第十一讲二元随机变量函数的分布.ppt

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1、第十一讲二元随机变量函数的分布现在学习的是第1页，共28页一、二元连续型随机变量及其概率密度一、二元连续型随机变量及其概率密度定义定义3.6 （P54）对于二维随机变量对于二维随机变量(X,Y)，若存在一个非负可，若存在一个非负可积函数，使对积函数，使对(x,y)R2，其分布函数其分布函数 则称则称(X,Y)为二元连续型随机变量，为二元连续型随机变量，为为(X,Y)的密度函数的密度函数(概率密度概率密度)，或，或X与与Y的的联合密度函联合密度函数数，可记为，可记为(X,Y)，(x,y)R2二元连续型随机变量二元连续型随机变量现在学习的是第2页，共28页联合密度的性质联合密度的性质(P54)(1

2、)非负性非负性：0,(x,y)R2;(2)归一性归一性：(4)重要公式重要公式:对于任意平面区域G R2,现在学习的是第3页，共28页边际密度函数（边际密度函数（P55）现在学习的是第4页，共28页现在学习的是第5页，共28页现在学习的是第6页，共28页三、连续型随机变量的条件分布三、连续型随机变量的条件分布(P57)现在学习的是第7页，共28页四、随机变量的独立性（四、随机变量的独立性（P58）定理：定理：随机变量随机变量X X与与Y Y独立的充分必要条件独立的充分必要条件是是 F(x,y)=FX(x)FY(y)定定理理：设设(X,Y)(X,Y)是是二二元元连连续续型型随随机机变变量量，X

3、X与与Y Y独独立的充分必要条件是立的充分必要条件是现在学习的是第8页，共28页要求：要求：（1 1）会由二元连续型随机变量的联合）会由二元连续型随机变量的联合密度求边际密度并能进行简单的相关概率密度求边际密度并能进行简单的相关概率计算。计算。(2)(2)两个随机变量相互独立时，联两个随机变量相互独立时，联合分布与边际分布的关系。合分布与边际分布的关系。现在学习的是第9页，共28页 在第二章中，我们讨论了一元随机变量函数的分布，在第二章中，我们讨论了一元随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论现在我们进一步讨论:我们只讨论几种特殊情形：我们只讨论几种特殊情形：当随机变量当随机变量X1,X2,Xn

4、的联合分布已知时，的联合分布已知时，如何求出它们的函数如何求出它们的函数 Y=g(X1,X2,Xn),i=1,2,m的分布的分布?第十一讲第十一讲 二元随机变量函数的分布二元随机变量函数的分布现在学习的是第10页，共28页一、二元离散型随机变量函数的分布（一、二元离散型随机变量函数的分布（P60）或或 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,（其中（其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地若随机变量一般地若随机变量X的分布列为：的分布列为：XPk而随机变量Y是X的函数，Y=g(X)，则Y的分布列为：PkY现在学习的是第11页，共28页0.10.10.20.0

5、530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.050 0.050 1 2 3 4 5 0.150.20 0.350.150.101 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 0.10.10.05 0.050.050.10.050.050.20.10.1现在学习的是第12页，共28页0.10.10.20.0530.050.10.050.0520.050.10.10.051210-10.05-3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 0.050.050.350.1 0.15 0.1 0.050.1现在学习的是第13页，共28页0.10.10.20.0530.050.1

6、0.050.0520.050.10.10.051210-10.251 2 30.300.45现在学习的是第14页，共28页例例3 3：已知两随机变量与相互独立，其分布如下：已知两随机变量与相互独立，其分布如下：P P0.30.30.50.50.20.2P P 0.40.40.60.6解：解：P P0.120.380.380.12现在学习的是第15页，共28页解：依题意解：依题意 例例4 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,求求Z=X+Y的分布的分布i=0,1,2,j=0,1,2,即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.k=0,1，

7、X和和Y相互独立相互独立现在学习的是第16页，共28页 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的密度的密度 Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.二、二元连续型随机变量函数的分布二、二元连续型随机变量函数的分布（P61）1、Z=X+Y的分布的分布FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)现在学习的是第17页，共28页 化成累次积分化成累次积分,得得由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式以上两式是两个随机变

8、量和的概率密度的一般公式(P62).现在学习的是第18页，共28页 特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边际密的边际密度分别为度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.（P62）现在学习的是第19页，共28页为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例5 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:由卷积公式由卷积公式即即现在学习的是第20页，共28页如图示如图示:现在学习的是第21页，共28页求求M

9、=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.P63设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),2、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布现在学习的是第22页，共28页M=max(X,Y)(Mz)(Xz,Yz)又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)即有即有 FM(z)=FX(z)FY(z)结论的运用可看一下结论的运用可看一下P63例例5=P63此处的此处的x,y应改为

10、应改为z=Pmax(X,Y)z 现在学习的是第23页，共28页 类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)(Nz)=(Xz,Yz)现在学习的是第24页，共28页设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,(i=0,1，,n)它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数

11、相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n与二维情形类似，可得与二维情形类似，可得:现在学习的是第25页，共28页 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且具相互独立且具有相同分布函数有相同分布函数F(x)时时,常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值实用价值.现在学习的是第26页，共28页此次课要求：此次课要求：（1 1）若若X，Y为离散型随机为离散型随机变量，会由变量，会由X,Y的联合分布求其的联合分布求其函数函数的分布。的分布。(2)(2)了解二元连续型随机变了解二元连续型随机变量函数的分布。量函数的分布。现在学习的是第27页，共28页一、复习本次课堂所授内容及教材P6063 二、练习十一教材P6364 T1(题目中“分布函数”改为“分布律”）T4 三、复习第1、2、3章的全部内容课后作业现在学习的是第28页，共28页