复变函数第四章泰勒级数精.ppt

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1、复变函数第四章泰勒级数第1页，本讲稿共28页证明思路：根据定理前提条件,知第2页，本讲稿共28页第3页，本讲稿共28页（2）如果 f(z)在z0解析,则使 f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R等于从z0到 f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离,即R=|a-z0|.注：（1）泰勒展开式的唯一性。【定理4.8】(采用反证 法证明）第4页，本讲稿共28页（1）直接展开法 利用泰勒展开式,我们可以直接通过计算系数:把 f(z)在z0展开成幂级数。第5页，本讲稿共28页例1：类似地，解：第6页，本讲稿共28页（二）间接展开法 借助一些已知函数的展开式,利用幂级数的运算（加法，乘法，积分，求导

2、等运算）和分析性质,以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式,第7页，本讲稿共28页两式相乘得，解：第8页，本讲稿共28页（方法二 待定系数法）那么，同次幂系数相等，第9页，本讲稿共28页解 由于函数有一奇点z=-1,而在|z|1内处处解析,所以可在|z|1内展开成z的幂级数.第10页，本讲稿共28页 对于多值函数，要先求出单值分支（主值），再计算相应的泰勒展开式。ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的,-1是它的奇点,所以可在|z|1展开为z的幂级数.-1OR=1xy解：第11页，本讲稿共28页逐项积分得第12页，本讲稿共28页而如果把函数中的x换成z,在复平面内来看函数1-

3、z2+z4-它有两个奇点i,而这两个奇点都在此函数展开式的收敛圆周上,所以这个级数的收敛半径只能等于1.因此,即使我们只关心z的实数值,但复平面上的奇点形成了限制.在实变函数中有些不易理解的问题,一到复变函数中就成为显然的事情,例如在实数范围内,展开式的成立必须受|x|1的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都是确定的且可导的.第13页，本讲稿共28页第14页，本讲稿共28页4.4 罗朗级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f(z),可以在该圆域内展开成z-z0的幂级数.如果 f(z)在z0处不解析,则在z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示.但是这种情况在实际

4、问题中却经常遇到.因此,在本节中将讨论在以 z0 为中心的圆环域内的解析函数的级数表示法.例：第15页，本讲稿共28页第16页，本讲稿共28页4.4.1 罗朗级数的概念定义4.6第17页，本讲稿共28页在收敛圆环域内也具有.例如,可以证明,上述级数在收敛域内其和函数是解析的,而且可以逐项求积和逐项求导.幂级数在收敛圆内的许多性质,级数现在反问,在圆环域内解析的函数是否一定能够展开成幂级数?第18页，本讲稿共28页注:(1)罗朗级数在形式上与泰勒级数类似,它的证明也是类似的.(2)一般地,即使正幂项的系数也不能利用高阶导数形式表示.第19页，本讲稿共28页此时,罗朗级数退化为泰勒级数。柯西基本定理高阶导数公式（4）唯一性第20页，本讲稿共28页解：因为第21页，本讲稿共28页解：讨论的圆环域以 i圆心，第22页，本讲稿共28页所以，（但不能得到相应的级数形式。）第23页，本讲稿共28页所以，第24页，本讲稿共28页0-2解：第25页，本讲稿共28页所以，第26页，本讲稿共28页所以，第27页，本讲稿共28页所以，第28页，本讲稿共28页