计算机图形学第五章曲线和曲面优秀课件.ppt

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1、计算机图形学第五章曲线和曲面第1页，本讲稿共50页5.2 曲线分析1）曲线上的活动坐标架设曲线为P(t)=x(t),y(t),z(t)，则：n切矢量：P(t)（当t为弧长时是单位矢），单位切矢记为T。n法矢量：过曲线上任意一点，以切矢为法线的平面称为法平面。l主法矢：当以弧长为参数时，切矢的导矢是一个与切矢垂直的矢量，其单位矢称为主法矢，记为N。l副法矢（记为B）B=TNT(单位切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)构成了曲线上的活动坐标架；N、B构成的平面称为法平面；N、T构成的平面称为密切平面（它与曲线最贴近）；B、T构成的平面称为从切平面。对于一般参数t，有：第2页，本讲稿共50页2）曲线的

2、曲率曲率和挠率挠率n曲率：由于T(s)与N平行，令T(s)=N,(kappa)称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转动率。恒为正，又称为绝对曲率。曲率的倒数=1/，称为曲率半径。n挠率：由B(s)(s)=0，两边求导，可得：B(s)(s)=0；又由|B(s)|2=1，两边求导，可得：B(s)B(s)=0；所以，B(s)N(s)，再令B(s)=-N(s)，(tau)称为挠率，其几何意义是副法矢方向对于弧长的转动率。挠率大于0、等于0和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。对于一般参数t，可以推导出曲率和挠率的计算公式如下：TNB注意：曲率和挠率是几何量，其值与参数的选

3、择无关。第3页，本讲稿共50页示例：左旋右旋螺旋线当圆柱轴线平放时，用手握住圆柱并伸直拇指，拇指代表动点移动的方向，其余四个手指代表动点的转动方向，符合右手为右旋螺旋线，如图()所示；符合左手为左旋螺旋线，如图(b)所示。()右旋螺旋线 (b)左旋螺旋线 第4页，本讲稿共50页5.3 曲面与曲面分析1）曲面的表示P=P(u,v)，u1uu2，v1vv2固定其中一个参数例如v=v0，则曲面变成单参数u的矢函数P=P(u,v0)，表示曲面上的一条以u为参数的参数曲线，简称u线。类似地，P=P(u0,v)表示曲面上的一条v线。所以，参数曲面上存在两组等参数线，即一组u线和一组v线。在曲面上一点P(u

4、0,v0)处，总存在一条u线和一条v线。u线在该点有一个切矢Pu(u0,v0)，称为u向切矢。v线在该点也有一个切矢Pv(u0,v0)，称为v向切矢。这两个切矢的矢量积，决定了该点处的曲面法矢n(u0,v0)。将曲面上的每一点P(u,v)，沿法矢方向n移动一个固定距离d，就得到该曲面的一个等距面P(u,v)=P(u,v)+dn(u,v)。第5页，本讲稿共50页如果曲面的两族等参数线：u线与v线中，有一组是直线，则称该曲面为直纹面。它可以看成直线段在空间连续运动扫出的轨迹。直纹面上的直线族称为母线。在直纹面上取一条曲线与所有母线相交，称之为准线。在准线=(u)每一点的母线方向上给定一个非零矢量(

5、u)。则直纹面方程可以写为P(u,v)=(u)+v(u)。当(u)为固定时，直纹面为柱面。当(u)为变矢量，且准线缩为一点时，直纹面为锥面。机翼表面通常为直纹面。如果直纹面沿它的每一条母线只有唯一的切平面（或者说沿直母线,法向量平行），则称该直纹面为可展曲面。可展曲面可以通过简单的弯曲来展平。圆柱面和圆锥面都是可展的，曲线的切线曲面（曲线上所有点的切线的集合）也是可展的，但机翼的直纹面就不一定。2）直纹面与可展曲面单叶双曲面和双曲抛物面都不是可展曲面第6页，本讲稿共50页3）曲面的曲率性质研究曲面的弯曲程度，通常是通过研究法截线的曲率来实现的。通过曲面上一点法线的平面与曲面的交线称为法截线，法

6、截线的曲率n称为法曲率，围绕法线旋转的每一个平面会产生一个法截线，因此曲面上一点的法曲率有无穷多个，这些法曲率的最大值和最小值称为主曲率，而且两个主曲率所在的方向是相互垂直的，称为主方向，其它方向的法曲率可以由主曲率计算：n 1cos2 2sin2其中为该方向与主曲率的1所在主方向的夹角。两个主曲率的乘积称为高斯曲率（Gaussian）或全曲率、总曲率。两个主曲率的均值称为平均曲率或中曲率。如果曲面上的一条曲线，其切线方向总是在一个主方向，这样的曲线称为曲率线。第7页，本讲稿共50页5.4 曲线的插值、逼近与拟合 插值：给定一组有序的数据点Pi，i=0,1,n，构造一条曲线顺序通过这些数据点，

7、称为对这些数据点进行插值，所构造的曲线称为插值曲线。逼近：构造一条曲线使之在某种意义下最接近给定的数据点，称为对这些数据点进行逼近，所构造的曲线称为逼近曲线。拟合：插值与逼近统称为拟合。第8页，本讲稿共50页多项式插值：通过n1个数据点Pi（i0，1，n）和对应的参数ti（i0，1，n）可以构造n次插值多项式其中ai是与Pi维数一致的向量，例如三维。多项式逼近：随着控制点增多，多项式的次数不断增高，摆动剧烈，稳定性降低。而且常常数据点是带有误差的，没有必要严格通过，这时可以用低阶多项式进行逼近，逼近时采用的方法通常是最小二乘法：第9页，本讲稿共50页为一组有序的数据点(P0,P1,Pn)赋予相

8、应的一组参数值(t0t1tn，每个参数点称为节点)称之对这组数据点实行参数化。对一组数据点(P0,P1,Pn)实行参数化的常用方法有以下几种：均匀参数化(等距参数化)，在型值点不均匀时不理想。累加弦长参数化，考虑到弧长因素：向心参数化法，又称平方根法：修正弦长参数化法，在四种方法中效果最好：5.5 参数化 第10页，本讲稿共50页5.6 几何连续性 设计一条复杂形状曲线时，一般是通过多段简单曲线的拼接完成的。这就涉及曲线在拼接处的连续性问题。拼接曲线的连续性（或称光滑性）有两类度量方式：n一类称为参数连续性：如果曲线函数对表达它的特定参数（并非所有参数）具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n

9、阶参数连续性，简称Cn连续。n另一类称为几何连续性：如果曲线函数对弧长参数具有直达n阶的连续导矢，则称该曲线具有n阶几何连续性，简称Gn连续。曲线光滑度的两类度量并无因果关系，都能描述曲线的光滑性。由于弧长是几何量，所以几何连续性更能够代表曲线的光滑性。第11页，本讲稿共50页5.6 几何连续性（续）对于一般参数表达的多项式曲线的拼接，要想达到G2连续，在连接点处必须满足：G0连续：即两段曲线首尾相接。G1连续：要求两条曲线在首尾相接处的切矢方向相同。因为两条曲线对弧长参数的导数都是单位矢，再加上方向相同，就意味着两条曲线在首尾相接处的弧长参数一阶导矢连续。G2连续：要求曲率相同，并且副法矢方

10、向相同。曲率相同保证了在首尾相接处弧长参数的二阶导矢大小相同，副法矢方向相同又保证了弧长参数的二阶导矢方向（主法矢）相同，即在首尾相接处弧长参数的二阶导矢连续。对一般参数来说，主法矢是副法矢与切矢的矢量积。第12页，本讲稿共50页5.7 参数三次样条曲线（插值）通过n+1数据点Pi（i0，1，n）的一条分段连续的3次多项式曲线，如果在两个数据点之间表示为一个三次多项式，各段多项式在数据点处（连接处）保持C2连续性，这种曲线称为参数三次样条曲线，这种样条曲线使用非常普遍。具体实现时，设其参数分割为u0u10，其余wi0，以防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致权因子而退化为一点；节点矢量为Tt0,

11、t1,ti,tn+k+1，节点个数是m=n+k+2（n1为控制项的点数，k为B样条基函数的次数）。第41页，本讲稿共50页2）NURBS曲线有理基函数的性质Ri,k(t)具有k次B样条基函数类似的性质：第42页，本讲稿共50页3）NURBS曲线的性质 NURBS曲线与B样条曲线也具有类似的几何性质(1)局部性质：k次NURBS曲线上参数为tti,ti+1)tk,tn+1)的一点P(t)至多与k+1个控制顶点Pj及权因子j，j=i-k,i-k+1,i有关，与其它顶点及权因子无关；另一方面，若移动k次NURBS曲线的一个控制顶点Pi或改变所联系的权因子，将仅仅影响定义在区间ti,ti+k+1)tk

12、,tn+1)上那部分曲线的形状，对NURBS曲线的其它部分不发生影响。(2)变差减小性质。(3)强凸包性：定义在非零节点区间ti,ti+1)tk,tn+1)上那一曲线段位于定义它的k+1个控制点Pi-k,Pi-k+1,Pi的凸包内。整条NURBS曲线位于所有定义各曲线段的控制顶点的凸包的并集内。所有权因子大于零保证凸包性质的成立。(4几何不变性及仿射不变性。(5)在曲线定义域内有与有理基函数同样的可微性。(6)如果某个权因子i为零，那么相应控制顶点Pi对曲线没有影响。(7)若i，则当tti,ti+k+1)时，P(t)=Pi。(8)非有理与有理Bezier曲线和非有理B样条曲线是NURBS曲线的

13、特殊情况。第43页，本讲稿共50页4）NURBS曲线的几何意义以二维NURBS曲线为例：根据每个数据点（xi，yi）（i=0,1,n）的权值wi将它表示为其次坐标（wixi，wiyi，wi）。在其次坐标空间中，作出数据点的B样条曲线：显然，将得到的三维空间中的B样条曲线，从齐次坐标返回原来的二维空间，得到的就是NURBS曲线。很容易将二维情况推广到n维，这种几何解释也被称为NURBS曲线的齐次坐标表示。据此，可以通过研究其次坐标空间中的B样条曲线性质，研究NURBS曲线。第44页，本讲稿共50页5.13 NURBS曲面 1）NURBS曲面的定义 由双参数变量、分段有理多项式定义的NURBS曲面

14、是：Pij(i=0,1,m，j=0,1,n)是拓扑矩形域上的特征网格控制点列，ij是相应控制点的权因子，规定四角点处用正权因子，即00,m0,0n,mn0，其余ij 0。Ni,p(u)，i=0,1,m和Nj,q(v)，j=0,1,n分别为u向p次和v向q次的B样条基函数，它们分别由u向与v向的节点矢量U=u0,u1,um+p+1与V=v0,v1,vn+q+1，按de Boor-Cox公式计算。Ri,p;j,q(u,v)(i=0,1,m，j=0,1,n)是双变量有理基函数：第45页，本讲稿共50页2）NURBS曲面有理基函数的性质NURBS曲面有理基函数与非有理B样条基函数相类似的性质，例如：（

15、3）可微性：在每个子矩形域内所有偏导数存在，在重复度为r的u节点处沿u向是p-r次可微，在重复度为r的v节点处沿v向是q-r次可微；（4）NURBS曲面双变量有理基函数是双变量B样条基函数的推广。即当所有ij=1时，Ri,p;j,q(u,v)=Ni,p(u)Nj,q(v)第46页，本讲稿共50页3）NURBS曲面的性质 NURBS曲面与非有理B样条曲面有相类似的几何性质，大多数NURBS曲线的性质可以直接推广到NURBS曲面，例如：（1）局部性质（2）凸包性质（3）几何不变性及仿射不变性。（4）沿u向在重复度为r的u节点处是Cp-r参数连续的；沿v向在重复度为r的v节点处是Cq-r参数连续的。

16、（5）权因子的几何意义及修改、控制顶点的修改等与NURBS曲线类似。第47页，本讲稿共50页5.14 NURBS方法的主要优点（1）既为标准的解析形状，也为自由型曲线曲面的精确表示与设计提供了一个公共的数学形式。（2）由操纵控制顶点及权因子，为各种形状设计提供了充分的灵活性（3）计算稳定且速度相当快。（4）与B样条方法一样，具有明显的几何解释和强有力的几何配套技术。（5）几何不变性及仿射不变性。（6）非有理B样条、有理与非有理Bezier方法可以处理为它的特例。第48页，本讲稿共50页5.15 NURBS存在的问题（1）需要额外的存储以定义传统的曲线曲面。例如，空间圆需7个参数(圆心、半径、法矢)，而NURBS定义空间圆需38个参数。（2）权因子有可能不合适。（3）有些技术用传统的形式比用NURBS工作更好。（4）某些基本算法，例如反求曲线曲面上点的参数值，存在数值不稳定问题。第49页，本讲稿共50页例：NURBS对圆的表示圆是二次曲线，所以使用二次NURBS表示圆。NURBS表示圆有多种方法，包括下图中的方法，即七顶点构成的外切正方形表示整圆：U0，0，0，1/4，1/2，1/2，3/4，1，1，1p1;w1=1/2p2;w2=1/2p3;w3=1p4;w4=1/2p5;w5=1/2p0=p6;w0=w6=1一共38个参数，注意：空间点是三维坐标第50页，本讲稿共50页