大数定律即中心极限定理精.ppt

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1、第1页，本讲稿共46页第一节第一节 大数定律大数定律大数定律依概率收敛定义及性质小结第2页，本讲稿共46页 大量随机试验中大量随机试验中大数定律的客观背景大数定律的客观背景大量抛掷硬币正面出现频率字母使用频率生产过程中的废品率第3页，本讲稿共46页一、大数定律定理定理1（切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫定理的特殊情况）切比雪夫 则对任意的则对任意的0，有，有做前做前 n 个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均第4页，本讲稿共46页证由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式上式中令上式中令得得第5页，本讲稿共46页说明第6页，本讲稿共46页二、依概率收敛定义及性质 定义定义性质性质第7页，本讲稿共46

2、页请注意:第8页，本讲稿共46页第9页，本讲稿共46页问题:伯努利 设设nA是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的次发生的次数，数，p是事件是事件A发生的概率，发生的概率，是事件是事件A发生的频率发生的频率.第10页，本讲稿共46页 设设 nA 是是n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发发生的次数，生的次数，p是事件是事件A在每次试验中发生在每次试验中发生的概率，则对于任意正数的概率，则对于任意正数 0，有，有 定理2（贝努里大数定律）或或 伯努利证明证明第11页，本讲稿共46页 证毕证毕注注 贝努里大数定律表明，当重复试验次数贝努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，

3、事充分大时，事件件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率有较大偏差的概率很小很小.或或第12页，本讲稿共46页下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,相互独立，服相互独立，服从同一分布，具有数学期从同一分布，具有数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对于任意正数则对于任意正数，有，有定理定理3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦大数定律辛钦大数定律辛钦请看演示请看演示第13页，本讲稿共46页 1、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了、辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径一条实际可

4、行的途径.注2、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况、伯努利大数定律是辛钦定理的特殊情况.3、辛钦定理具有广泛的适用性、辛钦定理具有广泛的适用性.要估计某地区的平均亩产量要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性块，例如要收割某些有代表性块，例如n 块块地地.计算其平均亩产量，则当计算其平均亩产量，则当n 较较大时，可用它作为整个地区平均亩大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计产量的一个估计.第14页，本讲稿共46页例 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.设，k=1,2,问对序列问对序列Xk能否应用大数定律？能否应用大数定律？

5、即对任意的即对任意的0,解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律定律.第15页，本讲稿共46页三、小结大大数数定定律律 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：的性质之一：平均结果的稳定性平均结果的稳定性第16页，本讲稿共46页第二节第二节 中心极限定理中心极限定理中心极限定理例题课堂练习小结第17页，本讲稿共46页 中心极限定理的客观背景 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和素的综合（或和)

6、影响所形成的影响所形成的.例如：炮弹射击的例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，落点与目标的偏差，就受着许多随机因就受着许多随机因素（如瞄准，空气素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个每个随机因素随机因素的对的对弹着点（随机变量和）弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的所起的作用都是很小的.那那么么弹着点服从怎样分布哪弹着点服从怎样分布哪？第18页，本讲稿共46页 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用影响所造成，而每一个别因素对这种综

7、合影响中所起的作用不大不大.则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布.自从高斯指出测量误差服从正态自从高斯指出测量误差服从正态分布之后，人们发现，正态分布在分布之后，人们发现，正态分布在自然界中极为常见自然界中极为常见.现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题性问题.高斯高斯 当当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？第19页，本讲稿共46页 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究，故我们不研究n个个随机变量之和本身而考虑

8、它的标准化的随机变量随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量.在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做这一类定理都叫做中心极限定理中心极限定理.第20页，本讲稿共46页一、中心极限定理定理定理1（独立同分布下的中心极限定理独立同分布下的中心极限定理）第21页，本讲稿共46页注 3、虽然在一般情况下，我们很难求出、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的的分布的确切形式，但当确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.第22页，本讲稿共46页定理2（李雅普诺夫(Liapounov)定理)第23页，本讲稿共46页第

9、24页，本讲稿共46页请注意:第25页，本讲稿共46页定理6(棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理）设随机变量设随机变量 (n=1,2,)(n=1,2,)服从参数服从参数n,p(0p1)的二项分布，则对任意的二项分布，则对任意x，有，有证证第26页，本讲稿共46页 定理表明，当n很大，0p1920)设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第39页，本讲稿共46页（1)解：设应取球n次，0出现频率为

10、由中心极限定理由中心极限定理例2解答：第40页，本讲稿共46页欲使即查表得从中解得即至少应取球即至少应取球3458次才次才能使能使“0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少之间的概率至少是是0.95.第41页，本讲稿共46页（2）解：在）解：在100次抽取中次抽取中,数码数码“0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,即其中其中E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09第42页，本讲稿共46页即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之之间间的概率为的概率为0.6826.=0.6826第43页，本讲稿共46页四、小结中中心心极极

11、限限定定理理注注第44页，本讲稿共46页这一节我们介绍了中心极限定理这一节我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线曲线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.第45页，本讲稿共46页五、五、布置作业布置作业概率论与数理统计标准化作业（五）概率论与数理统计标准化作业（五）概率论与数理统计标准化作业（五）概率论与数理统计标准化作业（五）第46页，本讲稿共46页