2022年数值分析课程方案报告.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用数值分析课程设计报告设计题 1、2、3、5 学院、系：专 业：姓 名：学 号：任课老师：提交日期：电子邮箱：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用目录设计题一 3 1.1 问题分析与设计思路 3 1.2 程序清单 4 1.4 结果分析 7 1.5 设计总结 7 设计题二 8 2.1 问题分析与设计思路 8 2.2 程序清单 8 2.3 运行结果 10 2.4 结果分析与设计总结 10 设计题三 11 3.1 问题分析与

2、设计思路 11 3.2 程序清单 11 3.3 运行结果 13 3.4 结果分析与设计总结 13 设计题五 14 4.1 问题分析与设计思路 14 4.2 程序清单 15 4.3 运行结果 20 名师归纳总结 4.4 结果分析21 22第 2 页,共 21 页【数值分析课程设计总结】- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用设计题一 设计试验验证 Hilbert 矩阵的病态性；1.1 问题分析与设计思路在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题,而且病态矩阵问题仍未有很好的解决方 阵 ； 目 前 主 要 有 异值修正等方法；法,特

3、殊是长方形、大型矩 Tikhonov 、奇特值截断、奇求解方程组时对数据的小扰动很敏锐的矩阵就是病态矩阵；解线性方程组Ax=b 时 , 如 对 于 系 数 矩 阵A 及 右 端 项 b 的 小 扰 动 A 、 b, 方 程 组A+A=b+b 的解 与原方程组 Ax=b 的解差别很大,就称矩阵 A 为病态矩阵；方程组的近似解 一般都不行能恰好使剩余 r=b-A 为零,这时 亦可看作小扰动问题 A=b-r即 A=0,b=-r的解,所以当 A 为病态时 ,即使剩余很小 ,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解；因此,设计思路如下：令 x0=1,1 .1）,运算出b=Hx0 ,求出b,然后再用高斯消去法

4、球解Hx=b,得到近似解 x,然后利用标准差：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用比较 x 与 x0 之间的误差；截图是取了几个 n程序中设置为 1 至 30）去运算,看一下随着 n 的增大误差的变化情形；1.2 程序清单共两个文件qm1.m gauss_liezhu1.m 在 qm1.m 中调用此程序） qm1.mgauss_liezhu1.m名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用N=14

5、 1.4 结果分析名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用依据 N 的递增次序取了 9 个误差数据,制成散点折线图如上所示；由此可以看出,此矩阵求解方程组时对数据的 小扰动很敏锐试验验证 Hilbert 矩阵的病态性成立；1.5 设计总结1）熟识什么事矩阵的病态性2）令 x0=1,1 .1）,运算出b=Hx0 ,求出b,然后再用高斯消去法球解Hx=b,得到近似解 x,然后利用标准差公式比较 x 与 x0 之间的误差；3 ） 取 几 个点进行误差记录=0的根 或f x的零点 ,当 f x复杂时,很

6、难求,需要找到有效简洁的近似方法去求：Ca,b, 根；2）迭代法3）牛顿 f b=0在a,b 中有惟一针对此题,采纳了两种方法；第一种方法是二分法,得到的近似根与精确解的误差小于；其次种方法是用牛顿迭代法；二分法优点：条件和方法简洁 只要求 f x连续即可 ,方法收敛；缺点：收敛速度慢,不易求偶数重根 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用二分法Newton 迭代法名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅

7、限学习使用2.3 运行结果二分法：Newton 迭代法2.4 结果分析与设计总结通过二分法与 Newton 迭代法得出的答案相同；（1）确定求方程近似根的三种方法（2）翻书明白编程步骤（3）总结本章重点学问： 1.熟识区间二分法；2. 熟识迭代法的建立,会使用收敛定理；3. 熟识Newton迭代法及其几何意义； 4. 熟识收敛阶的定义；5. 熟识Newton迭代法的收敛阶；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用设计题三 某飞机头部的光滑形状曲线的型值点坐标由下表给出5 : 6 7 8 9 10

8、 0 1 2 3 4 0 70 130 210 337 578 776 1012 1142 1462 1841 0 57 78 103 135 182 214 244 256 272 275 试建立其 合适的模拟曲线 未必是用拟合方法）,并求在点x100,250,400,500,800 处的函数值y 及一阶、二阶导数值y ,y” ；绘出模拟曲线的图形；3.1 问题分析与设计思路曲线拟合的一般步骤一）绘制散点图,挑选合适的曲线类型一般依据资料性质结合专业学问便可确定资料的曲线类型,不能确定时,可在方格坐标纸上绘制散点图,依据散 点的分布,挑选接近的、合适的曲线类型；二）进行变量变换,使变换后的两

9、个变量呈直线关系；三）按最小二乘法原理求线性方程和方差分析 C2a,b ,且在每个小区间 xj,xj+1 上是三次多项式,其中 a =x0 x1. 是节点 x0,x1,.xn 上的三次样条函数；如在节点 x j 上给定函数值 Yj= f Xj. j =0, 1, , n ,并成立 Sxj =yj . j= 0, 1, , n ,就称 Sx 为三次样条插值函数；3.2 程序清单text5.m csfitf.m function 文件 daos1.mfunction 文件 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整

10、理 仅限学习使用daos2.mfunction 文件 daos1.m文件Csfitf.m 文件daos2.m文件text5.m 文件名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用3.3 运行结果3.4结果分析与设计总结用三次样条插值拟合出的曲线 及 运算结果 如上图所示；名师归纳总结 实际运算是仍需要引入边界条件才能完成运算；边界通常有自然边界边界点的导数为第 12 页,共 21 页0）,夹持边界边界点导数给定）,非扭结边界使两端点的三阶导与这两端点的邻近点的三阶导相等）；Matlab 把非扭结边界

11、条件作为默认的边界条件；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 个人资料整理 仅限学习使用设计题五 给定单摆方程初值问题其中 g=9.8,l=25. 1 取初始偏离角度2 取初始偏离角度其精确解为；分别对上述两种情形依据以下方法求出其数值解,比较各方法的优缺点,并将运算结果与精确解做比较 列表、画图）；方案 I）欧拉法,步长 h = 0.025, h = 0.1；方案 II）改进的欧拉法,步长 h = 0.05, h = 0.1；=yi+h*fxi,yi且 xi=x0+i*h i=0,1,2, ,n-1 ,局部截断误差为Oh2 ,欧拉格式仅为一阶方法；改进欧

12、拉它的局部截断误差为Oh3 ,可见,改进欧拉格式较欧拉格式提高了精度,其截断误差比欧拉格式提高了一阶；欧拉法用差商 yxi+1-yxi/h 近似代替 yxi 的导数,局部截断误差较大；改进欧拉法先用欧拉法求出预报值,再利用梯形公式求出校正值,局部截断误差比欧拉法低了一阶,较大程度地提高了运算精度；龙格 -库塔法具有精度高,收敛,稳固在肯定条件下）,运算过程中可以转变步长,不需名师归纳总结 要运算高阶导数等优点,但仍需运算在一些点上的值,如四阶龙格-库塔法每运算一步需第 20 页,共 21 页要运算四次的值,这给实际运算带来肯定的复杂性；- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

13、 - - - - 个人资料整理 仅限学习使用【数值分析课程设计总结】假期在家整整做了一个星期,最终完成了以上四道题的全部内容；这次 MA TLAB课程设计为我们供应了与众不同的学习方法和学习机会,让我们从传统的 被动授学转变为主动求学；从死记硬背的模式中脱离出来,转变为在实践中学 习,增强了领会、创新和推断的才能；把握自学的方法,形成工程理论整体模 式,使工作、学习、生活都步入系统化流程；摸索方式成熟,规律性规范、明 确；这些方法的提高是终身受益的,我认为这难得的一周,让我真正懂得了生 活和学习的基本规律；在对插值多项式的程序进行编辑过程中,遇到了许多方法不知道用什么函数表达的问题,通过查找有

14、关Matab 软件和现代数值运算的书籍得出本程序,在对程序调用时,不知道如何调用,通过上网查找方法知道了需要在 Matlab 中的文件中新建一个 M文件,然后储存,然后到命令区直接调用就可以了；特殊留意的是,在对 M文件储存时,要直接储存到默认的matlab 文件夹中,不行以 随便更换储存路径；完成了课程设计的任务,但是从中发觉的问题也是值得去深思的；我想经 过这一个周的课程设计所发觉的问题对我们会有很大的启示,在以后的学习中 也会大有帮忙；在以后的学习中我会不断的改进学习方法,在实践中学习,不 断提高自我,完善自我,全面提高自己；吧；我认为在编程方面,1、2、 5 题自己独立完成的较好,给自己一个优秀名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 21 页