计算方法非线性方程精选PPT.ppt

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1、计算方法非线性方程1第1页，此课件共30页哦 方程的根方程的根 逐步搜索法逐步搜索法 区间二分法区间二分法2.1 2.1 初始近似值的搜索初始近似值的搜索2第2页，此课件共30页哦对于一元非线性方程对于一元非线性方程f(x)=0,若存在数若存在数x*,使得使得一、一、方程的根方程的根则称则称x*是方程的是方程的解解或或根根,也称也称x*是函数是函数f(x)的的零点零点或或根根.单根与重根单根与重根若函数若函数f(x)能分解为：能分解为：则称则称x*是方程是方程f(x)=0的的m重根重根，m=1时称为时称为单根单根.3第3页，此课件共30页哦重根的判断方法重根的判断方法设函数设函数f(x)有有m

2、阶连续导数，阶连续导数，x*是是f(x)=0的的m重根重根的充要条件是的充要条件是如如：验证：验证x=0是方程是方程f(x)=e2x-1-2x-2x2=0的三重根的三重根.解：解：f(0)=0.4第4页，此课件共30页哦有根区间：有根区间：若方程若方程f(x)=0在区间在区间a,b内至少有一根，内至少有一根，则称则称a,b为为有根区间有根区间.有根区间的判断：有根区间的判断：定理定理2-1：设函数设函数f(x)在在a,b上连续，且上连续，且 f(a)f(b)0,则则 f(x)=0在在(a,b)内至少有一个根内至少有一个根.定理定理2-2：设设f(x)在在a,b上单调连续，且上单调连续，且 f(

3、a)f(b)0,则则 f(x)=0在在(a,b)内有且只有一个根内有且只有一个根.5第5页，此课件共30页哦求方程根的近似值，需要解决的问题：求方程根的近似值，需要解决的问题：根的存在性根的存在性.要判断方程有没有根，有几个；要判断方程有没有根，有几个；根的隔离根的隔离.找出有根区间，使得在较小的区间内找出有根区间，使得在较小的区间内方程只有一个根，以得到根的近似值方程只有一个根，以得到根的近似值.根的精确化根的精确化.利用合适的数值计算方法，逐步利用合适的数值计算方法，逐步把根精确化，直至满足精度要求把根精确化，直至满足精度要求.6第6页，此课件共30页哦二、逐步搜索法二、逐步搜索法一般步骤

4、：一般步骤：取合适的步长取合适的步长从从x0=a出发，按步长逐步向右跨进行搜索，出发，按步长逐步向右跨进行搜索，若发现若发现f(xk)与与f(a)异号，则确定一个缩小的有根区间异号，则确定一个缩小的有根区间其宽度等于步长其宽度等于步长h.特别地，若特别地，若f(xk)=0,则则xk就是所求的根就是所求的根.假设假设f(x)在有根区间在有根区间a,b单值连续，且单值连续，且f(a)0.7第7页，此课件共30页哦解解 由于由于f(x)是连续函数是连续函数，f(0)=-10，故方程故方程至少有一正实根至少有一正实根.x 0 0.5 1.0 1.5f(x)+所以所以f(x)在区间在区间(1,1.51,

5、1.5)内单调连续，因而在内单调连续，因而在(1,1.5)(1,1.5)内有且仅有内有且仅有一个实根，故可取一个实根，故可取1,1.51,1.5上任一点做初始近似根上任一点做初始近似根.可见在可见在(1,1.5)(1,1.5)内有根内有根.又又例例 对方程对方程f(x)=x3-x-1=0 搜索有根区间搜索有根区间.设从设从x=0 出发，取步长出发，取步长h=0.5，逐步右跨搜索，得，逐步右跨搜索，得8第8页，此课件共30页哦例例 求方程求方程 的有根区的有根区间间.解解 函数函数f(x)=x3-1.8x2+0.15x+0.65连续连续，且，且 f(-1)0，故方程在故方程在(-1,2)内至少有

6、一个根内至少有一个根.x-1-0.250.51.252f(x)-2.30.4840.55-0.02191.75在在(-1,-0.25),(0.5,1.25),(1.25,2)各区间内有各区间内有且只有一个根且只有一个根.从从 出发出发,取步长取步长 ,向右搜索向右搜索,得得9第9页，此课件共30页哦 三、区间二分法三、区间二分法三、区间二分法三、区间二分法 原理原理原理原理：函数函数f(x)在在a,b上单调连续，且上单调连续，且f(a)f(b)0，则方程则方程 f(x)=0在区间在区间(a,b)内有且仅有一个实根内有且仅有一个实根x*.基本思想基本思想(1)(1)把有根区间二分为两个小区间，然

7、后判断根把有根区间二分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根的小区间在哪个小区间，舍去无根的小区间;(2)(2)再把有根的小区间再把有根的小区间一分为二一分为二,再判断根属于哪个更小的区间再判断根属于哪个更小的区间,如此反复如此反复,直直到求出满足精度要求的近似根到求出满足精度要求的近似根.具体步骤具体步骤如下：如下：10第10页，此课件共30页哦 这时有三种情况：这时有三种情况：x*x*令令取取 中点中点 将其二分，将其二分，若若则则新的有根区间为新的有根区间为(a1,b1)，长度是，长度是 的一半。的一半。若若则则令令否则，否则，则则令令若若11第11页，此课件共30页哦第第2次二

8、分，取次二分，取a1,b1中点中点若若 f(a1)f(x1)0,f(1)0所以，所以，f(x)在在0,1内有且只有一个根内有且只有一个根.所以要二分所以要二分14次次.18第18页，此课件共30页哦二分法的计算步骤：二分法的计算步骤：19第19页，此课件共30页哦二分法算法简单，编制程序容易，缺点是不能求偶数重根二分法算法简单，编制程序容易，缺点是不能求偶数重根和复数根，故而一般常用此方法求根的初始近似值，再用其和复数根，故而一般常用此方法求根的初始近似值，再用其他的求根方法精确化。他的求根方法精确化。注意：注意：20第20页，此课件共30页哦迭代原理迭代原理迭代的收敛性迭代的收敛性迭代的收敛

9、速度迭代的收敛速度迭代的加速迭代的加速2.2 2.2 迭代法迭代法21第21页，此课件共30页哦1 1、一般形式（具体做法）：、一般形式（具体做法）：依次得到依次得到一个序列一个序列一、迭代原理一、迭代原理一、迭代原理一、迭代原理迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式反复校迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式反复校正根的近似值，使之逐步精确，最后得到满足精度要求正根的近似值，使之逐步精确，最后得到满足精度要求的结果的结果.取初始近似根取初始近似根 x0,代入右端代入右端，方程方程 f(x)=0化为等价形式的方程化为等价形式的方程 ，连续连续.构造迭代公式构造迭代公式进行迭代计算进行迭

10、代计算22第22页，此课件共30页哦这种求方程近似根的方法称为这种求方程近似根的方法称为简单迭代法简单迭代法（逐次迭代法逐次迭代法）.称为称为迭代公式迭代公式或或迭代过程迭代过程称为称为根的初始近似值根的初始近似值称为称为根的根的k次近似值；次近似值；称为称为迭代函数；迭代函数；称为称为迭代序列迭代序列其中：其中：如果这个序列有极限，则称迭代算法是收敛的，否则发散如果这个序列有极限，则称迭代算法是收敛的，否则发散.即序列即序列 xk 的极限的极限x*就是方程就是方程 f(x)=0的根的根.23第23页，此课件共30页哦若若迭代法收敛迭代法收敛，可经过有限次计算得到满足精度要求的近似，可经过有限

11、次计算得到满足精度要求的近似根；根；若若迭代法发散迭代法发散，发散的迭代法没有任何使用价值。，发散的迭代法没有任何使用价值。注意：注意：注意：注意：24第24页，此课件共30页哦例例4 用迭代法求方程用迭代法求方程在在内的根。内的根。解解将方程转化为等价方程将方程转化为等价方程得相应的迭代公式得相应的迭代公式若取初值若取初值计算结果如下表计算结果如下表从表中可以看出，从表中可以看出，迭代序列是收敛的。迭代序列是收敛的。1 2 3 4 5 7 8 9 101.894536471.893521141.893332331.893297221.893290691.893289471.893289251

12、.893289211.893289201.89328920625第25页，此课件共30页哦注意：注意：很明显，将方程改写成等价方程的形式是不唯一的，很明显，将方程改写成等价方程的形式是不唯一的，例如例如方程方程x3-2x-3=0也可改写成也可改写成此时相应的迭代公式此时相应的迭代公式若仍取初值若仍取初值则有则有可见可见,所得迭代序列趋于无穷大所得迭代序列趋于无穷大,即发散即发散.26第26页，此课件共30页哦2 2、迭代法的几何意义、迭代法的几何意义 把求方程把求方程 f(x)=0的根的根,转化为求等价方程转化为求等价方程 的根，在几何上就是求直线的根，在几何上就是求直线y=x与曲线与曲线 的的交点的横坐标交点的横坐标x*.27第27页，此课件共30页哦收敛收敛的情形的情形:28第28页，此课件共30页哦发散发散的情形的情形:29第29页，此课件共30页哦