线性代数与解析几何曲面及其方程课件.ppt

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1、关于线性代数与解析几何曲面及其方程现在学习的是第1页，共81页例例解解1.球面及其方程球面及其方程P(x0,y0,z0)rP(x,y,z)现在学习的是第2页，共81页观察柱面的形成过观察柱面的形成过程程:定义定义 在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一族直线在空间中，由平行于定直线并沿定曲线移动的一族直线所形成的曲面称为柱面。所形成的曲面称为柱面。这条定曲线叫柱面这条定曲线叫柱面的的准线准线，动直线叫，动直线叫柱面的柱面的母线母线.母线母线准准线线2、柱面及其方程、柱面及其方程现在学习的是第3页，共81页且有且有从从(2)(3)中消去中消去x1 1,y1 1,z1 1得得F(x,y,z)=

2、0这就是以这就是以(1)为准线，母线的方向数为为准线，母线的方向数为X,Y,Z的柱面的方程的柱面的方程.如果如果M1 1(x1 1,y1 1,z1 1)为准线上一点，则过为准线上一点，则过点点 M1的母线方程为的母线方程为设柱面的准线为设柱面的准线为准准线线母母线线MM1母线的方向数为母线的方向数为X,Y,Z.试建立这柱面的方程试建立这柱面的方程.现在学习的是第4页，共81页例例1 1 柱面的准线方程为柱面的准线方程为而母线的方向数为而母线的方向数为-1-1，0 0，1 1，求这柱面的方程，求这柱面的方程.解解：设设M1(x1，y1，z1)是准线上的一点，那么过是准线上的一点，那么过M1(x1

3、,y1,z1)的母的母线为线为且且现在学习的是第5页，共81页所以所以令令(4)=t,得得将将(7)代代(5)、(6)得得由由(8)、(9)得得现在学习的是第6页，共81页 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程.1 方程方程F(x,y)=0 表示表示:2 方程方程F(x,z)=0 表示表示:3 方程方程F(y,z)=0 表示表示:母线平行于母线平行于 z 轴的柱面轴的柱面,准线为准线为xoy面上的曲线面上的曲线C:F(x,y)=0.母线平行于母线平行于 y 轴的柱面轴的柱面,准线为准线为xoz面上的曲线面上的曲线C:F(x,z)=0.母线平行于母线平行于 x 轴的柱面轴的柱面,

4、准线为准线为yoz面上的曲线面上的曲线C:F(y,z)=0.现在学习的是第7页，共81页abzxyo椭圆椭圆柱面柱面柱面柱面现在学习的是第8页，共81页yxz=0zo 双曲双曲柱面柱面柱面柱面现在学习的是第9页，共81页zxyo抛物抛物柱面柱面柱面柱面现在学习的是第10页，共81页3.3.旋转面及其方程旋转面及其方程旋转面及其方程旋转面及其方程lC C现在学习的是第11页，共81页.Sl 定义定义 在空间，一条曲线在空间，一条曲线 C 绕着定直线绕着定直线 l 旋转一周所生成的旋转一周所生成的 曲面曲面 S 称为旋转面称为旋转面（或回转曲面）（或回转曲面）C 称为旋转面的母线，称为旋转面的母线

5、，l 称为旋转面的旋转轴称为旋转面的旋转轴.3.3.旋转面及其方程旋转面及其方程旋转面及其方程旋转面及其方程C C现在学习的是第12页，共81页生活中见过旋转生活中见过旋转曲面吗？曲面吗？现在学习的是第13页，共81页现在学习的是第14页，共81页纬圆纬圆 以旋转轴以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线经线.说明：说明：纬圆也可看作垂直于旋转轴纬圆也可看作垂直于旋转轴 l 的平面与旋转面的交线的平面与旋转面的交线S旋转曲面的有关概念旋转曲面的有关概念旋转曲面的有关概念旋转曲面的有关概念 母线上任意一点绕旋转轴母线上任意一点绕旋转轴 l

6、 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面 的的纬圆或纬线纬圆或纬线。任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。经线和母线经线和母线一样吗一样吗？lM经线经线满足什么条件母线满足什么条件母线就是经线？就是经线？旋转曲面也可看作经线旋转曲面也可看作经线绕轴旋转生成绕轴旋转生成C C现在学习的是第15页，共81页旋转曲面的方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程旋转曲面的方程（直角坐标系直角坐标系）设旋转曲面的母线设旋转曲面的母线1 1 旋转曲面的一般方程旋转曲面的一般方程旋转轴为直线旋转轴为直线分析：分析：lM1S旋转曲面又可看作以轴旋转

7、曲面又可看作以轴 l 为连心线的为连心线的一族纬圆生成的曲面一族纬圆生成的曲面当当M1遍历整个母线遍历整个母线 时，得出旋转曲面的时，得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.现在学习的是第16页，共81页注：注：写出这母线上任意一点写出这母线上任意一点 的纬圆方程，的纬圆方程，写出参数写出参数 的约束条件，的约束条件，消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。lM1S现在学习的是第17页，共81页例例 求直线求直线 绕直线绕直线 旋转所得的旋转旋转所得的旋转 曲面的方程。曲面的方程。母线不是经

8、线母线不是经线注：为方便，今后将取旋转注：为方便，今后将取旋转曲面的某一条经线作为它的曲面的某一条经线作为它的母线母线.单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面现在学习的是第18页，共81页解解（两直线为异面直线），设两直线为异面直线），设M1 1(x1 1,y1 1,z1 1)是母线是母线L1 1上的任意点，因为旋上的任意点，因为旋转轴转轴L2通过原点，所以过通过原点，所以过M1 1的纬圆方程是：的纬圆方程是：又由于又由于M1在母线上，所以又有：在母线上，所以又有：即即x1 1=2=2y1 1,z1 1=1,=1,消去消去x1 1,y1 1,z1 1得所求旋转曲面的方程：得所求旋转曲面的方程：2(x2+

9、y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.现在学习的是第19页，共81页母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：已知已知yoz面上一条曲线面上一条曲线C ,方程为方程为 F(y,z)=0,x=0,曲线曲线C 绕绕 z 轴轴 旋转一周就得一个旋转曲面旋转一周就得一个旋转曲面.设设M1(0,y1,z1)是是C 上任意一点上任意一点,则有则有F(y1,z1)=0当当 C 绕绕 z 轴旋转而轴旋转而M1随之转到随之转到M(x,y,z)时时,有有且且 F(y1,z1)=0.现在学习的是第20页，共81页得得旋转曲面的方程旋转曲面的方程:思考题

10、思考题：xoy面上的一条曲线面上的一条曲线 C，F(x,y)=0,z=0分别绕分别绕x轴及轴及y轴旋转得旋转曲面的方程各为什么？轴旋转得旋转曲面的方程各为什么？现在学习的是第21页，共81页规律：规律：当坐标平面上的曲线当坐标平面上的曲线C 绕此坐标平面的一个坐标旋转时，绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线要求该旋转曲面的方程，只要将曲线C在坐标面里的方程保留在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。替方程中的另一坐标。现在学习的是第22页，共81页解解:应该先建

11、立母线的方程应该先建立母线的方程圆锥面方程圆锥面方程例例：直线：直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫两直线的交点叫圆锥面的顶点圆锥面的顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 叫圆锥面的叫圆锥面的半顶角半顶角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，轴，半顶角为半顶角为 的圆锥面方程的圆锥面方程现在学习的是第23页，共81页旋旋转转椭椭球球面面zxyzxy例例2 2：将椭圆：将椭圆 分别绕长轴（即分别绕长轴（即x轴）与短轴（即轴）与短轴（即y轴）旋转，求轴）旋转，求所得旋转曲面的方程所得旋转曲

12、面的方程。现在学习的是第24页，共81页 xyoz xoz叫做旋叫做旋转单叶双曲面转单叶双曲面y例例3:3:(1)(1)将双曲线将双曲线 现在学习的是第25页，共81页axzoz.xy现在学习的是第26页，共81页（2）将曲线）将曲线 叫做旋转双叶双曲面叫做旋转双叶双曲面yzoxyzox绕实轴（即绕实轴（即y轴）旋转一周生成的旋转曲面的方程为轴）旋转一周生成的旋转曲面的方程为现在学习的是第27页，共81页旋转抛物面旋转抛物面xyzox例例4：将抛物线：将抛物线绕它的对称轴旋转的旋绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为转曲面方程为yzo现在学习的是第28页，共81页例例5 5、将圆、将圆绕绕Z 轴旋转

13、，求所得旋转曲面的方程。轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：所求旋转曲面的方程为解：所求旋转曲面的方程为：即即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)该曲面称为该曲面称为圆环面圆环面.现在学习的是第29页，共81页zyoab绕绕 z轴轴 旋转所成曲面旋转所成曲面将圆将圆现在学习的是第30页，共81页xzyo.现在学习的是第31页，共81页x.生活中见过这个曲面吗？生活中见过这个曲面吗？zyo.现在学习的是第32页，共81页救生圈救生圈.现在学习的是第33页，共81页 准线母准线母线线顶点顶点 x0z y锥面及其方程锥面及其方程定义定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族在空

14、间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。母线母线A锥面的准线不锥面的准线不唯一，唯一，和一切母线和一切母线都相交的每都相交的每一条曲线都一条曲线都可以作为它可以作为它的的准线准线.现在学习的是第34页，共81页设锥面的准线为设锥面的准线为设点设点M1 1(x1 1,y1 1,z1 1)为锥面准线上任一点，则锥面过为锥面准线上任一点，则锥面过点点M1 1的母线为的母线为：顶点为顶点为A(x0,y0,z0)，试建立锥面

15、的方程试建立锥面的方程.且有且有F1(x1,y1,z 1)=0,F2(x1,y1,z1)=0消去参数消去参数x1 1,y1 1,z1 1得得三元方程三元方程F(x,y,z)=0准线准线母线母线母线母线x0z yMM1A现在学习的是第35页，共81页例例1 1、求顶点在原点，准线为、求顶点在原点，准线为的锥面的方程。的锥面的方程。答答：（二次锥面）（二次锥面）同理同理分别表示锥面。分别表示锥面。现在学习的是第36页，共81页解解：设设M(x,y,z)为任一母线上的点，为任一母线上的点，那么过那么过M点的母线的方向向量为点的母线的方向向量为轴线的方向向量为轴线的方向向量为根据题意有根据题意有M得得

16、例例2：已知圆锥面的顶点：已知圆锥面的顶点A(1,2,3),轴垂直于平面轴垂直于平面母线与轴组成母线与轴组成300角角,试求这试求这圆锥面的方程圆锥面的方程.A现在学习的是第37页，共81页空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线及其方程设空间曲线设空间曲线L的一般方程的一般方程消去一个变量消去一个变量后得方程后得方程任取其中的两个联立，如任取其中的两个联立，如它也它也表示同一条曲线表示同一条曲线L.现在学习的是第38页，共81页以以曲曲线线L为为准准线线,母母线线平平行行于于z 轴轴(即即垂垂直直xOy面面)的的柱柱面面叫叫做做曲曲线线L关关于于xOy面面的的投投影影柱柱面面

17、,投投影影柱柱面面与与xOy面面的的交交线线叫叫做做空空间曲线在间曲线在xOy面上的面上的投影曲线投影曲线,或简称或简称投影投影.所以方程组所以方程组所表示的曲线叫做空间曲线所表示的曲线叫做空间曲线L在在xOy面上的投影面上的投影.注注:同理可得曲线在同理可得曲线在yOz面或面或xOz面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程.现在学习的是第39页，共81页Lyz x0例如从例如从分别消去分别消去y及及z，得，得现在学习的是第40页，共81页由空间曲线由空间曲线 C 的方程的方程 消去消去 z 后得到后得到(母线平行母线平行 z 轴的柱面轴的柱面).).例例现在学习的是第41页，共81页解解在在 x

18、Oy 面上的投影为面上的投影为例例 求曲线求曲线在在 xOy 面上的投影面上的投影.现在学习的是第42页，共81页例例 设一个立体由上半球面设一个立体由上半球面 和锥面和锥面所围成所围成,求它在求它在xoy面上的投影面上的投影.解解:半球面与锥面的交线为半球面与锥面的交线为由方程消去由方程消去 z,得得 x2+y2=1yxzOx2+y2 1这是一个母线平行于这是一个母线平行于z 轴的圆柱面轴的圆柱面.于是交线于是交线C 在在xoy 面上的投影曲线为面上的投影曲线为这是这是xoy面上的一个圆面上的一个圆.所以所以,所求立体在所求立体在xoy面上面上的投影为的投影为:x2+y2 1现在学习的是第4

19、3页，共81页空间曲线空间曲线 C 的参数方程的参数方程例例曲线曲线 C 的参数方程为的参数方程为空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程现在学习的是第44页，共81页 例例 圆柱螺线圆柱螺线 现在学习的是第45页，共81页6.4 二次曲面二次曲面 1 1、椭球面、椭球面 2 2、二次曲面、二次曲面 3 3、单叶双曲面、单叶双曲面 4 4、双叶双曲面、双叶双曲面 5 5、椭圆抛物面、椭圆抛物面 6 6、双曲抛物面、双曲抛物面 7 7、二次方程的化简、二次方程的化简 现在学习的是第46页，共81页二次曲面的定义二次曲面的定义：三元二次方程三元二次方程讨论二次曲面性状的平面讨论二次曲面性状的平面截痕法

20、截痕法：1 1、对称性，、对称性，2 2、曲面的范围，、曲面的范围，3 3、主截线，即用坐标面截曲面的、主截线，即用坐标面截曲面的截线，截线，4 4、平行截线，即和平行于坐标面的平面与曲面相截的截线，、平行截线，即和平行于坐标面的平面与曲面相截的截线，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面所表示的曲面称之为二次曲面ax2+by2+cz2+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j=0现在学习的是第47页，共81页椭球面

21、椭球面定义定义 在直角坐标系下，由方程在直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面，其中所表示的曲面叫做椭球面，其中a,b,c都为任意的正常数。方程叫做都为任意的正常数。方程叫做椭球面的标准方程椭球面的标准方程.1 1、对称性对称性 曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。顶点顶点（a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)xzyO现在学习的是第48页，共81页 3、主截线、主截线 用平面用平面z=0,y=0,x=0分别分别去截割椭球面去截割椭球面,得椭圆，它们的方程分别为得椭圆，它们的方程分别为 由方程可知由方程可知 x2a2,y2b2,z2c2,|x|a

22、,|y|b,|z|c,也就是曲面在由六个平面也就是曲面在由六个平面x=a,y=b,z=c组成的长方体内。组成的长方体内。2 2、范围、范围 Oxyz现在学习的是第49页，共81页zoxyO 用平面用平面z=h去截割去截割(要求要求|h|c),得椭圆得椭圆当当|h|c 时时,|h|越大越大,椭圆越小椭圆越小;4 4、平行截线、平行截线 顶点顶点在椭圆在椭圆(2)上，上，现在学习的是第50页，共81页zoxyO 用平面用平面z=h去截割去截割(要求要求|h|c),得椭圆得椭圆当当|h|c 时时,|h|越大越大,椭圆越小椭圆越小;当当|h|=c 时时,椭圆退缩成点椭圆退缩成点.4 4、平行截线、平行

23、截线 顶点顶点在椭圆（在椭圆（3）上，）上，现在学习的是第51页，共81页特别特别:当当a=b=c时时,方程方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原点表示球心在原点o,半径为半径为a的球面的球面.当当a=bc时，或时，或a=cb,或或ab=c时为旋转椭球面时为旋转椭球面.椭球面的参数方程椭球面的参数方程球面的参数方程球面的参数方程现在学习的是第52页，共81页例：已知椭球面例：已知椭球面试求过试求过x轴轴并与曲面的交线是圆的平面。并与曲面的交线是圆的平面。解：圆的方程为解：圆的方程为圆的方程为圆的方程为（1）与（）与（2）等价，得）等价，得所求平面的方程为所求平面的方程为现在学习的是第53页，

24、共81页所表示的曲面叫做单叶双曲面，其中所表示的曲面叫做单叶双曲面，其中a,b,c都为正常数，叫做都为正常数，叫做单叶双曲面的标准方程。单叶双曲面的标准方程。单叶双曲面单叶双曲面定义定义 在直角坐标系下，由方程在直角坐标系下，由方程 （1 1）对称性）对称性 曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称。顶点（顶点（a,0,0）与与（0,b,0)oxyz现在学习的是第54页，共81页 xyoz(2)主截线主截线用三个坐标平面用三个坐标平面z=0，y=0，x=0分别截曲面的交线方程分别为分别截曲面的交线方程分别为现在学习的是第55页，共81页 用一组平行平面用一组平

25、行平面 （h为任意实数）为任意实数）与曲面相交与曲面相交，其交，其交线为椭圆线为椭圆.(3)(3)平行截线平行截线顶点顶点与与 xyoz在（在（2）上，）上，在（在（3）上，）上，现在学习的是第56页，共81页实轴与实轴与x 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 z 轴平行，轴平行，顶点顶点在腰椭圆（在腰椭圆（1）上。）上。实轴与实轴与z 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 x 轴平行，轴平行，顶点在顶点在双曲线（双曲线（3）上）上.xyoz用平行于用平行于xoz面的平面面的平面y=h截割单叶双曲面截割单叶双曲面,其截线方程为：其截线方程为：当当|h|b时表示双曲线时表示双曲线现在学习的是第57页，共81页截痕

26、为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.同理用平行于同理用平行于yoz面的平面面的平面x=h截曲面其截线与（截曲面其截线与（3）中的）中的b类似。类似。xyoz截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 z的直线的直线现在学习的是第58页，共81页单叶双曲面图形在工业生产中的应用是什么单叶双曲面图形在工业生产中的应用是什么？当当a=b时，方程时，方程方程方程与与各表示什么图形？各表示什么图形？表示旋转单叶双曲面。表示旋转单叶双曲面。现在学习的是第59页，共81页所表示的曲面叫做所表示的曲面叫做双叶双曲面双叶双曲面，双叶双曲面双叶双曲面定义：在直角坐标系下，由方程定义：在直角坐标系下，由方程其

27、中其中a,b,c都为正常数，叫做双叶双曲面的标准方程都为正常数，叫做双叶双曲面的标准方程.(1)(1)对称性对称性 曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称曲面关于三坐标面，三坐标轴，原点对称.顶点顶点（0,0,c）(2)主截线主截线用两个坐标平面用两个坐标平面y=0=0，x=0=0分别截曲面分别截曲面的交线方程分别为的交线方程分别为xyzo现在学习的是第60页，共81页与与都表示双曲线都表示双曲线.xyo(3)平行截线平行截线a a、用平面、用平面z=h(|(|h|c)来截曲面，其截线方程为来截曲面，其截线方程为表示椭圆，顶点表示椭圆，顶点在（在（6）上，）上，在（在（7）上）上.现在学习的是第

28、61页，共81页 xyob b、用平行于、用平行于xoz面的平面面的平面y=h(h00）时，其截线为双曲线）时，其截线为双曲线,方程为方程为:方程方程与与都表示双叶双曲面。都表示双叶双曲面。实轴与实轴与z轴平行，虚轴与轴平行，虚轴与x轴平行，顶点轴平行，顶点在（在（6 6）上）上椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面它们的方程可以统一吗？椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面它们的方程可以统一吗？z现在学习的是第62页，共81页例：用一组平行平面例：用一组平行平面z=h(h为任意实数），截割单叶双曲面为任意实数），截割单叶双曲面得一族椭圆，得一族椭圆，求这些椭圆焦点的轨迹方程求这些椭圆焦点的轨迹方程.解：解：

29、这一族椭圆的方程为这一族椭圆的方程为即即现在学习的是第63页，共81页因因ab,从而椭圆焦点轨迹方程为从而椭圆焦点轨迹方程为消去参数得消去参数得现在学习的是第64页，共81页 单叶：单叶：双叶双叶：.yx zo 在平面上，双曲线有渐近线。相仿，在平面上，双曲线有渐近线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。单叶双曲面和双叶双曲面有渐近锥面。用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当|h h|无限增大时，无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面双曲面的截口椭圆与它的渐近锥面 的截的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。接近。渐进锥面：渐进锥面：双曲面

30、及其渐近双曲面及其渐近双曲面及其渐近双曲面及其渐近锥锥面面面面现在学习的是第65页，共81页表示的曲面叫做椭表示的曲面叫做椭圆抛物面，圆抛物面，其中其中a,b 都为任意正常数都为任意正常数,为为椭椭圆抛物面的标准方程圆抛物面的标准方程.原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.椭圆抛物面椭圆抛物面定义定义 在直角坐标系下，由方程在直角坐标系下，由方程(1)对称性对称性曲面关于曲面关于xoz,yoz坐标面，坐标面，z轴对称轴对称.（2）主截线主截线用坐标面用坐标面y=0及及x=0截曲面，其截线方程截曲面，其截线方程分别为分别为zxyo现在学习的是第66页，共81页xyzo（3）平行截线平

31、行截线a 、用平面、用平面z=h(h0)来截曲面，来截曲面，其截线总是椭圆其截线总是椭圆顶点顶点在（在（1）上，）上，在（在（2）上，）上，现在学习的是第67页，共81页b、用平行于、用平行于xoz面的面的平面平面 截割椭圆抛物面得交线为截割椭圆抛物面得交线为抛物线抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 z 轴轴 xyzo顶点顶点在主抛物线在主抛物线(2)上上.现在学习的是第68页，共81页xyzo（4 4）与（）与（1 1）全等）全等.c 、用平行与坐标、用平行与坐标yoz(x=0)的平面的平面x=t均可得抛物线均可得抛物线.现在学习的是第69页，共81页zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆

32、抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形开口与椭圆抛物面的图形开口与x或或y轴一致时方程是啥？轴一致时方程是啥？现在学习的是第70页，共81页特殊地：当特殊地：当a=b 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由xoz 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）绕它的轴旋转而成的）现在学习的是第71页，共81页所表示的曲面叫做双曲抛物面（马鞍面），其中所表示的曲面叫做双曲抛物面（马鞍面），其中a,b都为任意的正都为任意的正常数，为常数，为椭椭圆抛物面的标准方程。圆抛物面的标准方程。双曲抛物面双曲抛物面定义：在定义：在直角坐标系下，由方程直角坐标系下，由方程(1)对称性对称性曲面关于曲面

33、关于xoz,yoz坐标坐标面，面，z轴对称轴对称.用坐标平面用坐标平面z=0去截割曲面就得去截割曲面就得这是一对相交于原点的直线这是一对相交于原点的直线现在学习的是第72页，共81页（2）主截线主截线用平面用平面y=0，x=0来截割曲面来截割曲面,其截线其截线为为与与 都表示抛物线都表示抛物线.也叫主抛物线也叫主抛物线.xyzo现在学习的是第73页，共81页xyzo（3）平行截线平行截线用平面用平面z=h(h0截割曲面，其截线为截割曲面，其截线为表示双曲线表示双曲线，当当h0时双曲线时双曲线(8)的实轴与的实轴与x轴轴平行，虚轴与平行，虚轴与y轴平行轴平行,顶点顶点在主抛物线在主抛物线(6)上

34、上；现在学习的是第74页，共81页xyzo（3）、平行截线）、平行截线用平面用平面z=h(h0截割曲面，其截线为截割曲面，其截线为顶点顶点在主抛物线在主抛物线(7)上；上；当当h0时双曲线时双曲线(8)的实轴与的实轴与x轴轴平行，虚轴与平行，虚轴与y轴轴平行平行,现在学习的是第75页，共81页xyzo再用平行于再用平行于xoz面的一组平行平面面的一组平行平面y=t来截割双曲面来截割双曲面其截线方程为其截线方程为在另一主抛在另一主抛物线物线(7)上。上。顶点顶点现在学习的是第76页，共81页xyzo椭圆抛物面、双曲抛物面的方程可以统一吗？椭圆抛物面、双曲抛物面的方程可以统一吗？(9)总表示抛物线

35、且与主抛物线总表示抛物线且与主抛物线(6)全等，全等，现在学习的是第77页，共81页例例1 1 作出球面作出球面x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=8=8与旋转抛物面与旋转抛物面x x2 2+y+y2 2=2z=2z的交线的交线解解:球面与旋转抛物面的交线方程为球面与旋转抛物面的交线方程为(2)代入（代入（1）得）得z2+2z-8=0,所以所以z=-4或或z=2,由于由于z0，所以取，所以取z=2因此交线方程为因此交线方程为yzxo现在学习的是第78页，共81页aaxz y0学画草图学画草图学画草图学画草图.a现在学习的是第79页，共81页 直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义直纹面在建筑学上有意义含两个直母线系含两个直母线系含两个直母线系含两个直母线系 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的。有用这种结构的。.现在学习的是第80页，共81页感谢大家观看现在学习的是第81页，共81页