线性代数第一行列式课件.ppt

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1、关于线性代数第一行关于线性代数第一行列式列式现在学习的是第1页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第2页，共178页设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为 非齐次线性方程组非齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念现在学习的是第3页，共178页一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即现在学习的是第4页，

2、共178页其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为现在学习的是第5页，共178页证明证明再把再把 个方程依次相加，得个方程依次相加，得现在学习的是第6页，共178页由代数余子式的性质可知由代数余子式的性质可知,于是于是当当 时时,方程组方程组 有唯一的一个解有唯一的一个解现在学习的是第7页，共178页由于方程组由于方程组 与方程组与方程组 等价等价,故故也是方程组的也是方程组的 解解

3、.注：第二章还将利用矩阵证明这个定理(P53)。现在学习的是第8页，共178页二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的 .定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.现在学习的是第9页，共178页齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解.现在学习的是第10页，共178

4、页定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.有非零解有非零解.（第三章将证明）（第三章将证明）系数行列式系数行列式现在学习的是第11页，共178页例例1 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解现在学习的是第12页，共178页现在学习的是第13页，共178页现在学习的是第14页，共178页例例2 2 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组解解现在学习的是第15页，共178页现在学习的是第16页，共178页例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？现在学习的是第17页，共178页解解齐次方程组

5、有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.现在学习的是第18页，共178页1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.三、小结三、小结现在学习的是第19页，共178页第一章 END 现在学习的是第20页，共178页联系方式联系方式办公电话：办公电

6、话：85891152电子信箱电子信箱 短信短信 13951005526办公室：办公室：S3-525；K2-633现在学习的是第21页，共178页课程要求课程要求每个班级各配一名课代表，（轮流）负每个班级各配一名课代表，（轮流）负责多媒体钥匙的借用与归还，负责各班责多媒体钥匙的借用与归还，负责各班作业的收缴与发放，及时反馈同学的要作业的收缴与发放，及时反馈同学的要求与存在问题，架起同学与老师之间的求与存在问题，架起同学与老师之间的桥梁。桥梁。现在学习的是第22页，共178页作业要求作业要求每次课布置一定数量的练习题，一般每次不每次课布置一定数量的练习题，一般每次不超过超过6题；没有特殊情况，每周

7、五交作业，按题；没有特殊情况，每周五交作业，按学号顺序排放作业本。学号顺序排放作业本。完成作业时，课本上的习题，可以不抄题目，完成作业时，课本上的习题，可以不抄题目，只需说明出处，第几页第几章第几题；补充只需说明出处，第几页第几章第几题；补充的习题，应按照要求抄题后再做。的习题，应按照要求抄题后再做。认真作业，按时交作业。过期按未交计算，认真作业，按时交作业。过期按未交计算，扣平时成绩。作业应坚持自己完成，养成良好扣平时成绩。作业应坚持自己完成，养成良好学习习惯。学习习惯。现在学习的是第23页，共178页课堂纪律课堂纪律严格班级管理，自觉遵守课堂纪严格班级管理，自觉遵守课堂纪律，维护优良的教学

8、环境。班干部律，维护优良的教学环境。班干部同学尤其要带头遵守课堂纪律，做同学尤其要带头遵守课堂纪律，做好模范！好模范！现在学习的是第24页，共178页上课（包括考试）杜绝迟到现象，请大家至上课（包括考试）杜绝迟到现象，请大家至少提前少提前5分钟到达教室，不要发生任何借口的旷分钟到达教室，不要发生任何借口的旷课，有事应事先办理请假手续。不将教室生活化课，有事应事先办理请假手续。不将教室生活化。每次上课，请班长将本班缺席名单报上来，若。每次上课，请班长将本班缺席名单报上来，若请假的，应有准假条。上课请将手机关机。有问请假的，应有准假条。上课请将手机关机。有问题可随时举手提问。考勤将作为平时成绩的一

9、个题可随时举手提问。考勤将作为平时成绩的一个重要组成部分。重要组成部分。课堂纪律课堂纪律 现在学习的是第25页，共178页答疑安排答疑安排可以联系助教答疑。可以联系助教答疑。可以事先预约，也可以直接到办公室询可以事先预约，也可以直接到办公室询问，只要有时间都可以。问，只要有时间都可以。根据需要安排。根据需要安排。地点：地点：S3525或或K2-633B.现在学习的是第26页，共178页成绩计算成绩计算总评成绩依据平时成绩、期中考试成绩以及期总评成绩依据平时成绩、期中考试成绩以及期末考试成绩。末考试成绩。一般平时成绩占一般平时成绩占10%，期中考，期中考试成绩试成绩20%，期末考试成绩，期末考试

10、成绩70%。平时成绩平时成绩主要依据作业、答疑与考勤情况，作业的主要依据作业、答疑与考勤情况，作业的对错不影响平时成绩，主要看完成的主动对错不影响平时成绩，主要看完成的主动性，作业缺交一次扣一分，补交补性，作业缺交一次扣一分，补交补0.5分；分；缺课一次扣一分缺课一次扣一分(请假批准除外请假批准除外)，补假获批的，补假获批的，补补0.5分。分。现在学习的是第27页，共178页 随随着着我我国国经经济济的的高高速速发发展展，高高等等教教育育的的日日益益普普及及，高高校校需需要要培培养养出出大大批批应应用用型型工工程程技技术术人人员员。大大学学数数学学系系列列课课程程“微微积积分分”、“线线性性代

11、代数数”和和“概概率率论论与与数数理理统统计计”是是大大学学理理工工、管管理理等等专专业业的的重重要要基基础础课课程程。数数学学作作为为科科学学的的基基础础与与工工具具，在在大大学学数数学学基基础础课课程程中中得到应有的重视。得到应有的重视。学习学习线性代数线性代数的背景的背景现在学习的是第28页，共178页对于“线性代数”这门课程，其主要任务有两条：掌握线性代数最常用的工具性内容，即线性方程组、行列式和矩阵；了解如何把一些具体的数字对象抽象为数学结构，例如向量空间和欧氏空间。因此，希望通过“线性代数”的学习，能够较好地掌握前者而充分地理解后者。现在学习的是第29页，共178页v要求多做习题，

12、认真讨论问题、解决问题。要 求这是由于数学基础课一般相对比较抽象，而且在中学阶段，学生的逻辑训练又不够，所以在学习线性代数时，如果不通过自己做习题、判别是否与对错以及改正错误这些过程的训练，是很难掌握它的基本内容的。现在学习的是第30页，共178页要 求有些同学习惯于罗列事实加上一些逻辑推理，对于问题的提出和分析重视不够。我们应该把重点放在对一些基本对象的分析上，从而具有面对问题进行分析的能力。v要求重视分析，提高分析问题的能力。现在学习的是第31页，共178页要 求v要求对照考试大纲，弄清掌握与理解。多年来，随着研究生考试大纲的公布，线性代数没有什么变化，对照大纲，分清理解、掌握、学会等层次

13、，抓住基本概念、基本技巧与基本结论。现在学习的是第32页，共178页考试内容：行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理考试要求：1了解行列式的概念，掌握行列式的性质 2会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式第一章：行列式现在学习的是第33页，共178页第二章：矩阵考试内容：矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵等价分块矩阵及其运算现在学习的是第34页，共178页考试要求：1理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们

14、的性质 2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵4理解矩阵的初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 5了解分块矩阵及其运算现在学习的是第35页，共178页第三章：向量 第四章：线性方程组 第五章：矩阵的特征值及特征向量 第六章：二次型 其他现在学习的是第36页，共178页课程介绍全书内容分为：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与

15、二次型、线性空间与线性变换等六章。其中一至五章符合教育部颁发的工科本科线性代数课程的教学基本要求。第六章较多带有理科色彩。现在学习的是第37页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第38页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第39页，共178页用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入现在学习的是第

16、40页，共178页方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.现在学习的是第41页，共178页 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即现在学习的是第42页，共178页主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式现在学习的是第43页，共178页现在学习的是第44页，共178页现在学习的是第45页，共178页现在学习的是第46页，共178页则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意

17、分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.现在学习的是第47页，共178页例例例例1 1 1 1解解现在学习的是第48页，共178页二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.现在学习的是第49页，共178页(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标现在学习的是第50页，共178页(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的

18、乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式现在学习的是第51页，共178页 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.现在学习的是第52页，共178页若记若记或或现在学习的是第53页，共178页记记即即现在学习的是第54页，共178页现在学习的是第55页，共178页得得现在学习的是

19、第56页，共178页得得现在学习的是第57页，共178页则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:现在学习的是第58页，共178页例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有现在学习的是第59页，共178页例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端现在学习的是第60页，共178页例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式现在学习的是第61页，共178页同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:现在学习的是第62页，共178页 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线

20、法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结三、小结现在学习的是第63页，共178页思考题思考题现在学习的是第64页，共178页思考题解答思考题解答解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得现在学习的是第65页，共178页故所求多项式为故所求多项式为现在学习的是第66页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第67页，共178页引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没

21、有重三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位1232种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有一、概念的引入一、概念的引入现在学习的是第68页，共178页问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.由引例由引例同理同理二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序数现在学习的是第69页，共178页 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称

22、这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序.例如例如 排列排列32514 中，中，定义定义 我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不个不同的自然数，规定由小到大为同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序现在学习的是第70页，共178页定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数.例如例如 排列排列32514 中，中，3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.现在学习的是第71页，共17

23、8页计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码个数即分别算出码个数即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这些元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这些元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性现在学习的是第72页，共178页分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数，即算出这个排列中每个元素的逆序数，个数，即算出这个排列中每个元素的逆

24、序数，则每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆则每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;现在学习的是第73页，共178页3 2 5 1 4于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序

25、数为1;现在学习的是第74页，共178页例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.现在学习的是第75页，共178页解解当当 时为偶排列；时为偶排列；当当 时为奇排列时为奇排列.现在学习的是第76页，共178页解解当当 为偶数时，排列为偶排列，为偶数时，排列为偶排列，当当 为奇数时，排列为奇排列为奇数时，排列为奇排列.现在学习的是第77页，共178页2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种

26、数为三、小结三、小结现在学习的是第78页，共178页思考题思考题分别用两种方法求排列分别用两种方法求排列16352487的逆序数的逆序数.现在学习的是第79页，共178页思考题解答思考题解答解解用方法用方法1 11 6 3 5 2 4 8 7 用方法用方法2 2由前向后求每个数的逆序数由前向后求每个数的逆序数.现在学习的是第80页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第81页，共178页一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行

27、列式共有 项，即项，即 项项（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积现在学习的是第82页，共178页（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列偶排列奇排列奇排列现在学习的是第83页，共178页二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义现在学习的是第84页，共178页现在学习的是第85页，共178页说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数、行列式是一种特定的算式，它

28、是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为现在学习的是第86页，共178页例例1 1计算对角行列式计算对角行列式分析分析展开式中非零项的一般形式是展开式中非零项的一般形式是从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 ,同理可得同理可得解解现在学习的是第87页，共178页即行列式

29、中不为零的项只可能为即行列式中不为零的项只可能为例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式现在学习的是第88页，共178页分析分析展开式中非零项的一般形式是展开式中非零项的一般形式是所以不为零的项只可能有所以不为零的项只可能有解解现在学习的是第89页，共178页例例3现在学习的是第90页，共178页同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式现在学习的是第91页，共178页例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式现在学习的是第92页，共178页证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定义证毕证毕现在学习的是第93页，共178页例例5 5设设

30、证明证明证证由行列式定义有由行列式定义有现在学习的是第94页，共178页现在学习的是第95页，共178页由于由于 所以所以故故现在学习的是第96页，共178页1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的的.2、阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.三、小结三、小结现在学习的是第97页，共178页思考题思考题已知已知现在学习的是

31、第98页，共178页思考题解答思考题解答解解含含 的项有两项的项有两项,即即对应于对应于现在学习的是第99页，共178页现在学习的是第100页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第101页，共178页一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换不动，这种作出新排列的手续叫做对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如现在学习的是第102

32、页，共178页二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性证明证明设排列为设排列为对换对换 与与除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.现在学习的是第103页，共178页当当 时，时，的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为当当 时，时，现来对换现来对换 与与现在学习的是

33、第104页，共178页次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.现在学习的是第105页，共178页推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列

34、(逆序数为逆序数为0),因此因此知推论成立知推论成立.证明证明按行列式定义有按行列式定义有现在学习的是第106页，共178页记记对于对于D中任意一项中任意一项总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而现在学习的是第107页，共178页定理定理3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列

35、标排列逆序数的和.例例1 1 试判断试判断 和和是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.现在学习的是第108页，共178页下标的逆序数为下标的逆序数为所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.现在学习的是第109页，共178页例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.解解431265的逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.现在学习的是第110页，共178页行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列234165的

36、逆序数为的逆序数为所以所以 前边应带正号前边应带正号.现在学习的是第111页，共178页例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算现在学习的是第112页，共178页解解现在学习的是第113页，共178页 1.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法三、小结三、小结现在学习的是第114页，共178页其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.现在学习的是第115页，共178页思考题思考题证明证明 在全部在全部 阶排列中阶排

37、列中 ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半.现在学习的是第116页，共178页思考题解答思考题解答证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列,个偶个偶排列排列,现来证现来证 .将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,所以所以若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,于是有于是有故必有故必有现在学习的是第117页，共178页行列式的定义行列式的定义排列的逆序数及奇偶性排列的逆序数及奇

38、偶性简单行列式的计算简单行列式的计算三角行列式的结论三角行列式的结论特别地，对角行列式的结论特别地，对角行列式的结论现在学习的是第118页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第119页，共178页一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记现在学习的是第120页，共178页证明证明按定义按定义 又因为行列式又因为行列式D可表示为可表示为现

39、在学习的是第121页，共178页故故证毕证毕性质性质性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.证明证明证明证明设行列式设行列式说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.是由行列式是由行列式 变换变换 两行得到的两行得到的,现在学习的是第122页，共178页于是于是则有则有即当即当 时时,现在学习的是第123页，共178页例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零行列式为零.证明证明

40、互换相同的两行，有互换相同的两行，有 故故证毕证毕现在学习的是第124页，共178页一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行，行列式改变符号。互换行列式的两行，行列式改变符号。推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零行列式为零.现在学习的是第125页，共178页性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推

41、论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面可以提到行列式符号的外面现在学习的是第126页，共178页性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零此行列式为零证明证明现在学习的是第127页，共178页性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如现在学习的是第128页，共178页性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另

42、一列一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变例如例如现在学习的是第129页，共178页性质1性质1性质1现在学习的是第130页，共178页例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用性质把行列式计算行列式常用方法：利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值现在学习的是第131页，共178页解解现在学习的是第132页，共178页现在学习的是第133页，共178页现在学习的是第134页，共178页现在学习的是第135页，共178页现在学习的是第136页，共178页P12 例题7现在学习的是第137页，共

43、178页例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 列都加到第一列得列都加到第一列得现在学习的是第138页，共178页现在学习的是第139页，共178页P12 例题8，例题9现在学习的是第140页，共178页P14P14例例1010证明证明现在学习的是第141页，共178页证明证明现在学习的是第142页，共178页现在学习的是第143页，共178页 (行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用性利用性质把行列式化为

44、上三角形行列式，从而算得行列式质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质现在学习的是第144页，共178页P15 例题例题11计算计算2n阶行列式阶行列式现在学习的是第145页，共178页思考题思考题现在学习的是第146页，共178页思考题解答思考题解答解解现在学习的是第147页，共178页现在学习的是第148页，共178页性质1性质1性质1现在学习的是第149页，共178页第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式2 全排列及其逆序数3 n 阶行列式的定义4 对换5 行列式的性质6 行列式按行（列）展开7 克拉默法则现在学习的是第150页，共

45、178页例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式现在学习的是第151页，共178页在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如现在学习的是第152页，共178页现在学习的是第153页，共178页引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末该行列式等于外都为零，那末该行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如现在学习

46、的是第154页，共178页证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有即有又又从而从而再证一般情形再证一般情形,此时此时现在学习的是第155页，共178页得得现在学习的是第156页，共178页得得现在学习的是第157页，共178页现在学习的是第158页，共178页中的余子式中的余子式现在学习的是第159页，共178页故得故得于是有于是有现在学习的是第160页，共178页定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即证证二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则现在学习的是第16

47、1页，共178页现在学习的是第162页，共178页例例1 (P12)现在学习的是第163页，共178页现在学习的是第164页，共178页 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式现在学习的是第165页，共178页现在学习的是第166页，共178页 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式现在学习的是第167页，共178页定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即应的代数余子式乘积之和，即行列式展开定理行列式展开定理现在学习的是第168页，共178页范德蒙德范德蒙德(V

48、andermonde)行列式行列式现在学习的是第169页，共178页推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证现在学习的是第170页，共178页同理同理相同相同现在学习的是第171页，共178页关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质现在学习的是第172页，共178页例例 计算行列式计算行列式解解现在学习的是第173页，共178页现在学习的是第174页，共178页阅读P21例13设D的(i,j)元的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij，求A11+A12+A13+A14 及M11+M21+M31+M41.现在学习的是第175页，共178页 1.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具计算化为低阶行列式计算的重要工具.三、小结三、小结现在学习的是第176页，共178页思考题思考题求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和现在学习的是第177页，共178页感谢大家观看现在学习的是第178页，共178页