矿大高数.多元函数的基本概念PPT讲稿.ppt

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1、矿大高数.多元函数的基本概念1第1页，共35页，编辑于2022年，星期日（2）区域）区域例如，例如，即为开集即为开集2第2页，共35页，编辑于2022年，星期日3第3页，共35页，编辑于2022年，星期日连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如，例如，例如，例如，4第4页，共35页，编辑于2022年，星期日有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，5第5页，共35页，编辑于2022年，星期日（3）聚点）聚点1 内点一定是聚点；内点一定是聚点；说明：说明：2 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点6第6页，共35页，编

2、辑于2022年，星期日3 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合7第7页，共35页，编辑于2022年，星期日（4）n维空间维空间1 n维空间的记号为维空间的记号为说明：说明：2 n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式 8第8页，共35页，编辑于2022年，星期日3 n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等

3、概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为9第9页，共35页，编辑于2022年，星期日（5）二元函数的定义）二元函数的定义10第10页，共35页，编辑于2022年，星期日类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数11第11页，共35页，编辑于2022年，星期日12第12页，共35页，编辑于2022年，星期日例例1 1 求求 的定义域的定义域解解所求定义域为所求定义域为13第13页，共35页，编辑于2022年，星期日二元函数的图形通常是一张曲面二元函数的图形通常是一张曲面.14第14页，共35页，编辑于2022年，星期日例如例如,图形如右图图

4、形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:15第15页，共35页，编辑于2022年，星期日16第16页，共35页，编辑于2022年，星期日二、多元函数的极限17第17页，共35页，编辑于2022年，星期日 设函数设函数的定义域为的定义域为是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，总存在正数 ，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式的一切点的一切点 P(x,y)，都有，都有成立，则称成立，则称A为函数为函数当当，时的极限，记为时的极限，记为 定义定义1 118第18页，共35页，编辑于2022年，星期日说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任

5、意的；的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限19第19页，共35页，编辑于2022年，星期日例例2 2 求证求证 证证当当 时，时，原结论成立原结论成立20第20页，共35页，编辑于2022年，星期日21第21页，共35页，编辑于2022年，星期日例例5 5 求极限求极限 解解其中其中22第22页，共35页，编辑于2022年，星期日23第23页，共35页，编辑于2022年，星期日24第24页，共35页，编辑于2022年，星期日例例7 7 证明证明 不存在不存在 证证取取其值随其值随k的不同而不同，的不同而不同，故极限不存在故极限不存在25第25页，共35页

6、，编辑于2022年，星期日26第26页，共35页，编辑于2022年，星期日三、多元函数的连续性27第27页，共35页，编辑于2022年，星期日定义定义3 328第28页，共35页，编辑于2022年，星期日29第29页，共35页，编辑于2022年，星期日30第30页，共35页，编辑于2022年，星期日例例9 9 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解取取其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续32第32页，共35页，编辑于2022年，星期日闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多

7、元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至上至少取得它的最大值和最小值各一次少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果在上的多元连续函数，如果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取得介于这上取得介于这两值之间的任何值至少一次两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理33第33页，共35页，编辑于2022年，星期日 多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域34第34页，共35页，编辑于2022年，星期日35第35页，共35页，编辑于2022年，星期日