线性代数二阶三阶行列式课件.ppt

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1、线性代数二阶三阶行线性代数二阶三阶行列式列式第1页，此课件共29页哦一、行列式的性质一、行列式的性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记第2页，此课件共29页哦性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此

2、行列式为零行列式为零.第3页，此课件共29页哦性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式.推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面以提到行列式符号的外面第4页，此课件共29页哦性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明第5页，此课件共29页哦性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和和.则则

3、D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如第6页，此课件共29页哦性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变例如例如第7页，此课件共29页哦 利用行列式的上述性质，往往可以使行列式利用行列式的上述性质，往往可以使行列式的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式越的计算简化，但我们知道阶数越低的行列式越容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要容容易计算。比如二阶行列式比三阶行列式要容易计算得多。因此，我们自然地提出，能否把易计算得多。因此，我们自然地提出

4、，能否把行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算？行列式转化为一些阶数较低的行列式来计算？为此先给出为此先给出余子式余子式和和代数余子式代数余子式的概念。的概念。第8页，此课件共29页哦二、余子式与代数余子式二、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作例如例如叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式第9页，此课件共29页哦第10页，此课件共29页哦引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零

5、，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 例如例如第11页，此课件共29页哦定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即证证三、行列式按行（列）展开法则三、行列式按行（列）展开法则第12页，此课件共29页哦推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第13页，此课件共29页哦四、行列式的计算四、行列式的计算1、将行列式化

6、成三角行列式计算、将行列式化成三角行列式计算例例 计算行列式计算行列式第14页，此课件共29页哦解解第15页，此课件共29页哦例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式解解将第将第 都加到第一列得都加到第一列得第16页，此课件共29页哦各行都减去各行都减去第一行第一行行列式特点行列式特点主对角线元素相同，主对角线以外元素相同主对角线元素相同，主对角线以外元素相同基本思路基本思路把各列（行）都加到第一列（行）上，提公因式，各行把各列（行）都加到第一列（行）上，提公因式，各行(列列)都都减去第一行（列）减去第一行（列）,化三角行列式。化三角行列式。第17页，此课件共29页哦例例3计算行列式计算行列式解

7、解第18页，此课件共29页哦行列式特点行列式特点基本思路基本思路第一列（行）的元素第一列（行）的元素相同，第二列（行）相同，第二列（行）的相邻元素等差的相邻元素等差下一行（列）减下一行（列）减上一行（列），上一行（列），化三角行列式化三角行列式第19页，此课件共29页哦例例42、行列式按行（列）展开降阶计算、行列式按行（列）展开降阶计算解解第20页，此课件共29页哦第21页，此课件共29页哦例例5计算计算n阶行列式阶行列式解解将将 按第一列展开按第一列展开方法一方法一第22页，此课件共29页哦这个这个n1阶行列式与阶行列式与 Dn有相同的形式，有相同的形式，把它记作把它记作Dn-1这是一个这是

8、一个n1阶阶的下三角行列式的下三角行列式等于等于 第23页，此课件共29页哦这个式子对于任何这个式子对于任何n 都成立，是一个都成立，是一个递推公式，因此有递推公式，因此有且且所以所以第24页，此课件共29页哦方法二方法二从第一列开始，前一列乘从第一列开始，前一列乘 加到后一列加到后一列第25页，此课件共29页哦行列式特点行列式特点两对角线一条边两对角线一条边类似的还有类似的还有基本思路：基本思路：按行按列展开按行按列展开第26页，此课件共29页哦 解解例例6计算范德蒙计算范德蒙(Vandermonde)行列式行列式第27页，此课件共29页哦按第一列展开按第一列展开第28页，此课件共29页哦 n-1阶范德蒙行列式阶范德蒙行列式第29页，此课件共29页哦