解线性方程组的矩阵三角分解法优秀课件.ppt

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1、解线性方程组的矩阵解线性方程组的矩阵三角分解法三角分解法第1页，本讲稿共16页2本讲内容本讲内容n 一般线性方程组 LU 分解与 PLU 分解n 对称正定线性方程组 平方根法Cholesky 分解n 对角占优三对角线性方程组 追赶法第2页，本讲稿共16页3LU 分解分解将一个矩阵分解成结构简单的三角形矩阵的乘积矩阵的三角分解矩阵的 LU(Doolittle)分解矩阵的 LDR 分解克洛脱(Crout)分解第3页，本讲稿共16页4计算计算 LU 分解分解利用矩阵乘法直接计算利用矩阵乘法直接计算 LU 分解分解L U =A比较等式两边的比较等式两边的第一行第一行得：得：u1j=a1j比较等式两边的

2、比较等式两边的第一列第一列得：得：比较等式两边的比较等式两边的第二行第二行得：得：比较等式两边的比较等式两边的第二列第二列得：得：(j=1,n)(i=2,n)(j=2,n)(i=3,n)U 的第一行 L 的第一列 U 的第二行 L 的第二列 第4页，本讲稿共16页5计算计算 LU 分解分解第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出直到第直到第 n 步，便可求出矩阵步，便可求出矩阵 L 和和 U 的所有元素。的所有元素。比较等式两边的第 k 行得：(j=k,n)比较等式两边的第 k 列得：(i=k+1,n)第5页，本讲稿共16页6LU 分解算法分解算法算法：(LU 分

3、解)for k=1 to nendj=k,ni=k+1,nMatlab程序参见：程序参见：ex51.m乘除法运算量：乘除法运算量：(n3-n)/3为了节省存储空间，通常用为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放的绝对下三角部分来存放 L(对对角线元素无需存储角线元素无需存储)，用，用 A 的上三角部分来存放的上三角部分来存放 U 第6页，本讲稿共16页7PLU 分解分解矩阵的 PLU 分解for k=1 to nendi=k,k+1,nj=1,2,ni=k+1,nj=k+1,nMatlab程序：程序：上机练习上机练习 第7页，本讲稿共16页8Cholesky 分解分解n 对称正定矩

4、阵对称正定矩阵的三角分解的三角分解Cholesky 分解分解定理：定理：设设 A 是对称矩阵，若是对称矩阵，若 A 的所有顺序主子式都的所有顺序主子式都不为不为 0，则，则 A 可唯一分解为可唯一分解为其中其中 L 为单位下三角阵，为单位下三角阵，D 为对角矩阵为对角矩阵A=LDLT定理：（定理：（Cholesky分解）分解）若若 A 对称正定，则对称正定，则 A 可唯可唯一分解为一分解为其中其中 L 为下三角实矩阵，且对角元素都大于为下三角实矩阵，且对角元素都大于 0A=LLT第8页，本讲稿共16页9计算计算 Cholesky 分解分解n Cholesky 分解的计算分解的计算直接比较等式两

5、边的元素直接比较等式两边的元素n 计算公式计算公式第9页，本讲稿共16页10Cholesky 分解算法分解算法for j=1 to nendi=j+1,n算法算法：(Cholesky 分解分解)第10页，本讲稿共16页11平方根法平方根法A 对称正定算法算法：(解对称正定线性方程组的解对称正定线性方程组的平方根法平方根法)计算 A 的 Cholesky 分解解方程：Ly=b 和 LTx=yi=2,3,ni=n-1,2,1 第11页，本讲稿共16页12改进的改进的 Cholesky 分解分解n 计算公式计算公式n 改进的改进的 Cholesky 分解分解第12页，本讲稿共16页13改进的改进的

6、Cholesky 分解分解for j=1 to nendi=j+1,n算法算法：(改进的改进的 Cholesky 分解分解)n 优点：优点：避免开方运算避免开方运算第13页，本讲稿共16页14改进的平方根法改进的平方根法A 对称正定算法算法：(解对称正定线性方程组的解对称正定线性方程组的改进的平方根法改进的平方根法)计算 改进的 Cholesky 分解解方程：Ly=b 和 DLTx=yi=2,3,ni=n-1,2,1 第14页，本讲稿共16页15追赶法追赶法n 对角占优的三对角矩阵对角占优的三对角矩阵的的 LU 分解分解n 计算公式计算公式i=2,3,n-1第15页，本讲稿共16页16追赶法追赶法A 三对角矩阵（对角占优）算法算法：(追赶法追赶法)i=2,3,ni=n-1,2,1 i=2,3,n-1n 运算量：运算量：5n-42n 3 次次2n 次n 1 次次第16页，本讲稿共16页