第二节迭代法及其收敛性.ppt

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1、第二节迭代法及其收敛性现在学习的是第1页，共35页对于一般的非线性方程对于一般的非线性方程,没有通常所说的求根公式求其精确解没有通常所说的求根公式求其精确解,需要设计近似求解方法需要设计近似求解方法,即即迭代法迭代法。它是一种逐次逼近的方法。它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复校正根的近似值用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。到满足精度要求的结果。10.2 迭代法及其收敛性迭代法及其收敛性现在学习的是第2页，共35页10.2.110.2.1不动点迭代法的基本概念和迭代格式的构造不动点迭代法的基本概念和迭代格式的构造将方程（1

2、.1）改写成等价的形式（2.1）若要求满足，则；反之亦然，称为函数的一个不动点.求的零点就等价于求的不动点，选择一个初始近似值，将它代入(2.1)右端，即可求得如此反复迭代计算（2.2）现在学习的是第3页，共35页 称为迭代函数.如果对任何 ，由（2.2）得到的迭代序列 有极限 则称迭代方程(2.2)收敛，且 为 的不动点，故称（2.2）为不动点迭代法不动点迭代法.上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程（2.1）归结为一组显式的计算公式（2.2），就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲线 与直线 的交点 对于 的某个近似值 ，在曲线 上

3、可确定一点 ，它以 为横坐标，而纵坐标则等于 现在学习的是第4页，共35页过引平行轴的直线，设此直线交直线于点，然后过再作平行于轴的直线，它与曲线的交点记作，则点的横坐标为，纵坐标则等于图1-2现在学习的是第5页，共35页例例11求方程（2.3）在附近的根解解设将方程（2.3）改写成下列形式按图1-2中箭头所示的路径继续做下去，在曲线上得到点列，其横坐标分别为依公式求得的迭代值据此建立迭代公式如果点列趋向于点，则相应的迭代值收敛得到所求的根现在学习的是第6页，共35页各步迭代的结果见表.如果仅取6位数字，那么结果与完全相同，这时可以认为实际上已满足方程(2.3)，即为所求的根.现在学习的是第7

4、页，共35页但若采用方程（2.3）的另一种等价形式建立迭代公式仍取迭代初值，则有结果会越来越大，不可能趋于某个极限.这种不收敛的迭代过程称作是发散发散的.一个发散的迭代过程，纵使进行了千百次迭代，其结果也是毫无价值的.现在学习的是第8页，共35页xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=(x)y=(x)y=(x)y=(x)x0p0 x1p1x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p1x2 现在学习的是第9页，共35页10.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性不动点的存在性与迭代法的收敛性 首先考察在上不动点的存在唯一性.定理定理11设满足以下两个条件：1映内性映

5、内性对任意有2压缩性压缩性存在正常数,使对都有（2.4）现在学习的是第10页，共35页证明证明先证不动点存在性.若或，显然在上存在不动点.因，以下设及，定义函数显然，且满足，由连续函数性质可知存在使，即即为的不动点.现在学习的是第11页，共35页再证唯一性.设都是的不动点，则由(2.4)得引出矛盾.故的不动点只能是唯一的.证毕.现在学习的是第12页，共35页定理定理.2.2设满足定理1中的两个条件，则对任意，由（2.2）得到的迭代序列收敛收敛到的不动点，并有误差估计误差估计（2.5）证明证明设是在上的唯一不动点，由条件1，可知，再由（2.4）得因，故当时序列收敛到.再证明估计式（2.5），由李

6、普希兹条件有（2.6）现在学习的是第13页，共35页反复递推得于是对任意正整数有在上式令，注意到即得式（2.5）证毕.迭代过程是个极限过程.在用迭代法实际计算时，必须按精度要求控制迭代次数.现在学习的是第14页，共35页误差估计式（2.5）原则上可用于确定迭代次数，但它由于含有信息而不便于实际应用.根据式（2.6），对任意正整数有在上式中令知由此可见，只要相邻两次计算结果的偏差足够小即可保证近似值具有足够精度.对上述定理中的压缩性，在使用时如果且对任意有现在学习的是第15页，共35页（2.7）则由中值定理可知对有表明定理中的压缩性条件可用（2.7）代替.例7.2.3中，当时，,在区间中，故（2

7、.7）成立.又因，故定理1中条件1也成立.所以迭代法是收敛的.而当时，在区间中不满足定理条件.现在学习的是第16页，共35页10.3 局部收敛性与收敛阶局部收敛性与收敛阶 上面给出了迭代序列在区间上的收敛性，通常称为全局收敛性.定理的条件有时不易检验，实际应用时通常只在不动点的邻近考察其收敛性，即局部收敛性.定义定义7.2.17.2.1设有不动点，如果存在的某个邻域，对任意，迭代（2.2）产生的序列，且收敛到，则称迭代法（2.2）局部收敛局部收敛.现在学习的是第17页，共35页定理定理7.2.37.2.3设为的不动点，在的某个邻域连续，且，则迭代法（2.2）局部收敛.证明证明由连续函数的性质，

8、存在的某个邻域，使对于任意成立此外，对于任意，总有，这是因为于是依据定理7.2.2可以断定迭代过程对于任意初值均收敛.证毕.现在学习的是第18页，共35页解解这里，可改写为各种不同的等价形式，其不动点为由此构造不同的迭代法：例例7.2.27.2.2用不同方法求方程的根讨论迭代序列的收敛速度.现在学习的是第19页，共35页取，对上述4种迭代法，计算三步所得的结果如下表.现在学习的是第20页，共35页注意，从计算结果看到迭代法（1）及（2）均不收敛，且它们均不满足定理3中的局部收敛条件，迭代法（3）和（4）均满足局部收敛条件，且迭代法（4）比（3）收敛快，因在迭代法（4）中.现在学习的是第21页，

9、共35页定义定义7.2.27.2.2设迭代过程收敛于方程的根，如果迭代误差当时成立下列渐近关系式则称该迭代过程是阶收敛阶收敛的,C为渐进误差常数渐进误差常数.特别地,时称线性收敛线性收敛，时称超线性收敛超线性收敛，时称平方收敛平方收敛.现在学习的是第22页，共35页现在学习的是第23页，共35页现在学习的是第24页，共35页证明证明先证充分性先证充分性由于，据定理7.2.3立即可以断定迭代过程具有局部收敛性.再将在根处做泰勒展开，利用条件（2.8），则有注意到，由上式得因此对迭代误差，当时有（2.9）这表明迭代过程确实为阶收敛.证毕.现在学习的是第25页，共35页现在学习的是第26页，共35页

10、上述定理说明，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数的选取.如果当时，则该迭代过程只可能是线性收敛.在例7.2.2中，迭代法（3）的，故它只是线性收敛，而迭代法（4）的，而由定理4知，即该迭代过程为2阶收敛.现在学习的是第27页，共35页现在学习的是第28页，共35页k02.000 0012.080 080.080 0822.092 350.012 2732.094 20.001 8742.094 49 0.000 2752.094 540.000 05现在学习的是第29页，共35页现在学习的是第30页，共35页v10.3迭代收敛的加速现在学习的是第31页，共35页现在学习的是第32页，共35页现在学习的是第33页，共35页现在学习的是第34页，共35页现在学习的是第35页，共35页