解对初值的连续性和可微性精选PPT.ppt
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1、解对初值的连续性和可微性第1页，此课件共31页哦3.3 解对初值的连续性和可微性解对初值的连续性和可微性/Continuous and differentiable dependence of the solutions/第2页，此课件共31页哦 解对初值的连续性解对初值的连续性 解对初值的可微性解对初值的可微性本节要求本节要求：1 了解解对初值及参数的连续依赖性定理；了解解对初值及参数的连续依赖性定理；2 了解解对初值及参数的可微性定理。了解解对初值及参数的可微性定理。内容提要内容提要3.3 Continuity&differentiability Continuity&differenti
2、ability2022/10/103常微分方程-重庆科技学院-李可人第3页，此课件共31页哦3.3.1 解对初值的对称性定理解对初值的对称性定理设 f(x,y)于域 D 内连续且关于 y 满足利普希茨条件，是初值问题的唯一解，则在此表达式中，与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/104常微分方程-重庆科技学院-李可人第4页，此课件共31页哦3.3.2解对初值的连续依赖性定理解对初值的连续依赖性定理假设 f(x,y)于域 G 内连续且关于 y
3、满足局部利普希茨条件，是初值问题的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数，使得当时，方程满足条件 的解在区间也有定义，并且3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/105常微分方程-重庆科技学院-李可人第5页，此课件共31页哦引理引理如果 f(x,y)在某域 D 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件（利普希兹常数为L），则方程(3.1.1)任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式其中 为所考虑区间内的某一值。证明证明设 在区间 均有定义，令不妨设因此，有3.3 Continuity
4、&differentiability Continuity&differentiability2022/10/106常微分方程-重庆科技学院-李可人第6页，此课件共31页哦则于是因此，在区间 a,b 上 为减函数，有3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/107常微分方程-重庆科技学院-李可人第7页，此课件共31页哦对于区间则则并且已知它有解类似以上推导过程，令注意到因此两边取平方根，得3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiab
5、ility2022/10/108常微分方程-重庆科技学院-李可人第8页，此课件共31页哦解对初值的连续依赖性定理的证明解对初值的连续依赖性定理的证明（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域因为，积分曲线段是 x y 平面上一个有界闭集，又按假定对S上每一点(x,y)必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数 f(x,y)关于 y 满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段S。设 为圆 的半径，表示 f(x,y)于 内的相应的利普希茨常数。3.3 Continuity&differentiability
6、 Continuity&differentiability2022/10/109常微分方程-重庆科技学院-李可人第9页，此课件共31页哦令则有且 的边界与S的距离 。对预先给定的若取则以S上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成S的有界闭域 ，且 f(x，y)在D上关于 y 满足利普希茨条件，利普希茨常数为L。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/1010常微分方程-重庆科技学院-李可人第10页，此课件共31页哦（二）解对初值的连续依赖性（二）解对初值的连续依赖性断言，必存在
7、这样的正数使得只要 满足不等式则解 必然在区间 也有定义。由于D是有界闭区域，且 f(x，y)在其内关于 y 满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域D的边界上。设它在D的边界上的点为这时必然有3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/1011常微分方程-重庆科技学院-李可人第11页，此课件共31页哦因为否则设 则由引理由 的连续性，对必存在使得当 时有取则当3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022
8、/10/1012常微分方程-重庆科技学院-李可人第12页，此课件共31页哦于是对一切 成立，特别地有即点均落在D的内部，而不可能位于D的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间a,b上有定义。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/1013常微分方程-重庆科技学院-李可人第13页，此课件共31页哦在不等式中，将区间c，d换为a，b，可知，当时，有定理得证。3.3 Continuity&differentiability Continuity&differentiability2022/10/1014常
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