第四章齐次变换精选PPT.ppt
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1、第四章齐次变换1第1页,此课件共52页哦2.1 引言 机器人位置和姿态的描述机器人可以用一个开环关节链来建模由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成一端固定在基座上,另一端是自由的,安装工具,用以操纵物体人们感兴趣的是操作机末端执行器相对人们感兴趣的是操作机末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述,也于固定参考坐标数的空间几何描述,也就是机器人的运动学问题就是机器人的运动学问题机器人的运动学即是研究机器人手臂机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系间之间的关系2第2页,此课件共52页哦丹纳维特(Denavit)和哈顿贝格(
2、Hartenberg)于1955年提出了一种矩阵代数方法解决机器人的运动学问题D-H方法具有直观的几何意义能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题其数学基础即是齐次变换3第3页,此课件共52页哦2.2 齐次坐标 一般来说,n维空间的齐次坐标表示是一个(n+1)维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间,也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标比例系数。式中式中i,j,k为为x,y,z 轴上的单位矢量,轴上的单位矢量,a=,b=,c=,w为比例系数为比例系数 显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随显然,齐次坐标表达并不是唯一的,随w值的值的不同而不同。在计算机图学中,不同而不同。在计算机图学中,w
3、作为通用比作为通用比例因子,它可取任意正值,但在机器人的运动例因子,它可取任意正值,但在机器人的运动分析中,总是取分析中,总是取w=1。列矩阵列矩阵4第4页,此课件共52页哦例:可以表示为:可以表示为:V=3 4 5 1 V=3 4 5 1T T 或或 V=6 8 10 2 V=6 8 10 2T T 或或 V=-12 -16 -20 -4 V=-12 -16 -20 -4T T 5第5页,此课件共52页哦 齐次坐标与三维直角坐标的区别V点在OXYZ坐标系中表示是唯一的(x、y、z)而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。6第6页,此课件共52页哦 几个特定意
4、义的齐次坐标:0,0,0,nT坐标原点矢量的齐次坐标,n为任意非零比例系数 1 0 0 0T指向无穷远处的OX轴0 1 0 0T指向无穷远处的OY轴 0 0 1 0T指向无穷远处的OZ轴 7第7页,此课件共52页哦2.3坐标系在固定参考坐标系原点的表示一个中心位于参考坐标系原点的坐标系由三个向量表示,通常这三个向量相互垂直,称为单位向量每个单位向量都由它们所在参考坐标系中的三个分量表示。则坐标系可以由三个向量以矩阵的形式表示为:8第8页,此课件共52页哦2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示在该坐标系的原点与参考坐标系的原点之间做一个向量来表示该坐标系的位置。这个向量由相对于参考坐标系的三个分量
5、来表示。那么,这个坐标系就可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示。P9第9页,此课件共52页哦2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示前三个向量是w0的方向向量,表示该坐标系的三个单位向量 的方向,而第四个w1的向量表示该坐标系原点相对于参考坐标系的位置。P10第10页,此课件共52页哦2.4坐标系在固定参考坐标系中的表示例:如图所示的F坐标系位于参考坐标系中3,5,7的位置,它的n轴与x轴平行,o轴相对于y轴的角度为45,a轴相对于z轴的角度为45。该坐标系可表示为:P454511第11页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵在同一矩阵中既表示姿态又表示位置,那么可以在矩阵中加入比例
6、因子使之成为44矩阵。如果只表示姿态,则可去掉比例因子得到33矩阵。这种形式的矩阵称为齐次矩阵:12第12页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵变换定义为空间的一个运动,当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时,这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。变换可有以下几种形式:(1)纯平移变换;(2)绕一个轴的纯旋转变换;(3)平移与旋转相结合的变换。13第13页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵纯平移纯平移的变换:一个坐标系在空间以不变的姿态运动。它的方向单位向量保持同一方向不变。所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化。相对于固定参考坐标系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的
7、原点位置向量加上表示位移的向量求得。若用矩阵形式,新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。由于在纯平移中方向向量不变,变换矩阵T可以简单地表示为:P14第14页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵纯平移变换P15第15页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵纯平移变换结论:1.新坐标系位置可通过在坐标系矩阵前面左乘变换矩阵得到;2.方向向量经过纯平移后保持不变,但新的坐标系的位置是各向量相加的结果;3.齐次变换矩阵与矩阵乘法的关系使得到的新矩阵的维数各变换前相同。16第16页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵纯平移变换例:坐标系F沿参考坐标系的x轴移动9个单位,沿z轴移动5个单位。求新的
8、坐标系位置。17第17页,此课件共52页哦OaP当坐标系绕x轴旋转时,坐标系上的点P也随坐标系一起旋转。旋转前,P点在两个坐标系中的坐标是相同的。旋转后,该点的坐标在旋转坐标系中保持不变,但在参考坐标系中改变了。求P点在固定参考坐标系中的新坐标。为了简化绕轴旋转的推导,首先假设该坐标系位于参考坐标系的原点。然后推广到其他的旋转以及旋转的组合。P点为旋转坐标系上的一点则:P点相对于参考坐标系的坐标为:P点相对于运动坐标系的坐标为:2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换xyzaoPn(n)18第18页,此课件共52页哦OaP任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位方向的投影。2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转
9、的变换xyzaoPn(n)要求可以先求在X、Y、Z单位方向上的分量,则:19第19页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换20第20页,此课件共52页哦2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换21第21页,此课件共52页哦例例:旋旋转转坐坐标标系系中中有有一一点点,此此坐坐标标系系绕绕参参考考坐坐标系标系x x轴旋转轴旋转9090。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。求旋转后该点相对于参考坐标系的坐标。2.5齐次变换矩阵绕轴纯旋转的变换22第22页,此课件共52页哦例例1:在动坐标中有一固定点:在动坐标中有一固定点 ,相对固定参考坐标系,相对固定参考坐标系 做如下运动:做如下运动:R(
10、x,90););R(z,90);R(y,90)。求点。求点 在在固定参考坐标系固定参考坐标系 下的位置。下的位置。解解1:用画图的简单方法:用画图的简单方法 2.5齐次变换矩阵复合变换23第23页,此课件共52页哦解解2:用分步计算的方法:用分步计算的方法 R(x,90)R(z,90)R(y,90)(2-14)(2-15)(2-16)24第24页,此课件共52页哦 上述计算方法非常繁琐,可以通过一系列计算得到上述结果。将上述计算方法非常繁琐,可以通过一系列计算得到上述结果。将式(式(2-14)()(2-15)()(2-16)联写为如下形式:)联写为如下形式:R4x4为二者之间的关系矩阵,我们令
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