其中），其中 为常数为常数.负幂部分负幂部分在区域在区域 内收敛到解析函数内收敛到解析函数在区域在区域 内收敛到解析函数内收敛到解析函数正幂部分正幂部分第15页，本讲稿共24页4 4 洛朗级数洛朗级数负幂部分负幂部分在区域在区域 内收敛到解析函数内收敛到解析函数设负幂部分在收敛圆内的和函数为设负幂部分在收敛圆内的和函数为设负幂部分在收敛圆内的和函数为设负幂部分在收敛圆内的和函数为 ,则由定理则由定理则由定理则由定理4 4 4 4可得该和函数必解析可得该和函数必解析可得该和函数必解析可得该和函数必解析.n n事实上负幂部分是我们主要研究的对象所以

11、也称之为主要部分事实上负幂部分是我们主要研究的对象所以也称之为主要部分事实上负幂部分是我们主要研究的对象所以也称之为主要部分事实上负幂部分是我们主要研究的对象所以也称之为主要部分.原因就在于原因就在于原因就在于原因就在于:第16页，本讲稿共24页Note.事实上正幂部分就是个幂级数事实上正幂部分就是个幂级数,由定理由定理4可得该结可得该结论论.由于它在由于它在 这一点解析我们也称它为解析部分这一点解析我们也称它为解析部分.4 4 洛朗级数洛朗级数在区域在区域 内收敛到解析函数内收敛到解析函数结论结论:在圆环域在圆环域 内收敛到内收敛到解析函数解析函数定理定理4 4 设双边幂级数设双边幂级数 在

12、收敛圆环域在收敛圆环域 内的和函数为内的和函数为 ，则，则（1 1）该和函数在收敛圆环域内解析；）该和函数在收敛圆环域内解析；（2 2）该和函数在收敛圆环域内可逐项求导数）该和函数在收敛圆环域内可逐项求导数可逐项积分可逐项积分.正幂部分正幂部分第17页，本讲稿共24页 提问提问提问提问:既然洛朗级数在收敛圆环域内的和函数是解析既然洛朗级数在收敛圆环域内的和函数是解析既然洛朗级数在收敛圆环域内的和函数是解析既然洛朗级数在收敛圆环域内的和函数是解析的的的的,那么反过来是否成立呢那么反过来是否成立呢那么反过来是否成立呢那么反过来是否成立呢?即一个在圆环域内解析的即一个在圆环域内解析的即一个在圆环域内

13、解析的即一个在圆环域内解析的函数是否可以展开成洛朗级数函数是否可以展开成洛朗级数函数是否可以展开成洛朗级数函数是否可以展开成洛朗级数?4 4 洛朗级数洛朗级数第18页，本讲稿共24页4 4 洛朗级数洛朗级数定理定理（LaurentLaurent）设）设 在圆环域在圆环域 内解析，则对内解析，则对 有有其中其中这里这里 为圆环域为圆环域 内绕内绕 的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线.利用柯西积分利用柯西积分公式的推广式公式的推广式称称(1)(1)为为 在圆环在圆环 内的洛朗展开式内的洛朗展开式第19页，本讲稿共24页4 4 洛朗级数洛朗级数定理定理（Laurent）设）设 在圆环域

14、在圆环域 内解析，则对内解析，则对 有有其中其中这里这里 为圆环域为圆环域 内绕内绕 的任何一条正向简单闭曲线的任何一条正向简单闭曲线.证明思路证明思路:右边的第一式利用泰勒定理中的证明技巧可得右边的第一式利用泰勒定理中的证明技巧可得:右边的第二式中先利用代换运算来展开成级数右边的第二式中先利用代换运算来展开成级数:第20页，本讲稿共24页4 4 洛朗级数洛朗级数推论推论 圆环内的解析函数在该圆环内的洛朗展开式唯一圆环内的解析函数在该圆环内的洛朗展开式唯一.第21页，本讲稿共24页Example.例例 题题I I公式法公式法公式法公式法.IIII间接展开法间接展开法间接展开法间接展开法.第22页，本讲稿共24页第四章第四章 级数级数 1 1 复数项级数复数项级数 2 2 幂级数幂级数 幂级数的收敛域幂级数的收敛域 幂级数的运算性质幂级数的运算性质 3 3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数 4 4 洛朗洛朗(Laurent)级数级数相同相同与与不同不同第23页，本讲稿共24页作业作业第四章习题第四章习题（P.141)11(7)(8),12(5)第24页，本讲稿共24页