解排列组合问题的十八种常用策略优秀课件.ppt

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1、解排列组合问题的十八种常用策略第1页，本讲稿共45页一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字 五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安应该优先安 排排,以免不合要求的元素占了这两个位置以免不合要求的元素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_ 然后排首位共有然后排首位共有_最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本

2、的方法用也是最基本的方法,若以元素分析为主若以元素分析为主,需先安排需先安排特殊元素特殊元素,再处理其它元素再处理其它元素.若以位置分析为主若以位置分析为主,需需先满足特殊位置的要求先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件兼顾其它条件第2页，本讲稿共45页1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题第3页，本

3、讲稿共45页二.相邻元素捆绑策略例例2.72.7人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成 一个复合元素，同时丙丁也看成一个一个复合元素，同时丙丁也看成一个 复合元素，再与其它元素进行排列，复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用捆绑法来解

4、决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.第4页，本讲稿共45页三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3.一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈,2 2个个相相声声,3 3个个 独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第

5、一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种 不同的方不同的方法法 由分步计数原理由分步计数原理,节目的节目的不同顺序共有不同顺序共有 种种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端再把不相邻元素插入中间和两端第5页，本讲稿共45页某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目.如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个将这两个新节目插入原节目单中，且两个新

6、节目不相邻，那么不同插法的种数为（新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）30练习题第6页，本讲稿共45页四四.定序问题空位插入策略定序问题空位插入策略例例4.74.7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不同的排法少不同的排法解:(倍缩法倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是：（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子

7、让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 1思考思考:可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?第7页，本讲稿共45页（插入法插入法)先排甲乙丙三个人先排甲乙丙三个人,共有共有1 1种排法种排法,再再 把其余把其余4 4四人四人依次依次插入共有插入共有 方法方法4*5*6*74*5*6*7练习题1010人身高各不相等人身高各不相等,排成前后排，每排排成前后排，每排5 5人人,要要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？第8页，

8、本讲稿共45页五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为 种种n nm m第9页，本讲稿共45页1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单

9、中，那么不同插法的种数为（）422.2.某某8 8层大楼一楼电梯上来层大楼一楼电梯上来8 8名乘客人名乘客人,他们他们 到各自的一层下电梯到各自的一层下电梯,下电梯的方法下电梯的方法（）练习题第10页，本讲稿共45页六六.环排问题线排策略环排问题线排策略例例6.56.5人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD

10、 DA AB BC CE E（5-1)5-1)！一般地一般地,n n个不同元素作圆形排个不同元素作圆形排列列,共有共有(n-1)!n-1)!种排法种排法.如果从如果从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形排列共有圆形排列共有第11页，本讲稿共45页练习题6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈第12页，本讲稿共45页七七.多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以

11、把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.第13页，本讲稿共45页八八.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不

12、同的装共有多少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把5 5个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法.根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似第14页，本讲稿共45页练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四

13、种不同的任务,每人每人完成一种任务完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种192192第15页，本讲稿共45页九九.元素相同问题隔板策略元素相同问题隔板策略例例9.有有1010个运动员名额，在分给个运动员名额，在分给7 7个班，每个班，每班至少一个班至少一个,有多少种分配方案？有多少种分配方案？解：因为解：因为10个名额没有差别，把它们排成个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个隔板，在个空档中选个位置插个隔板，可把名额分成份，对应地分给个可把名额分成份，对

14、应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法班级，每一种插板方法对应一种分法共有共有_种分法。种分法。一班二班三班四班五班六班七班将将n n个相同的元素分成个相同的元素分成m m份（份（n n，m m为正整数）为正整数）,每份至少一个元素每份至少一个元素,可以用可以用m-1m-1块隔板，插入块隔板，插入n n个元素排成一排的个元素排成一排的n-1n-1个空隙中，所有分法数个空隙中，所有分法数为为第16页，本讲稿共45页练习题1.1.1010个相同的球装个相同的球装5 5个盒中个盒中,每盒至少一每盒至少一 有多少装法？有多少装法？2.2.x+y+z+w=100 x+y+z+w=100求这个方程组的

15、自然数解求这个方程组的自然数解 的组数的组数第19页，本讲稿共45页我们班里有我们班里有5353位同学位同学,从中任抽从中任抽5 5人人,正班长、正班长、副班长、团支部书记至少有一人在内的副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种抽法有多少种?十十.正难则反总体淘汰策略正难则反总体淘汰策略有些排列组合问题有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反可以先求出它的反面面,再从整体中淘汰再从整体中淘汰.第20页，本讲稿共45页十一十一.平均分组问题除法策略平均分组问题除法策略例11.6本不同的书平均分成本不同的书平均

16、分成3堆堆,每堆每堆2本共有本共有 多少分法？多少分法？解解:分三步取书得分三步取书得 种方法种方法,但这里出现但这里出现 重复计数的现象重复计数的现象,不妨记不妨记6本书为本书为ABCDEF 若第一步取若第一步取AB,第二步取第二步取CD,第三步取第三步取EF 该分法记为该分法记为(AB,CD,EF),则则 中还有中还有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有共有 种取法种取法,而而 这些分法仅是这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法一种分法,故共故共 有有 种分法。种分法。平均分成的组平均分成的组,不管它们的顺序如何

17、不管它们的顺序如何,都是一都是一种情况种情况,所以分组后要一定要除以所以分组后要一定要除以 (n为为均分的组数均分的组数)避免重复计数。避免重复计数。第21页，本讲稿共45页十二十二.构造模型策略构造模型策略例例1 12.2.马路上有编号为马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9的的 九只路灯九只路灯,现要关掉其中的现要关掉其中的3 3盏盏,但不能关但不能关 掉相邻的掉相邻的2 2盏或盏或3 3盏盏,也不能关掉两端的也不能关掉两端的2 2 盏盏,求满足条件的关灯方法有多少种？求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在解：把此问题当作一

18、个排队模型在6 6盏盏 亮灯的亮灯的5 5个空隙中插入个空隙中插入3 3个不亮的灯个不亮的灯 有有_ _ 种种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决第23页，本讲稿共45页练习题某排共有某排共有1010个座位，若个座位，若4 4人就坐，每人左右人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120第24页，本讲稿共45页十三.合理分类与分步策略例例1 13.3.在一次演唱会上共在一次演唱会上共1010名演员名演员,其中其中8 8人能人能 能唱歌能唱歌,5,5人会跳舞人会跳舞,现要演出

19、一个现要演出一个2 2人人 唱歌唱歌2 2人伴舞的节目人伴舞的节目,有多少选派方法有多少选派方法?解：10演员中有演员中有5人只会唱歌，人只会唱歌，2人只会跳舞人只会跳舞 3人为全能演员。人为全能演员。以只会唱歌的以只会唱歌的5 5人是否人是否选上唱歌人员为标准进行研究选上唱歌人员为标准进行研究.只会唱只会唱的的5 5人中没有人选上唱歌人员共有人中没有人选上唱歌人员共有_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有1 1人选上唱歌人人选上唱歌人员员_种种,只会唱的只会唱的5 5人中只有人中只有2 2人人选上唱歌人员有选上唱歌人员有_种，由分类计数种，由分类计数原理共有原理共有_种。种。+第25

20、页，本讲稿共45页本题还有如下分类标准：本题还有如下分类标准：*以以3 3个全能演员是否选上唱歌人员为标准个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以以3 3个全能演员是否选上跳舞人员为标准个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的以只会跳舞的2 2人是否选上跳舞人员为标准人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果都可经得到正确结果解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。第26页，本讲稿共45页1.1.从从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出4 4人参加某个座人参加

21、某个座 谈会，若这谈会，若这4 4人中必须既有男生又有女生，则不人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有同的选法共有_ _ 3434 练习题2.3 3成人成人2 2小孩乘船游玩小孩乘船游玩,1,1号船最多乘号船最多乘3 3人人,2,2 号船最多乘号船最多乘2 2人人,3,3号船只能乘号船只能乘1 1人人,他们任选他们任选 2 2只船或只船或3 3只船只船,但小孩不能单独乘一只船但小孩不能单独乘一只船,这这3 3人共有多少乘船方法人共有多少乘船方法.第27页，本讲稿共45页十四十四.实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例1 14.4.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和

22、编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4,5号球号球,3,4,5号号盒盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法3 3号盒号盒4 4号盒号盒5 5号盒号盒

23、345第28页，本讲稿共45页十五十五.实际操作穷举策略实际操作穷举策略例例15.15.设有编号设有编号1,2,3,4,51,2,3,4,5的五个球和编号的五个球和编号1,21,2 3,4,53,4,5的五个盒子的五个盒子,现将现将5 5个球投入这五个球投入这五 个盒子内个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.,.有多少投法有多少投法 解：从从5个球中取出个球中取出2个与盒子对号有个与盒子对号有_种种 还剩下还剩下3球球3盒序号不能对应，盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下操作法，如果剩下3,4

24、,5号球号球,3,4,5号号盒盒3号球装号球装4号盒时，则号盒时，则4,5号球有只有号球有只有1种种装法装法,同理同理3号球装号球装5号盒时号盒时,4,5号球有号球有也也只有只有1种装法种装法,由分步计数原理有由分步计数原理有2 种种 第29页，本讲稿共45页对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果图会收到意想不到的结果练习题1.1.同一寝室同一寝室4 4人人,每人写一张贺年卡集中起来每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张然后每人各拿一张

25、别人的贺年卡，则四张 贺年卡不同的分配方式有多少种？贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.2.给图中区域涂色给图中区域涂色,要求相邻区要求相邻区 域不同色域不同色,现有现有4 4种可选颜色种可选颜色,则则 不同的着色方法有不同的着色方法有_种种213457272第30页，本讲稿共45页第36页，本讲稿共45页变式：变式：变式：变式：如下图所示如下图所示如下图所示如下图所示,有有有有5 5横横横横8 8竖构成的方格图竖构成的方格图竖构成的方格图竖构成的方格图,从从从从A A到到到到B B只只只只能上行或右行共有多少条能上行或右行共有多少条能上行或右行共有多少条能上行或右行共有多少条不同的路线不

26、同的路线不同的路线不同的路线?解解解解:如图所示如图所示如图所示如图所示1 1 2 2 3 34 45 5 6 67 7将一条路经抽象为如下的一个排将一条路经抽象为如下的一个排将一条路经抽象为如下的一个排将一条路经抽象为如下的一个排法法法法(5-1)+(8-1)=11(5-1)+(8-1)=11格格格格:其中必有四个其中必有四个其中必有四个其中必有四个 和七个和七个和七个和七个组成组成组成组成!所以所以所以所以,四个四个四个四个 和七个和七个和七个和七个一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经一个排序就对应一条路经,所以从所以从所以从所以从A A到到到到B B共有共有

27、共有共有 条不同的路径条不同的路径条不同的路径条不同的路径.消序法消序法消序法消序法(留空法留空法留空法留空法)也可以看作是也可以看作是也可以看作是也可以看作是1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,顺序一定的排列，顺序一定的排列，顺序一定的排列，顺序一定的排列，有有有有种排法种排法种排法种排法.2.2.基本方法基本方法基本方法基本方法第37页，本讲稿共45页第38页，本讲稿共45页第39页，本讲稿共45页第40页，本讲稿共45页第41页，本讲稿共45页第42页，本讲稿共45页小结 本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解本节课，我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩

28、固。排列组合历来是学习中题策略加以复习巩固。排列组合历来是学习中的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现的难点，通过我们平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件们的条件,我们就可以选取不同的技巧来解决问我们就可以选取不同的技巧来解决问题题.对于一些比较复杂的问题对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种我们可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一策略结合起来应用

29、把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。基础。第43页，本讲稿共45页1.解解决决应应用用题题时时，应应分分析析：要要完完成成做做一一件件什什么么事事；这这件件事事怎怎样样做做才才可可以以做做好好；需需要要分分类类还还是是分分步步.运运用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理，关关键键在在于于两两方方面面，认认真真分分析析题题意意，设设计计合合理理的的求求解解程程序序是是求求解解问题的关键问题的关键.第44页，本讲稿共45页2.如如果果任任何何一一类类办办法法中中的的任任何何一一种种方方法法都都能能完完成成这

30、这件件事事，即即类类与与类类之之间间是是相相互互独独立立的的，即即分分类类完完成成，则则选选用用分分类类计计数数原原理理；如如果果完完成成一一件件事事要要经经历历几几个个步步骤骤（即即几几步步），且且只只有有当当这这些些步步骤骤都都做做完完，这这件件事事才才能能完完成成，即即步步与与步步之之间间是是相相互互依依存存、相相互互连连续续的的，即即分步完成，则选用分步计数原理分步完成，则选用分步计数原理.3.排排列列与与组组合合的的本本质质区区别别在在于于排排列列不不仅仅取取而而且且排排，即即与与顺顺序序有有关关，而而组组合合只只取取出出一一组组即即可，与顺序无关可，与顺序无关.第45页，本讲稿共45页