第四节函数项级数与幂级数课件.ppt

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1、第四节函数项级数与幂级数第四节函数项级数与幂级数第1页，此课件共27页哦统计学2第2页，此课件共27页哦第七章第七章 无穷级数无穷级数 第3页，此课件共27页哦v7.1 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质v7.2 正项级数正项级数v7.3 任意项级数任意项级数v7.4 函数项级数与幂级数函数项级数与幂级数v7.5 函数展开成幂级数函数展开成幂级数v7.6 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用v7.7 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的 基本性质基本性质v7.8 傅里叶级数傅里叶级数v7.9 正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数v7

2、.10 以以2l为周期的周期函数的傅里叶级数为周期的周期函数的傅里叶级数目录目录 4第4页，此课件共27页哦学习的基本要求和预期目标学习的基本要求和预期目标v 1）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌）理解无穷级数收敛、发散的概念及，理解无穷级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。握级数的基本性质及收敛的必要条件。v 2）熟悉几何级数与级数的收敛性。）熟悉几何级数与级数的收敛性。v 3）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，）掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法，回用根式审敛法。回用根式审敛法。v 4）掌握交错级数的莱布尼兹定理。）掌握

3、交错级数的莱布尼兹定理。v 5）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收）了解级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛和收敛的关系。敛的关系。v 6）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。）了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。v 7）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛）理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。区间及收敛域的求法。5第5页，此课件共27页哦学习的基本要求和预期目标学习的基本要求和预期目标v 8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和

4、函数，并会由此求出某些数项级数的和。数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。v 9）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。）了解函数展开为泰勒级数的必要条件和充分条件。v 10）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂）掌握的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开为幂级数。级数。v 11)了解幂级数在近似计算中的简单应用。了解幂级数在近似计算中的简单应用。v 12）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏）理解付氏级数的概念，狄利克雷定理，函数展开为付氏级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级数，会级数的充分条件，会将定义在上的函数展开为付氏级

5、数，会将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数将定义在上的函数展开为正弦和余弦级数，会写出付氏级数和函数的表达式。和函数的表达式。6第6页，此课件共27页哦7.4.1 函数项级数的概念函数项级数的概念7.4.4 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数7.4.2 函数项级数的一致收敛及其判别法函数项级数的一致收敛及其判别法7.4.5 幂级数的运算与和幂级数的运算与和 7.4.3 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质7第7页，此课件共27页哦7.4.1 函数项级数的概念函数项级数的概念7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定义定义4.1 如果

6、如果ui(x)(i=1，2，n，)是定义在是定义在I上函数列上函数列，则则u1 1(x)+u2(x)u3(x)un(x)称称为为定义在定义在I上的上的函数函数项项无穷无穷级级数数，简称，简称函数函数项级项级数数。例如，几何级数例如，几何级数 就是定义在区间就是定义在区间(-1,1)上的函数项级数。上的函数项级数。例如，几何级数例如，几何级数 就是定义在区间就是定义在区间(-,+)上的函数项级数。上的函数项级数。8第8页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定义定义4.2 设设x0 I I，且，且 收敛，则称收敛，则称函数项级数在该点收敛函数项级数在该点收敛，称，称x0为

7、函数项级数的为函数项级数的收敛点收敛点，而所有收敛点的集合称为，而所有收敛点的集合称为收敛收敛域域。如果。如果 发散，发散，称称函数项级数在该点发散，称函数项级数在该点发散，称x0为函为函数项级数的数项级数的发散点发散点，而所有发散点的集合称为，而所有发散点的集合称为发散域发散域。在收敛域上在收敛域上,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数s(x),称称s(x)为函数项为函数项级数的和函数，其定义域就是级数的收敛域，并写成级数的和函数，其定义域就是级数的收敛域，并写成9第9页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定义定义4.3 函数项级数的前函数项级数的前n项和

8、记为项和记为sn(x),余项记为余项记为rn(x)，则在，则在收敛域内收敛域内例例4.1 求级数的求级数的 收敛域收敛域收敛域收敛域(-(-,-2,-2)0,+)0,+)10第10页，此课件共27页哦7.4.2 函数项级数的一致收敛及其判别法函数项级数的一致收敛及其判别法7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定义定义4.4 设设sn(x)是定义在是定义在I上函数列上函数列，如果对于任意的正数如果对于任意的正数0，总存在正整数，总存在正整数N(仅与仅与有关有关)，使对于一切，使对于一切nN，以及，以及I上的一切上的一切x，恒有，恒有|sn(x)-s(x)|，则，则称称函数列函数列si(x)

9、在在I上的上的一致收敛于一致收敛于函数函数s(x)。注注:函数在函数在-1,1以及区间以及区间(-,+)上并不一致收敛。上并不一致收敛。例例4.2 证明函证明函数数 在区间在区间(-a,a)(0a1)上一致收敛上一致收敛于于 11第11页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数例例4.3 证明证明级数级数 在区间在区间(-a,a)上上一致收敛一致收敛(0a1)，在，在(-1,1)内不一致收敛。内不一致收敛。定义定义4.5 设设sn(x)是级数是级数 的部分和序列的部分和序列，如果序如果序列列sn(x)在在I上一致收敛于函数上一致收敛于函数s(x)，则称该级数在，则称该级数

10、在I上一致上一致收敛于函数收敛于函数s(x)。12第12页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定理定理4.1(魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯Weierstrass定理定理)魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 德国数学家德国数学家.18151897如果如果函数项函数项级级数数 在在区间区间I上满足条件上满足条件：则函数项则函数项级级数数 在在I上一致收敛。上一致收敛。收敛收敛例例4.4 证明级数证明级数 在区间在区间(-,+)上一致收敛。上一致收敛。13第13页，此课件共27页哦7.4.3 一致收敛级数的性质一致收敛级数的性质7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定理定理4.2

11、如果如果级级数数 的每一项的每一项un(x)在在I上连续，且该级上连续，且该级数一致收敛于和函数数一致收敛于和函数s(x)，则，则函数函数s(x)在在I上也上也连续连续定理定理4.3 如果如果级级数数 在区在区间间I上上收敛于和函数收敛于和函数s(x)，每一，每一项具有连续的可导项具有连续的可导u(x)，且，且 在区在区间间I上一致上一致收敛收敛,则则 级数级数 在区在区间间I上的一致上的一致收敛和函数收敛和函数s(x)可微，并且可可微，并且可逐项求导：逐项求导：14第14页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数其中，其中，ax0 xb，并且上式右端级数，并且上式右端级

12、数在在a,b上上一致收敛一致收敛定理定理4.4 如果如果级级数数 的每一项的每一项un(x)在在a,b上连续，且上连续，且该级数一致收敛于和函数该级数一致收敛于和函数s(x)，则，则函数函数s(x)在在a,b上可积上可积,且且可以可以逐项求逐项求积积15第15页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数7.4.4 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性定义定义4.6 形如形如 的函数项级数称为的函数项级数称为(x-x0)的幂的幂级级数数；若取若取x=0，则，则级数级数 收敛。说明至少有一个收敛点收敛。说明至少有一个收敛点若令若令 t=x-x0，则级数则级数 形如形如 的函数项级数

13、称为的函数项级数称为x的幂的幂级级数数。16第16页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定理定理4.5(阿贝尔阿贝尔Abel定理定理)如果如果幂幂级级数数 在在点点x0处处收收敛敛,则对则对满满足足不等式不等式|x|x0|的的x处处幂幂级级数数发散。发散。阿贝尔阿贝尔 挪威数学家挪威数学家.1802182917第17页，此课件共27页哦几何说明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域说明：说明：存在点存在点x*，使得当，使得当|x|x*|时级数发散。时级数发散。7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定义定义4.7 记记 R=|x*|称为幂称为幂级

14、级数数的的收敛半径收敛半径，(-R,R)称为称为收敛区收敛区间间。可能的收敛域为：可能的收敛域为：-R,R、(-R,R、-R,R)、(-R,R)。18第18页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数注注;若若0 0)，则收敛和函，则收敛和函数数s(x)在区在区间间(-R,R)内内连续连续 如果如果幂级幂级数在数在x=R(或或x=-R)也收也收敛敛，则则和函数和函数s(x)在在(-R,R(或或-R,R)连续连续定理定理4.9 设幂设幂级级数数 的收敛半径是的收敛半径是R，则收敛和，则收敛和s(x)在区在区间间(-R,R)内内可导可导 且可逐项求导：且可逐项求导：注：注：逐项

15、求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径，但在端点的逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径，但在端点的敛散性可能会发生改变敛散性可能会发生改变22第22页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数定理定理4.10 设幂设幂级级数数 的收敛半径是的收敛半径是R，则收敛和，则收敛和s(x)在在区区间间(-R,R)内内可积可积 且可逐项求积：且可逐项求积：注：注：逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径逐项求导所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径，但在，但在端点的敛散性可能会发生改变端点的敛散性可能会发生改变23第23页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数举例举例例例4.6 求下列级数的和函数求下列级数的和函数.并求并求24第24页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数25第25页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数26第26页，此课件共27页哦7.4 函数项级数与函数项级数与幂级数幂级数27第27页，此课件共27页哦