第八讲机器人动力学牛顿欧拉方程.ppt

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1、第八讲机器人动力学牛顿欧拉方程现在学习的是第1页，共55页3.6 机器人的杆件的速度基本思路：基本思路：已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。现在学习的是第2页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度 机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算i+1杆件的线速度和角速度。如图所示，设已知i杆件的速度为i和vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为 。现在学习的是第3页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度 则：在i+1坐标系中表示的i+1杆件杆的角速度为：在i+1坐标系中表示的i+1坐标系原点的线速度为：在i+1中表示的i

2、+1杆的角速度其中 是在i中表示的指向i+1原点的距离。现在学习的是第4页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关节速度为函数的手尖处的速度。现在学习的是第5页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度解：1、建立坐标系，如图：2、求位姿矩阵：现在学习的是第6页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度得：1杆在1中表示的速度现在学习的是第7页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。则：现在学习的是第8页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比矩阵。解：由例1知：则：及现在学习的是

3、第9页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度 雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自由度，列数等于机器人的关节数。同理，我们可以求相对基座坐标系的雅克比矩阵。所以：10现在学习的是第10页，共55页3.4.3、机器人的杆件的速度 雅克比矩阵的逆为：当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由雅克比逆矩阵可得：当2=0时，上式分母为零，两关节速度将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。现在学习的是第11页，共55页第第4 4章章 机器人操作动力学机器人操作动力学4.14.1、概述、概述4.24.2、机器人的牛顿、机器人的牛顿-欧拉动力学方程欧拉动力学方程4.34.3、机器人拉格朗日动力学方程简介、机器人拉格

4、朗日动力学方程简介现在学习的是第12页，共55页4.1、概述、概述为什么要研究机器人的动力学问题？为什么要研究机器人的动力学问题？1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其他力或力矩作用的结果。2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性能。现在学习的是第13页，共55页4.1、概述、概述机器人动力学研究内容：正问题：已知作用在机器人机构上的力和力矩，求机器人机构各关节的位移、速度、加速度，即：F=ma。反问题：已知机器人机构各关节的位移、速度和加速度，求作用在各关节上的驱动力或驱动力矩，即：am=F。现在学习的是第14页，共55页4.1、概述、概述机器人动力学研

5、究方法：目标：根据机器人机构的结构特点、运动学和动力学原理，提出通用、快捷的建立动力学方程的方法。数学工具：矢量方法、张量方法、旋量方法及矩阵方法等。力学原理：动量矩定理、能量守恒定理、牛顿欧拉方程、达朗贝尔原理、虚功原理、拉格朗日方程、哈密尔顿原理、凯恩方程等。现在学习的是第15页，共55页4.1、概述、概述几项假设：几项假设：1、构成机器人的各杆件都是刚体，即不考虑杆件的变形。2、忽略各种间隙等因数的影响。3、暂不考虑驱动系统的动力学。15现在学习的是第16页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程 机器人动力学的特点：1、串联机器人由多个杆件经关节轴串联构成，属于多体动力学的研究范畴。2、

6、各杆件的速度、加速度是关节位置及时间的函数，随机器人杆件构形的不同而改变。3、机器人动力学的计算复杂，多采用数值递推的方法计算。现在学习的是第17页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程我们知道：刚体运动 =质心的平动+绕质心的转动其中：质心平动：用牛顿方程描述。绕质心的转动：用欧拉方程定义。它们都涉及到质量及其分布，我们先复习一下转动惯量的计算。现在学习的是第18页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程 如图所示，设刚体的质量为 ，以质心为原点的随体坐标系 下的惯量矩阵 由六个量组成，表示为：一、一、惯量矩阵（张量）惯量矩阵（张量）图图3.1式中：现在学习的是第19页，共55页4.2 机械人

7、的牛顿欧拉方程 惯量矩阵中的元素 称为惯量矩(Mass moments of inertia)，而具有混合指标的元素称为惯量积(Mass products of inertia)。对于给定的物体，惯量积的值与建立的坐标系的位置及方向有关；如果我们选择的坐标系合适，可使惯量积的值为零。这样的坐标系轴称为主轴（Principle axes）,相应的惯量称为主惯量。事实上，主惯量是惯量矩阵的三个特征值。现在学习的是第20页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程平行轴定理（Parallel-axis theorem）:已知相对于某一原点位于物体质心坐标系C的惯量张量，坐标系A平行于坐标系C，则相对于A

8、坐标系的惯量张量为：其中：为质心相对于A坐标系的坐标。20现在学习的是第21页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程二、牛顿欧拉方程 我们假设机器人的每个杆件都为刚体，为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，运动杆件所需要的力或力矩是所需加速度和杆件质量分布的函数；牛顿方程和用于转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人驱动力矩、负载力（力矩）、惯量和加速度之间的关系。现在学习的是第22页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程 我们先研究质心的平动，如图4.1所示，假设刚体的质量为 ，质心在C点，质心处的位置矢量用 表示，则质心处的加速度为 ；设刚体绕质心转动的角速度用 表示，绕质心的角加速度为，根据

9、牛顿方程可得作用在刚体质心C处的力为：图图4.1现在学习的是第23页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程 根据三维空间欧拉方程，作用在刚体上的力矩为：图图4.1 以上两式合称为牛顿欧拉方程。式中，M 为作用力对刚体质心的矩，为绕质心的角速度和角加速度。现在学习的是第24页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程三、加速度计算1、线加速度 如图所示，设坐标系i与i-1杆固联，其原点加速度为ai-1,角速度为i-1;Oi+1随杆件i相对i坐标系旋转，相对转速为 。P为i杆上任意一点。15现在学习的是第25页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程 Pi点的相对速度和加速度为：Pi点的绝对加速度为：e

10、rk代入并化简得：即：上述参数都是在基础坐标系中表示的。26现在学习的是第26页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程 i+1坐标系原点的加速度为：设i杆件质心为ci,则其加速度为：2、角加速度 i杆的角加速度为：现在学习的是第27页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程四、作用力和力矩 计算出每个杆件质心的加速度后，我们可以应用牛顿-欧拉方程来计算作用在每个杆件质心的惯性力和惯性力矩。根据牛顿-欧拉方程，有：28现在学习的是第28页，共55页4.2 机械人的牛顿欧拉方程图 2 构件受力图 如图2所示，将第i个构件Li作为隔离体进行分析，作用在其上的力和力矩有：作用在i杆件上的外力和外力矩，i

11、-1杆件作用在i杆件上的力和力矩，以及i+1杆件作用在i杆件上的力和力矩。29现在学习的是第29页，共55页3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程其中：Fi+1,i构件Li+1作用在构件Li上的力。Mi+1,i构件Li+1作用在构件Li上的力矩。Fi-1,i构件Li-1作用在构件Li上的力。Mi-1,i构件Li-1作用在构件Li上的力矩。Fi 作用在第i个构件Li上的外力简化到 质心C处的合力，即外力的主矢。Mi 作用在第i个构件Li上的外力矩简化到质心C处的合力矩，即外力的主矩。现在学习的是第30页，共55页3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程 上述力和力矩包括了运动副中的约束反力、驱动力、摩擦力等引

12、起的作用力和作用力矩。作用在第i个构件上的所有力化简到质心的总的合力为：它们都在基础坐标系中表示。现在学习的是第31页，共55页3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程相对于质心的总的合力矩Mi为：最后，为了便于递推计算，重新安排力和力矩计算公式为：现在学习的是第32页，共55页3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程 i杆件需要的关节力矩为相邻杆件作用于它的力矩的Z分量，即：牛顿-欧拉方程的递推算法：由两部分组成：首先，从1号杆到n号杆，向前递推计算各杆的速度和加速度。然后，再从n号杆到1号杆，向后递推计算作用力和力矩，以及关节驱动力矩。算法过程总结如下：现在学习的是第33页，共55页3.3.1 机械臂的牛

13、顿欧拉方程向前递推：i:06向后递推：i:61惯性力惯性力矩条件：基础杆件和各关节的角速度和角加速度已知现在学习的是第34页，共55页3.3.1 机械臂的牛顿欧拉方程 引力对杆件作用的影响可以通过设置 来实现，这里，G为引力常数。上面给出了关节型机器人的动力学计算方法，对于移动关节可以推导相应的方程。对一些相对简单的问题，用上述方法，也可能得到闭式解析结果。上述递推算法是一种通用算法，可以用于任意自由度数的关节型机器人。现在学习的是第35页，共55页牛顿欧拉方程实例图 3 平面两自由度机器人机构例1 如图3所示的平面两自由度机器人机构。连杆L1质心为C1，质量为m1，驱动力矩为m m1=0 0

14、 m11T，角速度为1=0 0 1T,加速度为1=0 0 1T;连杆L2质心为C2，质量为m2，驱动力矩为m m2=0 0 m22T，角速度为2=0 0 2T,加速度为2=0 0 2T，现在学习的是第36页，共55页牛顿欧拉方程实例 选取关节O和关节A处的转角1和2为系统的广义坐标，可以写出连杆L1的牛顿欧拉方程为:连杆L2的牛顿欧拉方程为:式中:重力驱动力矩现在学习的是第37页，共55页牛顿欧拉方程实例由以上几式消去杆件间作用力，可解得:考虑质心位置：求导得：现在学习的是第38页，共55页牛顿欧拉方程实例另外：现在学习的是第39页，共55页牛顿欧拉方程实例有：即：对m22可同样写出矩阵方程。

15、代入加速度分量，得：现在学习的是第40页，共55页牛顿欧拉方程实例化简可得：上式即为各杆件关节的驱动力计算公式，它是一个以角加速度为变量、变系数的非线性动力学方程。现在学习的是第41页，共55页牛顿欧拉方程实例以上两式进一步写成：式中：系数是位置的函数现在学习的是第42页，共55页牛顿欧拉方程实例 例2：如图所示为两杆平面机器人，为了简单起见，我们假设每个杆件的质量集中于杆件的尾部，其大小为m1和m2。解：每个杆件的质量中心矢量为：由于点质量假设，每个杆件相对质心的惯性张量为零，即：现在学习的是第43页，共55页牛顿欧拉方程实例末端执行器上无作用力，所以：基座静止，因此：考虑到引力，我们使用：

16、现在学习的是第44页，共55页牛顿欧拉方程实例应用递推公式有：向前：1杆件：现在学习的是第45页，共55页牛顿欧拉方程实例2杆件：现在学习的是第46页，共55页牛顿欧拉方程实例现在学习的是第47页，共55页牛顿欧拉方程实例向后递推：2杆件：1杆件：现在学习的是第48页，共55页牛顿欧拉方程实例取力矩的Z分量，得到关节力矩：现在学习的是第49页，共55页称 为惯量阵，是离心力、科氏力等相关部分，为重力部分。特点：多变量、时变、非线性、强耦合。机器人机构动力学方程 通常，机器人的动力学方程常写为抽象的形式：其中：为广义坐标向量，为广义力向量。现在学习的是第50页，共55页4.3 机器人拉格朗日动力

17、学方程简介机器人拉格朗日动力学方程简介 拉格朗日方程是基于能量项对系统变量及时间的微分而建立的。对于简单系统拉格朗日方程法相较于牛顿欧拉方程法更显复杂，然而随着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程法建立系统运动微分方程变得相对简单。现在学习的是第51页，共55页拉格朗日函数为系统的动能 和位能 之差 即：4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介系统拉格朗日方程为：式中：系统的广义坐标数作用在第i个广义坐标上的广义 力或广义力矩第i个广义坐标第i个广义速度现在学习的是第52页，共55页4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介步骤：1、速度分析，求出速度的平方。现在学习的是第53页，共55页4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介2、求系统动能3、求系统位能现在学习的是第54页，共55页4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介4、计算拉格朗日函数现在学习的是第55页，共55页