第三节连续型随机变量及其概率密度.ppt

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1、第三节连续型随机变量及其概率密度现在学习的是第1页，共41页 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一所有可能取值充满一个区间个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能象离不能象离散型随机变量那样散型随机变量那样,以指定它取每个值概率以指定它取每个值概率的方式的方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是通过给出而是通过给出所谓所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量的描下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法述方法.现在学习的是第2页，共41页2.3.1 2.3.1 连续型随机变量及其概率密度函数连续型随机变量及其概率密度函数定义：

2、定义：设设 X X 是一随机变量，若存在一个非负是一随机变量，若存在一个非负 可积函数可积函数 f(x)(x)使得使得其中其中 F(x)是它的分布函数是它的分布函数则称则称 X X 是是连续型随机变量连续型随机变量，f(x)是它的是它的概率概率密度函数密度函数(p.d.f.)(p.d.f.)，简称为，简称为密度函数密度函数或或概率密概率密度度现在学习的是第3页，共41页x xf(x)x xF F(x )分布函数分布函数 F(x)F(x)与密度函数与密度函数 f(x)(x)的几何意义的几何意义现在学习的是第4页，共41页概率密度函数概率密度函数f(x)(x)的性质的性质3 3、在在 f(x)f(

3、x)的连续点处，的连续点处，f(x)f(x)描述了描述了X X 在在 x x 附近单位长度的区间内取值的附近单位长度的区间内取值的概率概率.12这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某r.v X 的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件.f(x)xo面积为面积为1现在学习的是第5页，共41页注意注意:对于连续型随机变量对于连续型随机变量X X,P P(X=aX=a)=0)=0这里这里 a 可以是随机变量可以是随机变量 X X 的一个可能的的一个可能的取值取值.命题命题:连续型随机变量取任一常数的概率为零连续型随机变量取任一常数的概率为零.事实上事实上现

4、在学习的是第6页，共41页对于连续型随机变量对于连续型随机变量X Xb bx xf(x)a a现在学习的是第7页，共41页xf(x)a现在学习的是第8页，共41页例例2.3.12.3.1 设随机变量设随机变量 具有概率密度函数具有概率密度函数 试确定常数试确定常数A A，以及以及 的分布函数的分布函数.解解:由由知知A A=3=3，即，即 而而 的分布函数为的分布函数为 现在学习的是第9页，共41页解解 Step1:利用密度函数的性质求出利用密度函数的性质求出 a例：已知密度函数求概率例：已知密度函数求概率 Step2:密度函数在区间的积分得到此区间的概率密度函数在区间的积分得到此区间的概率现

5、在学习的是第10页，共41页例：已知分布函数求密度函数例：已知分布函数求密度函数（2)X2)X 的密度函数的密度函数（2 2）密度函数为密度函数为解解 现在学习的是第11页，共41页解解 当当 x 1 时时01 2 3 4 5yxx当当1 x 0 0 为常数为常数现在学习的是第17页，共41页对于任意的对于任意的 0 a b,0 a b,应用场合应用场合:用指数分布描述的实例有：用指数分布描述的实例有：随机服务系统中的服务时间随机服务系统中的服务时间电话问题中的通话时间电话问题中的通话时间无线电元件的寿命无线电元件的寿命动物的寿命动物的寿命指数分布常作为各种指数分布常作为各种“寿命寿命”分布的

6、近似分布的近似现在学习的是第18页，共41页例例2.3.2令：令：B=B=等待时间为等待时间为10-2010-20分钟分钟 现在学习的是第19页，共41页 2.3.2.3 2.3.2.3 正态分布正态分布若若X X 的密度函数为的密度函数为则称则称 X X 服从服从参数为参数为 ,2 2 的正态分布的正态分布记作记作 X X N N(,2 2)为为常数，常数，现在学习的是第20页，共41页 正态分布是应用最广正态分布是应用最广泛的一种连续型分布泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由高正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高斯分斯加以推广，所以通常称为高斯分布布.德莫佛德莫佛

7、德莫佛最早发现了二项概率德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面为是正态分布的首次露面.现在学习的是第21页，共41页 正态分布的密度函数的性质与图形正态分布的密度函数的性质与图形关于关于 x=x=对称对称（-，）升升，（，（，+）降降n单调性单调性n对称性对称性n拐点拐点中间高中间高两边低两边低y-+x现在学习的是第22页，共41页2，对密度曲线的影响对密度曲线的影响 现在学习的是第23页，共41页 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的对称的钟形曲线。特点是钟形曲线。特点是“两头小，中间大，左右两头小，

8、中间大，左右对称对称”。决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形中决定了图形中峰的陡峭程度。峰的陡峭程度。现在学习的是第24页，共41页应用场合应用场合:若随机变量若随机变量 X X 受到众多相互独立的随机因素的受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加以叠加,则则 X X 服从正态分布服从正态分布.可用正态变量描述的实例非常之多：可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；各种测量的误差；人的生理特征；人的生理特征；工厂产品的尺寸；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；农作物的收获量；海洋

9、波浪的高度；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；学生们的考试成绩；现在学习的是第25页，共41页 正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指

10、标一定服任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布从或近似服从正态分布 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的多分布所不具备的 正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布的重要性正态分布的重要性:现在学习的是第26页，共41页正态分布的分布函数正态分布的分布函数F(x)1 x现在学习的是第27页，共41页 标准正态分布标准正态分布n定义定义X N（0，1）分布称为标准正态分布分布称为标准正态分布 n密度函数密度函数n分布函数分布函数Standard Normal distr

11、ibutionStandard Normal distribution偶函数偶函数 现在学习的是第28页，共41页标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n分布函数分布函数X-x 现在学习的是第29页，共41页标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算n公式公式n查表查表n例例 X N（0，1）现在学习的是第30页，共41页一般正态分布的标准化一般正态分布的标准化n定理定理查标准正态查标准正态分布表分布表n概率计算概率计算 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分

12、布.现在学习的是第31页，共41页一般正态分布的区间概率一般正态分布的区间概率n。n。n。现在学习的是第32页，共41页设设XN（1，4），求），求 P(0X1.6)解解例例现在学习的是第33页，共41页正态分布的实际应用正态分布的实际应用 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若从高分人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录分，问此人能否被录取？取？某单位招聘某单位招聘155155人，按考试成绩录用，共有人，按考试成绩录用，共有526526人报名，假设报名者的考试成绩人报名，假设报名者的考试成绩n分析分析 首先求出首

13、先求出和和然后根据录取率或者分数线确定能否录取然后根据录取率或者分数线确定能否录取现在学习的是第34页，共41页解解 成绩成绩X服从服从 录取率为录取率为 可得可得 得得 查表得查表得 现在学习的是第35页，共41页解解 查表得查表得 .解得解得 故故 设录取的最低分为设录取的最低分为 则应有则应有 某人某人78分，可分，可被录取。被录取。现在学习的是第36页，共41页3 3 准则准则由标准正态分布的查表计算可以求得，由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可能性仅占不到0.

14、3%.当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X|1)=2 (1)-)-1=0.6826 P(|X|2)=2 (2)-)-1=0.9544P(|X|3)=2 (3)-)-1=0.9974现在学习的是第37页，共41页将上述结论推广到一般的正态分布将上述结论推广到一般的正态分布,时，时，可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）.现在学习的是第38页，共41页 例例 公共汽车车门的高度是按男子与车门公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在顶头碰头机会在0.01以下来

15、设计的以下来设计的.设男子设男子身高身高XN(170,62),),问车门高度应如何确定问车门高度应如何确定?解解:设车门高度为设车门高度为h cm,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h)0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h.再看一个应用正态分布的例子再看一个应用正态分布的例子:现在学习的是第39页，共41页因为因为XN(170,62),),故故 P(X0.99所以所以 =2.33,即即 h=170+13.98 184设计车门高度为设计车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01.P(X h)0.99求满足求满足的最小的的最小的 h.现在学习的是第40页，共41页 这一讲，我们介绍了正态分布，它的应这一讲，我们介绍了正态分布，它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道交道.后面第五章中，我们还将介绍为什么这么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布多随机现象都近似服从正态分布.现在学习的是第41页，共41页