第四章环与域精选PPT.ppt

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1、第四章环与域第1页，此课件共45页哦环的定义与性质环的定义与性质第2页，此课件共45页哦2)是半群;1)是交换群;3)可分配对定义是代数系统,若则称是环.第3页，此课件共45页哦如何验证一个二元代数系统是环如何验证一个二元代数系统是环?n构成交换群n封闭性封闭性:x,yR,x+yRn可结合性可结合性:x,y,zR,(x+y)+z=x+(y+z)Rn单位元单位元:eR,xR,x+e=e+x=xn逆元逆元:xR,x-1R,x+x-1=x-1+x=en可交换可交换:x,yR,x+y=y+xRn构成半群n封闭性封闭性:x,yR,x.yRn可结合性可结合性:x,y,zR,(x.y).z=x.(y.z)R

2、n.对+可分配nx,y,zR,x.(y+z)=x.y+x.znx,y,zR,(y+z).x=y.x+z.x第4页，此课件共45页哦例例1、，都是环。是环。是模的整数环。其中表示模的加法和乘法，。.第5页，此课件共45页哦符号的约定n将环中关于加法的单位元记作加法的单位元记作0n将环中关于乘法的单位元记作乘法的单位元记作1n对任何环中的元素x,称x的加法逆元为负元加法逆元为负元,记作记作-xn对任何环中的元素x,若x存在乘法逆元,则将它称为乘法逆元乘法逆元,记作记作x-1n用x-y表示x+(-y)n用nx表示x+x+x (n个x相加)n用-xy表示xy的负元负元第6页，此课件共45页哦环的性质环

3、的性质第7页，此课件共45页哦环的性质的证明环的性质的证明定理定理1 设设是环，则是环，则 1)a R,a0=0a=0证明证明:a0=a(0+0)=a0+a0等式两面同时作用等式两面同时作用a0的加法逆元的加法逆元(a0)-1=-(a0)得得:0=a0同理可证同理可证0a=0第8页，此课件共45页哦环的性质的证明环的性质的证明定理定理1 设设是环，则是环，则 2)a,b R,(-a)b=a(-b)=-ab证明证明:(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0 ab+(-a)b=(a+(-a)b=0b=0 (-a)b是是ab的加法逆元的加法逆元,因此因此(-a)b=-ab a(-b)+ab=a(-

4、b+b)=a0=0 ab+a(-b)=a(b+(-b)=a0=0 a(-b)是是ab的加法逆元的加法逆元,因此因此a(-b)=-ab第9页，此课件共45页哦环的性质的证明环的性质的证明定理定理1 设设是环，则是环，则 3)a,b,c R,a(b-c)=ab-ac (b-c)a=ba-ca证明证明:a(b-c)=a(b+(-c)=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac(b-c)a=(b+(-c)a=ba+(-c)a=ba+(-ca)=ba-ca第10页，此课件共45页哦环的性质的证明环的性质的证明定理定理1 设设是环，则是环，则4)a1,a2,an,b1,b2,bm R,证明思路：只需证

5、明证明思路：只需证明(1)和和(2)由由(1)和和(2)得得第11页，此课件共45页哦用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 n=2时时,由于环中乘法对加法满足分配律由于环中乘法对加法满足分配律,等式成立等式成立当当 n=k时等式成立时等式成立当当 n=k+1时时第12页，此课件共45页哦用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 m=2时时,由于环中乘法对加法满足分配律由于环中乘法对加法满足分配律,等式成立等式成立当当 m=k时等式成立时等式成立当当 m=k+1时时第13页，此课件共45页哦环中计算的例子环中计算的例子在环中计算(a+b)3,(a-b)2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+

6、ab+ba+b2)(a+b)=a3+a2b+aba+ab2+ba2 +bab+b2a+b3 第14页，此课件共45页哦环中计算的例子环中计算的例子在环中计算(a+b)3,(a-b)2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ba+(-b)2 =a2-ab-ba+b2(-b)2=(-b)(-b)=-(b(-b)=-(-b2)=b2第15页，此课件共45页哦子环和环同态子环和环同态n定义 子环 真子环 n设R是环,S是R的非空子集,若S关于环R的加法和乘法也构成一个环,则称S为R的子环n若S为R的子环,且SR,则称S是R的真子环第16页，此课件共45页哦如何验证一个二元代数系统是环如何验证一

7、个二元代数系统是环?n构成交换群n封闭性封闭性:x,yR,x+yRn可结合性可结合性:x,y,zR,(x+y)+z=x+(y+z)Rn单位元单位元:eR,xR,x+e=e+x=xn逆元逆元:xR,x-1R,x+x-1=x-1+x=en可交换可交换:x,yR,x+y=y+xRn构成半群n封闭性封闭性:x,yR,x.yRn可结合性可结合性:x,y,zR,(x.y).z=x.(y.z)Rn.对+可分配nx,y,zR,x.(y+z)=x.y+x.znx,y,zR,(y+z).x=y.x+z.x第17页，此课件共45页哦子环的例子n整数环,有理数环是实数环的真子环n和是实数环的平凡子环第18页，此课件共

8、45页哦子环判定定理子环判定定理定理2 设R是环,S是R的非空子集若(1)a,bS,a-bS(2)a,bS,abS则S是R的子环第19页，此课件共45页哦子环判定定理的证明子环判定定理的证明证明:根据子群判定定理,由(1)知S关于环中的加法构成群 由(2)知S关于环中的乘法封闭,又因为SR,R关于环中的乘法可结合,因此S也关于环中的乘法可结合,因此S关于环中的乘法构成半群.第20页，此课件共45页哦子环判定的例子子环判定的例子n考虑整数环,对于任意给定的自然数n,nZ=nz|zZ是Z的非空子集,nZ是否是Z的子环?nk1,nk2 nZ,nk1-nk2=n(k1-k2)nZnk1,nk2 nZ,

9、nk1.nk2=n(k1nk2)nZ第21页，此课件共45页哦环同态环同态第22页，此课件共45页哦环同态映射的例子 设R1=是整数环,R2=是模n的整数环,:Z Zn (x)=x mod nx,yZ,(x+y)=(x+y)mod n =(x)mod n(y)mod n =(x)(y)(xy)=(xy)mod n =(x)mod n (y)mod n =(x)(y)第23页，此课件共45页哦整环与域第24页，此课件共45页哦一些特殊的环一些特殊的环n交换环n含幺环n无零因子环n整环第25页，此课件共45页哦1)是交换群;是代数系统,若则称是交换环.3)可分配对2)是半群且可交换;一些特殊的环一

10、些特殊的环第26页，此课件共45页哦2)是半群且有幺元;1)是交换群;3)可分配对是代数系统,若则称是含幺环.一些特殊的环一些特殊的环第27页，此课件共45页哦2)是半群且a,bR1)是交换群;3)可分配对是代数系统,若则称是无零因子环.一些特殊的环一些特殊的环a.b=0 a=0 或b=0第28页，此课件共45页哦2)是可交换独异点1)是交换群;3)可分配对是代数系统,若则称是整环.且无零因子;一些特殊的环一些特殊的环第29页，此课件共45页哦特殊环的例子n整数环Z,有理数环Q,实数环R,复数环C都是交换环,含幺环,无零因子环和整环n2Z=2z|zZ,则2Z关于普通的加法和乘法构成交换环和无零

11、因子环,但不是含幺环和整环,因为12Z第30页，此课件共45页哦特殊环的例子n设n是大于等于2的正整数,则n阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成环n它是含幺环,因为包含乘法的单位元(单位矩阵)n它不是交换环,因为矩阵乘法不可交换n它不是无零因子环,n=2n它不是整环第31页，此课件共45页哦特殊环的例子nZ6关于模6加法和乘法构成环n它是交换环.n它是含幺环.n它不是无零因子环和整环,因为23=0,但是2和3都不是0,2和3都是零因子.第32页，此课件共45页哦特殊环的例子nZn关于模n加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,则Zn是整环当且仅当n是素数nZn是整环n是素数n用反证法:

12、假设n不是素数,则存在两个因子s,tn,s.t=n,这样就有st=0,则s,t是Zn中的零因子,Zn不是无零因子环,Zn不是整环,这与Zn是整环矛盾.第33页，此课件共45页哦特殊环的例子nZn关于模n加法和乘法构成环,它是交换环,含幺环,则Zn是整环当且仅当n是素数nZn是整环n是素数n用反证法:假设Zn是不整环,则Zn不是无零因子环,则存在两个零因子s,tn,st=0,s.t=k.n,n|s.t,因为n是素数,因此有n|s或者n|t,这与s,tn矛盾.第34页，此课件共45页哦判断环是无零因子环的条件n定理3 设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律,即a,b,cR,a0有ab

13、=acb=c;ba=cab=c;证明:a,b,cR,a0有ab=acab-ac=0 a(b-c)=0;R是无零因子环b-c=0 b=c 同理可证ba=cab=c;第35页，此课件共45页哦判断环是无零因子环的条件n定理3 设R是环,R是无零因子环当且仅当R中的乘法适合消去律,即a,b,cR,a0有ab=acb=c;ba=cab=c;证明:只需证明a,bR,a0,当ab=0时,b=0.以及当ba=0时,b=0.ab=0=a.0,由消去律知b=0ba=0=0.a,由消去律知b=0第36页，此课件共45页哦环的直积环的直积设R1,R2是环,R1R2令+=.=R1R2关于+和.运算构成一个环,称为环R

14、1和R2的直积.第37页，此课件共45页哦n若R1和R2是交换环和含幺环,则R1 R2也是交换环和含幺环n若R1和R2是无零因子环,则R1 R2不一定是无零因子环nZ3和Z2是无零因子环,Z3Z2就不是无零因子环n.=,存在零因子和n因此,整环的直积不一定是整环.第38页，此课件共45页哦域的定义域的定义n设R是整环,且R中至少含有两个元素,若aR*=R-0,都有元素a关于乘法的逆元素,则称R是域.第39页，此课件共45页哦域的例子域的例子n有理数集合Q,实数集合R,复数集合C关于普通的加法和乘法都构成域,分别称为有理数域,实数域和复数域.n整数环Z只能构成整环,而不是域,因为5属于整数集合,

15、但是5关于乘法的逆元素1/5不属于Z.第40页，此课件共45页哦域的例子域的例子n设n是素数,证明Zn是域n证明思路:欲证Zn是域需证明3点n(1)Zn是整环 n(2)Zn中至少含有2个元素n(3)Zn-0中的每个元素都有模n乘法逆元,且逆元仍在Zn第41页，此课件共45页哦域的例子域的例子n设n是素数,证明Zn是域n证明:(1)Zn是整环 因为n是素数,因此Zn是整环.前面已证.第42页，此课件共45页哦域的例子域的例子n设n是素数,证明Zn是域n证明:(2)Zn中至少含有2个元素 因为,n是素数,n2,所以|Zn|2第43页，此课件共45页哦域的例子域的例子n设n是素数,证明Zn是域n证明:(3)Zn-0中的每个元素都有模n乘法逆元,且逆元仍在Zn中.因为 1是关于模n乘法的单位元,只需证明iZn,存在jZn,使得ij=1.因为1Zn 只需证明iZn=Zn 第44页，此课件共45页哦证明iZn=ZnjZn,ij Zn,iZnZniZn=i0,i1,i2,i(n-1)ix,iyiZn,xyixiy 因为如果ix=iy,由于Zn是整环,所以Zn是无零因子环,由定理3满足消去律,因此ix=iy x=y|iZn|=|Zn|,因此 iZn=Zn第45页，此课件共45页哦