第二节离散性随机变量及其分布.ppt

《第二节离散性随机变量及其分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二节离散性随机变量及其分布.ppt（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二节离散性随机变量及其分布现在学习的是第1页，共32页 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X X这个这个随机变量取值的概率规律。随机变量取值的概率规律。从中任取从中任取3个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X X可能取的值是可能取的值是0,1,20,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为例例2.1且且现在学习的是第2页，共32页 1、定义、定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有可能取值为的所有可能取值为xk（k=1,2,），称），称X取各个可能值的概率，即事件取各个可能值的概率，即事件X=xk的概率，的概率，PX=xk=pk,（k=1,2,）为为X的的分布

2、律分布律或概率分布或概率分布（Probability distribution）。也可以表示为也可以表示为Xx1 x2xkpkp1p2pk一、离散型随机变量概率分布的定义一、离散型随机变量概率分布的定义现在学习的是第3页，共32页用这两条性质判断一个函数是否是概率分布（1）pk 0,k1,2,;（2）2.分布律的性质分布律的性质例例2.2 设随机变量设随机变量X X的概率分布为：的概率分布为：k=0,1,2,试确定常数试确定常数a。现在学习的是第4页，共32页解解:依据概率分布的性质依据概率分布的性质:PX=k0,a0从中解得从中解得 。欲使上述函数为概率分布欲使上述函数为概率分布这里用到了幂

3、级数展这里用到了幂级数展开式开式k=0,1,2,现在学习的是第5页，共32页3.利用分布律求事件概率利用分布律求事件概率离散型随机变量的分布律不仅给出了离散型随机变量的分布律不仅给出了X=xk 的概率，而且通过它可以求事件的概率，而且通过它可以求事件发生的概率。发生的概率。由概率的有限可加性有由概率的有限可加性有现在学习的是第6页，共32页例例2.3 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只红。现从中任取只红。现从中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的概率。的概率。解：解：k可取值可取值0，1，2，求抽得白球数至少为求抽得白球数至少为的概率。

4、的概率。?现在学习的是第7页，共32页例例2.4 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.90.9，求他两次独，求他两次独立投篮投中次数立投篮投中次数X X的分布律。的分布律。解：解：X可取可取0、1、2为值为值 PX=0=(0.1)(0.1)=0.01 PX=1=2(0.9)(0.1)=0.18 PX=2=(0.9)(0.9)=0.81 且且 PX=0+PX=1+PX=2=1现在学习的是第8页，共32页1.（0-1）分布）分布若随机变量若随机变量X只取只取0和和1，其分布律为，其分布律为 PXkpk(1p)1k,k0,1 (0p1)则称则称X服从参数为服从参数为p的的（0-1

5、）分布）分布(贝努利分布或两点分布贝努利分布或两点分布)（Two-point distribution）。）。二、二、常见的离散型随机变量的概率分布常见的离散型随机变量的概率分布其分布律也可以写成其分布律也可以写成现在学习的是第9页，共32页 凡是随机试验只有两个可能的结果，常用凡是随机试验只有两个可能的结果，常用0-1分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正分布描述，如产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等。常、电力消耗是否超负荷等等。应用场合应用场合 200件产品中，有件产品中，有196件是正品，件是正品，4件是次品，件是次品，今从中随机地抽取一件，若规定今

6、从中随机地抽取一件，若规定例例2.5X=1,1,取到合格品取到合格品0,0,取到不合格品取到不合格品则则 PX=1=196/200=0.98，PX=0=4/200=0.02，故故X服从参数为服从参数为0.98的两点分布的两点分布。现在学习的是第10页，共32页若以若以X表示表示n重伯努利试验事件重伯努利试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从参数为服从参数为n,p的的二项分布（二项分布（binomial distribution）。）。记作记作Xb（n,p),其分布律为：其分布律为：2.伯努利试验、二项分布伯努利试验、二项分布设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n次，每次试验都只有

7、两种可次，每次试验都只有两种可能的结果能的结果A和和 ，设事件，设事件A发生的概率为发生的概率为p，则称这，则称这n次次试验为试验为n重伯努利试验。重伯努利试验。现在学习的是第11页，共32页 例例2.6 从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6个交通岗，假设在各个交通岗是否遇个交通岗，假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是到红灯相互独立，并且遇到红灯的概率都是1/3。（1）设）设X为汽车行驶途中遇到的红灯数，求为汽车行驶途中遇到的红灯数，求X的分布律。的分布律。（2）求汽车行驶途中至少遇到）求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率。次红灯的概率。解解:（1 1）由题意

8、，由题意，X b(6,1/3),于是于是X的分布律为的分布律为:现在学习的是第12页，共32页例例2.7 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试次，试求其命中次数不少于求其命中次数不少于2的概率。的概率。解解：设设X表示表示400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则Xb(400,0.02)，故故,PX 2=1-PX=0-PX=1 =1-0.98400-(400)(0.02)(0.98399)=0.9972。例例2.8，见，见P35例例2。现在学习的是第13页，共32页注注:伯努利概型对试验结果伯努利概型对试验结果没有等可能的要求没有等可

9、能的要求，但有，但有下述要求：下述要求：（1 1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n n重伯努利试验中出现重伯努利试验中出现“成成功功”次数次数X X的概率分布。的概率分布。（3 3）各次试验相互独立。）各次试验相互独立。（2 2）每次试验只考虑两个互逆结果每次试验只考虑两个互逆结果A或或 A，且且P(A)=p，P(A)=1-p；现在学习的是第14页，共32页二项分布二项分布 b(n,p)和和0-1分布之间的关系分布之间的关系1.若若X服从服从0-1分布，则分布，则X b(1,p)；2.把试验把试验E在相同条件下，相互独立地进行在相同条件下，相互独立地进行

10、n次，记次，记X为为n次独立试验中结果次独立试验中结果A出现的次数，出现的次数，Xi为第为第i次试验中结果次试验中结果A出现的次数，出现的次数，则则Xi b(1,p)，且，且X=X1+X2+Xn b(n,p)。设试验设试验E只有两个结果：只有两个结果：A和和 A。记记p=P(A),0p1现在学习的是第15页，共32页3.泊松泊松(Poisson)分布分布定义定义 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为PXk ,k0,1,2,(0),则则称称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记为的泊松分布，记为X()。易见易见现在学习的是第16页，共32页例例2.9 某一无线寻呼台，每分钟收到

11、寻呼的次数某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参服从参数数 =3 的泊松分布。的泊松分布。求：求：（1）一分钟内恰好收到）一分钟内恰好收到3次寻呼的概率。次寻呼的概率。（2）一分钟内收到）一分钟内收到2至至5次寻呼的概率次寻呼的概率。解：解：因为因为 X(3)，所以，所以X的分布律为的分布律为 PX=k=(3k/k!)e-3,k0,1,2,.则，（则，（1）PX=3=(33/3!)e-30.2240 （2）P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169现在学习的是第17页，共32页解解:例例2.10

12、 某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为服从参数为0.8的泊松分布。求该城市一天内发生的泊松分布。求该城市一天内发生3次以上火灾的次以上火灾的概率。概率。PX3=1-PX3 =1-PX=0+PX=1+PX=2 =1-(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)e-0.8 0.0474 现在学习的是第18页，共32页泊松分布的图形特点：泊松分布的图形特点：Xp p()现在学习的是第19页，共32页历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的。年由法国数学家泊松引入的。泊松定理：泊松定理：

13、对于二项分布对于二项分布b(n,p)，当，当n充充分大，分大，p又很小时，则对任意固定的非负整又很小时，则对任意固定的非负整数数k，有近似公式，有近似公式 PX=k=pk(1-p)n-k 其中其中 。现在学习的是第20页，共32页对对例例2.用泊松定理，取用泊松定理，取 =np(400)(0.02)8，故近，故近似地有似地有 PX 21 PX0P X11(18)e80.996981。现在学习的是第21页，共32页由泊松定理，由泊松定理，n重伯努利试验中稀有事件出现的次重伯努利试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布。数近似地服从泊松分布。我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作我们把在每次试

14、验中出现概率很小的事件称作稀有事件，稀有事件，如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等。现在学习的是第22页，共32页对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也也就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，就知道了该随机变量取值的概率规律。在这个意义上，我们说我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。离散型随机变量由它的概率分布唯一确定。两点分布、二项分布、泊松分布两点分布、二项分布、泊松分布现在学习的是第23页，共32页对非离散型随机变量，其取值不是离散的，有时可以对非离散型随机变量，其取值不是离散

15、的，有时可以充满整个区间，对于这种更一般的随机变量，充满整个区间，对于这种更一般的随机变量，我们感我们感兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值兴趣的就不是它取到某个具体的数的概率，而是它的取值落在某一个区间上的概率，比如：落在某一个区间上的概率，比如：Px1a。Px1a=1-PX a。为此我们引入随机变量分布函数的概念。为此我们引入随机变量分布函数的概念。现在学习的是第24页，共32页设设X是随机变量，对任意实数是随机变量，对任意实数x，事件，事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数（分布函数（Distribution function），），记为记为F

16、(x)，即，即 F(x)PX x。易知，对任意实数易知，对任意实数a,b(ab)，PaX bPX bPX a F(b)F(a)。一、分布函数的概念一、分布函数的概念现在学习的是第25页，共32页1.这里分布函数的定义对任何随机变量都适用这里分布函数的定义对任何随机变量都适用。2.分布函数分布函数F(x)P X x 是一个普通的函数，它的是一个普通的函数，它的自自变量是全体实数变量是全体实数。掌握了。掌握了X的分布函数就掌握了的分布函数就掌握了X在在(,+)上的概率分布情况。上的概率分布情况。注注:现在学习的是第26页，共32页1、单调不减性：单调不减性：若若x1x2，则则F(x1)F(x2);

17、3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，二、分布函数的性质二、分布函数的性质2、归一归一 性：性：对任意实数对任意实数x，0 F(x)1，且，且这三个性质是分布函数的充分必要性质现在学习的是第27页，共32页例例2.11 设设随机随机变变量量X具分布律如右表，具分布律如右表，试试求出求出X的分布的分布函数及函数及PX1,P0.5X1.5,P1X2。解：解：X012Pk0.10.60.3现在学习的是第28页，共32页PX1=F(1)=0.7,P0.5X 1.5=F(1.5)-F(0.5)=0.7-0.1=0.6,P1 X 2=F(2)-F(1)+PX=1=1-0.7+0.6=0.9 现在

18、学习的是第29页，共32页一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为其分布函数为 现在学习的是第30页，共32页例例2.12 向向0,1区区间间随机抛一随机抛一质质点，以点，以X表示表示质质点坐点坐标标。假定假定质质点落在点落在0,1区区间间内任一子区内任一子区间间内的概率与区内的概率与区间长间长成正比，求成正比，求X的分布函数。的分布函数。当当x1时，时，Xx=S,故故F(x)=1。现在学习的是第31页，共32页用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？?a ab b现在学习的是第32页，共32页